Реферат: Цифровая схемотехника
„ ЦИФРОВАЯСХЕМОТЕХНИКА ”
ХАРЬКОВ 2006
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
1 ЛОГИЧЕСКИЕ И СХЕМОТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙМИКРОСХЕМОТЕХНИКИ
1.1 Основные понятия алгебры логики
1.2 Логические элементы
1.3 Основные законы алгебры логики
1.4 Дизъюнктивные нормальные формы
1.5 Минимизация логических функций
1.6 Синтез комбинационных логических схем
2 КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
2.1 Основные положения
2.2 Дешифраторы
2.3 Шифраторы
2.4 Демультиплексоры
2.5 Мультиплексоры
2.6 Арифметические устройства
3 ТРИГГЕРНЫЕ УСТРОЙСТВА
3.1 Основные понятия
3.2 Асинхронный RS-триггер
3.3 Синхронные триггеры
4 РЕГИСТРЫ
4.1 Общие сведения о регистрах
4.2 Регистры памяти
4.3 Сдвигающие регистры
4.4 Реверсивные регистры
4.5 Универсальные регистры
5 СЧЕТЧИКИ
5.1 Общие сведения о счетчиках
5.2 Счетчики с последовательным переносом
5.3 Счетчики с параллельным переносом
5.4 Реверсивные счетчики
5.5 Счетчики с произвольным коэффициентом счета не равным 2n
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРИ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данноеметодическое пособие содержит информацию, которая обеспечивает изучениедисциплин:
— «Цифровая схемотехника» для студентов специальности 5.091504 (Обслуживаниекомпьютерных и интеллектуальных систем и сетей);
— «Микросхемотехника» для студентов специальности 5.090805 (Конструирование,производство и техническое обслуживание изделий электронной техники);
— «Электронные приборы и микроэлектроника» для студентов специальности 5.090704(Конструирование, производство и техническое обслуживание радиотехническихустройств).
Материал, которыйпредставлен в данной работе, предназначен для ознакомления студентов с основамисовременной цифровой микросхемотехники и включает основные виды цифровыхустройств, которые широко используются и как самостоятельные изделия в видемикросхем малой и средней степени интеграции, и в составе микросхем высокойстепени интеграции: микропроцессоров и микроконтроллеров.
Методическое пособиесостоит из пяти разделов:
— логические исхемотехнические основы цифровой микросхемотехники,
— комбинационные схемы,
— триггерные устройства,
— регистры,
— счетчики.
Изложение материалапостроено таким образом, чтобы последовательно «от простого к сложному»представить основные теоретические принципы анализа и синтеза цифровыхустройств. Каждый раздел содержит подразделы, в которых дается информация об условном графическом обозначенииизучаемого устройства, приводится его таблица функционирования, функциональнаяили принципиальная схема и временные диаграммы работы там, где это требуется.Каждой из схем дается подробное описание логики ее работы с таким расчетом,чтобы каждый изучающий предмет освоил принципы анализа работы цифровых схем иприобрел необходимые навыки. Каждая из приведенных схем является типичной дляданного устройства. При этом не исключается другая схемная реализация.
Основные понятия,определения, правила выделены «жирным» шрифтом, чтобы сделать освоение предметаболее удобным и наглядным.
Учитывая, что изложениематериала проводится в порядке возрастания сложности изучаемых цифровыхустройств и при этом каждая последующая тема базируется на материалепредыдущей, целесообразно пользоваться данным методическим пособием в тойпоследовательности, в которой расположены соответствующие разделы.
Данное пособие полезноиспользовать не только при изучении теоретических основ цифровоймикросхемотехники, но и при подготовке к выполнению лабораторных работ, цельюкоторых является углубление знаний и приобретение практических навыков посборке и отладке цифровых устройств. Пособием можно пользоваться длясамостоятельного изучения, а также при курсовом и дипломном проектировании.
1 ЛОГИЧЕСКИЕ и схемотехнические ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙМИКРОСХЕМОТЕХНИКИ
1.1 Основные понятия алгебры логики
Логика — это наука о законах и формах мышления.
Математическаялогика — наука оприменении математических методов для решения логических задач.
Всецифровые вычислительные устройства построены на элементах, которые выполняют теили иные логические операции. Одни элементы обеспечивают переработку двоичныхсимволов, представляющих цифровую или иную информацию, другие — коммутациюканалов, по которым передается информация, наконец, третьи — управление,активизируя различные действия и реализуя условия их выполнения.
Электрическиесигналы, действующие на входах и выходах названных элементов, имеют, какправило, два различных уровня и, следовательно, могут быть представленыдвоичными символами, например 1 или 0. Условимся обозначать свершениекакого-либо события (например, наличие высокого уровня напряжения в какой-либоточке схемы) символом 1. Этот символ называют логической единицей. Отсутствиекакого-либо события обозначим символом 0, называемым логическим нулем.
Принятосчитать, что логическому нулю соответствует низкий уровень напряжения, алогической единице — высокий.
Такимобразом, каждому сигналу на входе или выходе двоичного элемента ставится в соответствиелогическая переменная, которая может принимать лишь два значения: состояние логическойединицы (событие истинно) и состояние логического нуля (событие ложно). Этипеременные называют булевыми по имени английского математика Дж. Буля, которыйеще в девятнадцатом столетии разработал основные положения математическойлогики. Обозначим логическую переменную символом х.
Различныелогические переменные могут быть связаны функциональными зависимостями.Например, выражение у = f (x1, х2) указывает на функциональную зависимостьлогической переменной у от логических переменных х1 и х2, называемых аргументамиили входными переменными.
Любую логическуюфункцию всегда можно представить в виде совокупности простейших логическихопераций. К таким операциям относятся:
— отрицание (операция «НЕ»);
— логическое умножение (конъюнкция, операция «И»);
— логическое сложение (дизъюнкция, операция «ИЛИ»).
Отрицание (операция «НЕ») — это такаялогическая связь между входной логической переменной х и выходной логическойпеременной у, при которой у истинно только тогда, когда х ложно, и, наоборот, уложно только тогда, когда истинно х. Изобразим данную функциональную зависимостьв виде таблицы 1.1, которая называется таблицей истинности.
Таблица истинности — это таблица, отображающаясоответствие всех возможных комбинаций значений двоичных аргументов значениямлогической функции.
Таблица1.1- Таблица истинности операции «НЕ»
x y 1 1Логическаяфункция НЕ переменной у записывается как у = /> и читается «у есть не х». Если,например, х — утверждение о наличии сигнала высокого уровня (логическойединицы), то y соответствует утверждению о наличии сигнала низкого уровня (логическогонуля).
Логическоеумножение (конъюнкция, операция«И») — это такая функция, которая истинна только тогда, когда одновременноистинны все умножаемые переменные. Таблица истинности операции логическогоумножения соответствует таблице 1.2.
Таблица1.2- Таблица истинности операции логического умножения
х2 х1 y 1 1 1 1 1Операция«И» обозначается точкой (•). Иногда точка подразумевается. Например, операция«И» между двумя переменными х1 и х2 обозначается как у = х1 • х2.
Логическоесложение (дизъюнкция, операция«ИЛИ») – это такая функция, которая ложна только тогда, когда одновременноложны все слагаемые переменные. Таблица истинности операции логическогосложения соответствует таблице 1.3. Операция «ИЛИ» обозначается знаком V. Например,у = x1 V х2.
Таблица1.3 — Таблица истинности операции логического сложения
х2 х1 y 1 1 1 1 1 1 11.2 Логические элементы
1.2.1 Общие сведения о логических элементах
Логические элементы — это электронные схемы, реализующиепростейшие логические функции.
Логическиеэлементы, схематически представляются в виде прямоугольников, на поле которыхизображается символ, обозначающий функцию, выполняемую данным элементом. Например,на рисунке 1.1 показаны условные обозначения элементов, реализующих логическиефункции НЕ, И, ИЛИ, И- НЕ, ИЛИ- НЕ.
/> /> />
/> />
Рисунок1.1-Условные обозначения логических элементов НЕ, И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ
Входныепеременные принято изображать слева, а выходные — справа. Считается, чтопередача информации происходит слева направо.
Есливыходы одних элементов соединить со входами других, то получим схему,реализующую более сложную функцию. Совокупность различных типов элементов,достаточных для воспроизведения любой логической функции, назовем логическимбазисом. Элементы И и НЕ представляют такой логический базис.
Логическийбазис может состоять всего лишь из одного типа элементов, например элементатипа И─НЕ, схема которого показана на рис. 1.2.
/>
Рисунок1.2- Схема получения элемента И-НЕ
Универсальностьэлемента И─НЕ обеспечила ему широкое применение при создании логическихустройств цифровой вычислительной техники.
Существуети ряд других элементов, реализующих простейшие логические функции. К их числу,например, относится элемент суммирования по модулю два (исключающее ИЛИ),реализующий функцию неравнозначности двух переменных:
/>
Таблицаистинности и условное обозначение такого элемента показаны на рис. 1.3.
Х2 Х1 У 1 1 1 1 1 1/>
Рисунок1.3 — Таблица истинности и условное обозначение элемента «исключающее ИЛИ»
Функциянеравнозначности равна единице лишь в случае, когда переменные xl и х2 имеютразные значения.
1.2.2 Параметры логических элементов
Простейшиецифровые элементы характеризуются следующими параметрами:
-быстродействиемtз ср,
-нагрузочнойспособностью (коэффициентом разветвления по выходу) п,
-коэффициентомобъединения по входу (числом входов логического элемента) т,
-помехоустойчивостьюUn,
-потребляемоймощностью Рср,
-напряжениемпитания U,
-уровнемсигналов.
Быстродействие— один из важнейшихпараметров, характеризуемый средним временем задержки распространения сигнала
tзср = />,
где /> и /> — задержкивключения и выключения схемы (рисунок 1.4).
/>
Рисунок1.4-Задержки включения и выключения схемы
Нагрузочнаяспособность показывает,сколько логических входов может быть одновременно подключено к выходу данногологического элемента без нарушения его работоспособности.
Коэффициентобъединения по входу определяетмаксимально возможное число входов логического элемента. Увеличение т расширяетлогические возможности схемы за счет реализации функции от большего числааргументов на одном элементе И—НЕ, ИЛИ—НЕ и т. д., однако при этом ухудшаютсябыстродействие и помехоустойчивость.
Помехоустойчивостьхарактеризуетспособность элемента правильно функционировать при наличии помех.Помехоустойчивость определяется максимально допустимым напряжением помехи, прикотором обеспечивается работоспособность схемы.
Потребляемаямощность характеризуется средним значением
Рср = (Р0+ Р3 )/ 2,
где Р0 иР3 потребляемые мощности в открытом и закрытом состояниях схемы. При этомсчитается, что в устройстве в каждый момент времени приблизительно половинасхем открыта. Однако в устройствах, которые имеют сложный инвертор,потребляемая мощность зависит от частоты их переключений. Поэтому тутнеобходимо учитывать среднюю потребляемую мощность при максимально допустимойчастоте следования переключающих импульсов и скважности, равной двум. Приопределении этой мощности усреднение проводят по полному периоду переключениясхемы.
Логическиеэлементы характеризуются еще количеством используемых источников питания и значенияминапряжения питания, а также полярностью и уровнем входного и выходногосигналов.
1.2.3Базовые схемы логических элементов
Из всего разнообразиясхемотехнического и технологического построения цифровых схем наибольшеераспространение получили две основные разновидности: ТТЛ и МОП-схемы.
1.2.3.1Базовые интегральные ТТЛ-схемы
Основнойособенностью элементов ТТЛ является использование в них многоэмиттерных транзисторов(МЭТ), которые реализует функцию «И». Базовые интегральные ТТЛ-схемы реализуетфункцию И-НЕ и имеют два вида выходов: с нагрузкой в коллекторе выходноготранзистора VT4 (R3, VT3, VD) и с открытым коллектором. Оба варианта показанына рисунках 1.5 и 1.6.
/>
Рисунок1.5-Базовая интегральная ТТЛ-схема с нагрузкой в коллекторе выходноготранзистора
/>
Рисунок1.6-Базовая интегральная ТТЛ-схема с открытым коллектором
В схемена рисунке 1.5 на транзисторах VT2—VT4 реализован сложный инвертор,осуществляющий операцию «НЕ», что позволило обеспечить высокую нагрузочнуюспособность, достаточное быстродействие и помехоустойчивость схемы. Кроме того,в выходной цепи отсутствует сквозной ток по цепи +5В через R3 – VT3 – VD – VT4– общий провод, т.к. в любом состоянии закрыт один из транзисторов либо VT3,либо VT4.
Схема нарисунке 1.6 с открытым коллектором, позволяет иметь много параллельных выходов,что повышает нагрузочную способность схемы.
Рассмотримпринцип работы базовой ТТЛ-схемы (рисунок 1.5) для двух случаев,соответствующих различным наборам входных сигналов.
Случай1. Если на все входы МЭТ VT1 поданы напряжения, соответствующие уровнюлогической единицы, то закрыты эмиттерные переходы VT1, и протекает ток черезрезистор R1, открытый коллекторный переход в базу транзистора VT2, открываяего. Теперь протекает ток через резистор R2, открытый VT2, а затем усиленныйток с эмиттера VT2 поступает в базу выходного инвертирующего транзистора VT4, открываяего до состояния насыщения, тем самым соединяя выход с общим проводом – инапряжение на выходе У будет соответствовать уровню логического нуля. При этомтранзистор VT3 будет закрыт, т.к. потенциал его базы не будет превышать 1В, чтонедостаточно для открывания VT3.
Действительно:
UбVT3 =UбэVT4 + UкэVT2 = 0,7 + 0,3 = 1В;
UэVT3 = UкэVT4+ UVD = 0,3 + 0,7 = 1В.
UбэVT3 =UбVT3 – UэVT3 = 1 – 1 = 0.
Случай2. Если хотя бы на одном входе МЭТ VT1 появится входное напряжение,соответствующее уровню логического нуля, то откроется соответствующий переходбаза — эмиттер VT1, МЭТ перейдет в состояние насыщения и потенциал егоколлектора станет близким к нулю.
Аточнее, если считать, что логический ноль не превышает 0,3В, а падениенапряжения на открытом переходе база — эмиттер VT1 – 0,7В, то потенциал базыVT1 будет не более, чем 0,3 + 0,7 = 1В. Следовательно, VT2 закроется, изакроется VT4, т.к. для их открывания необходимо по 0,7В и плюс 0,7В дляоткрывания перехода база – коллектор VT1. Итак, чтобы открыть цепочку VT2 — VT4надо, чтобы на базе VT1 было не менее 0,7 + 0,7 + 0,7 = 2,1В, что соответствуетпервому случаю.
ТранзисторVT3 откроется последующей причине. Т.к. VT2 закрыт, то нет тока через R2 и соответственнопадения напряжения на нем, поэтому потенциал на коллекторе VT2, а следовательнои на базе VT3, повысится до 5В. На выходе у схемы установится напряжение,соответствующее уровню логической единицы, которое поступает через открытый VT3от +5В.
Кромерассмотренных ТТЛ-схем, выпускаются схемы с тремя состояниями для обеспечениясовместной работы с линиями магистралей (рисунок 1.7).
/>
Рисунок1.7- Базовая интегральная ТТЛ-схема с тремя состояниями
Названиеэтих схем может ввести в заблуждение, так как на самом деле они не являютсялогическими элементами с тремя уровнями напряжений. Это самые обычныелогические схемы, которые имеют третье состояние выхода — «обрыв». Онисовмещают в себе все преимущества элементов с резистором в цепи нагрузки испособность работать на общую шину, которой обладает схема с открытымколлектором. Схемы с тремя состояниями имеют отдельный запирающий вход С(обычно он обозначается CS (Chip Select – выбор кристалла), с помощью которого(при подаче на него логического нуля) они могут устанавливаться в третьесостояние независимо от того, какие сигналы действуют на логических входах.Третье состояние характеризуется тем, что при этом закрыты оба транзистора VT3и VT4, и выход не подсоединен ни к +5В, ни к общему проводу.
Ввидуулучшенных характеристик их используют обычно в качестве шинных формирователейвместо схем с открытым коллектором. Устанавливать нагрузочный резистор в этомслучае не требуется.
1.2.3.2 Логические схемы на МОП-транзисторах
Внастоящее время выпускается несколько разновидностей логических схем наМОП-транзисторах. Особенность ИМС на МОП-структурах состоит в том, что в этихсхемах отсутствуют резисторы, а роль нелинейных резисторов выполняютсоответствующим образом включенные транзисторы. Они имеют высокую нагрузочнуюспособность и помехоустойчивость и занимают мало площади на поверхностикристалла, они технологичны и дешевы. МОП-транзисторы по принципу работыявляются аналогами электронных ламп, так как управляются напряжением, а нетоком.
Схемы наМОП-транзисторах пока имеют меньшее быстродействие, чем схемы на биполярныхтранзисторах, что объясняется довольно значительными емкостями, образующимисямежду затвором, истоком, стоком и подложкой МОП-транзистора, на перезарядкоторых требуется определенное время.
Наибольшеераспространение получили КМОП-схемы (комплементарные МОП-схемы), в которыхсовместно применяются как п-канальные, так и р-канальные транзисторы.
Преимуществамисхем на КМОП-транзисторах являются малая потребляемая мощность, высокоебыстродействие и повышенная помехоустойчивость. В основе всех логическихКМОП-схем лежит КМОП-инвертор (рисунок 1.8).
/>
Рисунок1.8 — КМОП-инвертор
3десь нижнийтранзистор с каналом n-типа, верхний — с каналом р-типа. Затворы обоихтранзисторов объединены, на них подается управляющее напряжение. Подложкисоединены с истоками. При поступлении на вход напряжения высокого уровня(логической единицы) открывается транзистор с каналом n-типа (нижний), a сканалом р-типа (верхний) закрывается. На выходе – сигнал логического нуля.
Наоборот,при подаче на вход напряжения, соответствующего уровню логического нуля,открывается верхний транзистор, a нижний закрывается. На выходе – сигналлогической единицы.
Схема,реализующая функцию ИЛИ—НЕ, показана на рисунке 1.9.
/>
Рисунок1.9 — Схема ИЛИ—НЕ КМОП
Припоступлении на вход А напряжения, соответствующего уровню логической единицы,открывается транзистор VT4 и закрывается VT1, в результате чего напряжение навыходе будет соответствовать уровню логического нуля. При подаче на входы A и Внапряжения, соответствующего уровню логического нуля, транзисторы VT3 и VT4 закрываются,a VT1 и VT2 открываются. При этом напряжение на выходе будет соответствоватьуровню логической единицы (т. е. близко к напряжению Е).
Схема,реализующая функцию И—НЕ, изображена на рисунке 1.10.
/>
Рисунок1.10- Схема И—НЕ КМОП
Кнедостаткам КМОП-технологии следует отнести то, что здесь невозможно достичьстоль же высокой плотности упаковки, как при МОП-техноологии из-за некоторойизбыточности транзисторов. Однако в КМОП-схемах не протекает постоянно ток, чтозначительно снижает потребляемую мощность в статическом режиме. В динамическомрежиме потребляемая мощность растет из-за перезаряда межэлектродных емкостейтранзисторов и одновременного открывания всех транзисторов в момент ихпереключения, т. е. потребляемая мощность таких схем растет с повышениемчастоты переключения.
1.3 Основные законы алгебры логики
Валгебре логики приняты следующие основные законы:
— переместительный (свойствакоммутативности)
x1 V х2 =х2V x1
x1 • х2 =х2 • x1
— сочетательный (свойстваассоциативности)
x1 V (х2V x 3) = (x1 V х2 ) V x 3
x1 • (х2• x 3) = (x1 • х2 ) • x 3
— распределительный (свойствадистрибутивности)
x1 V х2• x 3 = (x1 V х2 ) (x1 V х3 )
x1 • (х2 V x 3 ) = x1 • х2 V x1 • х3
— законинверсии (правило деМоргана)
/>
/>
— законсклеивания
/>
/>
Переместительный и сочетательный законы встречается вобычной алгебре и не вызывает сомнения.
Распределительногозакона для умноження и закона инверсии в обычной алгебре нет. Доказательствоэтих законов может быть выполнено посредством составления таблиц истинности дляправой и левой частей уравнений, описывающих тот или иной закон.
Законинверсии может быть использован для перехода от дизъюнкции к конъюнкции, инаоборот. Так, например, если применить инверсию к левой и правой частямвыражений, отражающих закон инверсии, получим /> , и далее /> . Такое преобразованиеможет понадобиться при проектировании логической схемы для перехода к базисуИ-НЕ.
В законесклеивания каждая параобъединяемых элементарных произведений различается лишь одной переменной (х2),которая входит в первое произведение без отрицания, а во второе — с отрицанием.Такие элементарные произведения называют соседними. К соседним произведениямприменим закон склеивания, в результате чего уменьшаются число суммируемыхпроизведений и на единицу — число переменных. Остается только та переменная,которая неизменна.
1.4 Дизъюнктивные нормальные формы
Длязаписи одной и той же функции алгебры логики можно использовать много различныхформ. Формы, которые представляют суммы элементарных произведений, называют дизъюнктивныминормальными формами (ДНФ).
Элементарноепроизведение – это такоепроизведение, в котором сомножителями являются только отдельные переменные илиих отрицания.
Очевидно,одна и та же функция может быть представлена множеством различных ДНФ. Однако существуюттакие виды ДНФ, в которых функция может быть записана единственным образом. Этиформы называют совершенными дизъюнктивными нормальными формами (СДНФ). СДНФопределяется как сумма элементарных произведений, в которых присутствуют всепеременные либо с отрицанием, либо без него.
Правилозаписи СДНФ функции по ее таблице истинности:
Для всех комбинацийвходных переменных, обращающих функцию в единицу, записать элементарныепроизведения, инвертируя переменные, равные в данной комбинации нулю, а всеполученные элементарные произведения соединить знаками логического суммирования.
Рассмотримпример. Пусть функция задана таблицей истинности (таблица 1.4). Требуетсязаписать СДНФ функции по ее таблице истинности.
Таблица1.4- Таблица истинности
х2 х1 х0 F(х2, х1, х0) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1таблицаистинности такой функции содержит три строки, в которых функция равна единице.Каждой из этих строк соответствует определенная комбинация входных переменных,а именно: 001, 100 и 101.
Применимправило записи СДНФ к функции, представленной таблице 1.4, и получим три элементарныхпроизведения /> , соответствующие входнымкомбинациям. Соединив эти произведения знаками логического суммирования, придемк СДНФ:
F(х2,х1, х0) = /> .
1.5 Минимизация логических функций
СДНФ невсегда является самым простым выражением функции. тождественные преобразованияпозволяют существенно упростить (минимизировать) выражения логических функций.Каждая логическая функция реализуется с помощью определенного набора устройств.Чем меньше элементов содержит выражение, тем проще схема, реализующая соответствующуюему логическую функцию. Поэтому значительный интерес представляет рассмотрениеметодов минимизации логических функций.
Различаютаналитические и табличные методы минимизации.
1.5.1 Аналитические методы
Наиболеераспространенным является метод непосредственных тождественных преобразований.Этот метод состоит в последовательном применении к некоторой формуле законов иправил тождественных преобразований алгебры логики.
методнепосредственных преобразований не поддается четкой алгоритмизации. Действия,используемые при реализации этого метода, определяются видом исходногопреобразуемого выражения, квалификацией исполнителя и другими субъективными факторами.Отсутствие такой алгоритмизации значительно повышает вероятность появленияошибок и возможность получения не полностью минимизированной формулы.
Методнепосредственных преобразований наиболее пригоден для простых формул, когдапоследовательность преобразований очевидна для исполнителя. Наиболее часто этотметод применяется для окончательной минимизации выражений, полученных послеминимизации их другими методами.
Стремлениек алгоритмизации поиска соседних элементарных произведений привело к разработкетабличных методов минимизации логических функций. Одним из них является метод,основанный на использовании карт Карно.
1.5.2 Использование карт Карно
Карта Карно — этографическое представление таблицы истинности логических функций.
Онапредставляет собой таблицу, содержащую по 2п прямоугольных ячеек, где п — числологических переменных. Например, карта Карно для функции четырех переменныхимеет 24 = 16 ячеек. Структура карт Карно для функций двух и трех переменныхпоказана ниже.
/>
Рисунок1.11 — Таблица истинности (а) и структура карт Карно (б) для функции двухпеременных
/>
Рисунок1.12- Таблица истинности (а) и структура карт Карно (б) для функции трех переменных
Картаразмечается системой координат, соответствующих значениям входных переменных.Например, верхняя строка карты для функции трех переменных соответствуетнулевому значению переменной x1, а нижняя — ее единичному значению. Каждыйстолбец этой карты характеризуется значениями двух переменных: х2 и х3. Комбинацияцифр, которыми отмечается каждый столбец, показывает, для каких значенийпеременных х2 и х3 вычисляется функция, размещаемая в клетках этого столбца.
Если науказанном наборе переменных функция равна единице, то ее СДНФ обязательносодержит элементарное произведение, принимающее на этом наборе единичное значение.Таким образом, ячейки карты Карно, представляющие функцию, содержат столькоединиц, сколько элементарных произведений содержится в ее СДНФ, причем каждойединице соответствует одно из элементарных произведений.
Обратимвнимание на то, что координаты строк и столбцов в карте Карно следуют не вестественном порядке возрастания двоичных кодов, а в порядке 00, 01, 11, 10.Изменение порядка следования наборов сделано для того, чтобы соседние наборыбыли соседними, т.е. отличались значением только одной переменной. Ячейки, вкоторых функция принимает значения, равные единице, заполняются единицами. Востальные ячейки записываются нули.
Процессминимизации рассмотрим на примере, представленном на рисунке 1.13.
Сначалаформируем прямоугольники, содержащие по 2k ячеек, где k — целое число. В прямоугольникиобъединяются соседние ячейки, которые соответствуют соседним элементарнымпроизведениям.
/>
Рисунок1.13-Таблица истинности (а) и карта Карно (б)
Например,на рисунке 1.13, б объединены ячейки с координатами 001 и 101. При объединенииэтих ячеек образовался прямоугольник, в котором переменная x1 изменяет своезначение. Следовательно, она исчезнет при склеивании соответствующихэлементарных произведений и останутся только х2 и х3, причем переменную х2берем в инверсном виде, т.к. она равна 0.
Ячейки,расположенные в первой строке (рисунок 1.13, б), содержат единицы и являются соседними.Поэтому все они объединяются в прямоугольник, содержащий 22 = 4 ячейки.
Переменныех2 и х3 в пределах прямоугольника меняют свое значение; следовательно, ониисчезнут из результирующего элементарного произведения. Переменная х1 остаетсянеизменной и равной нулю. Таким образом, элементарное произведение, полученноев результате объединения ячеек первой строки рисунка 1.13,6, содержит лишь одинх1, который берем в инверсном виде, т.к. он равен 0. Это, в частности, следуетиз того, что четырем ячейкам первой строки соответствует сумма четырехэлементарных произведений:
/>
Функция,соответствующая рисунку 1.6 имеет вид:
/>
Совокупностьпрямоугольников, покрывающих все единицы, называют покрытием. Заметим, что однаи та же ячейка (например, ячейка с координатами 001) может покрываться два илинесколько раз.
Итак,можно сделать следующие выводы:
1.Формула, получающаяся в результате минимизации логической функции с помощьюкарт Карно, содержит сумму стольких элементарных произведений, сколькопрямоугольников имеется в покрытии.
2. Чембольше ячеек в прямоугольнике, тем меньше переменных содержится в соответствующемему элементарном произведении.
Например,для карты Карно, изображенной на рисунке 1.14, а, прямоугольнику, содержащемучетыре ячейки, соответствует элементарное произведение /> двух переменных, а квадрату,состоящему всего лишь из одной ячейки,— элементарное произведение />, включающеевсе четыре переменные.
/>
Рисунок1.14-Карты Карно для функций четырех переменных
Функция,соответствующая покрытию, показанному на рисунке 1.14, а, имеет вид:
/>
Несмотряна то, что карты Карно изображаются на плоскости, соседство квадратов устанавливаетсяна поверхности тора. Верхняя и нижняя границы карты Карно как бы «склеиваются»,образуя поверхность цилиндра. При склеивании боковых границ получаетсятороидальная поверхность. Следуя изложенным рассуждениям, устанавливаем, чтоячейки с координатами 1011 и 0011, изображенные на рисунке 1.14, б, являютсясоседними и объединяются в прямоугольник. Действительно, указанным ячейкамсоответствует сумма элементарных произведений
/>
Аналогичнообъединяются и остальные четыре единичные ячейки. В результате их объединенияполучаем элементарное произведение />. Окончательно функция,соответствующая покрытию, изображенному на рисунке 1.14, б, имеет вид
/>
КартаКарно, показанная на рисунке 1.7, в, содержит единичные ячейки, расположенныепо углам. Все четыре ячейки являются соседними, и после объединения дадутэлементарное произведение />.
Рассмотренныевыше примеры позволяют сформулировать:
Последовательностьпроведения минимизации логических функций с помощью карт Карно
1.Изображается таблица для п переменных и производится разметка ее сторон.
2.Ячейки таблицы, соответствующие наборам переменных, обращающих функцию в единицу,заполняются единицами, остальные ячейки — нулями.
3.Выбирается наилучшее покрытие таблицы правильными прямоугольниками, которыеобводим контурами. В каждом прямоугольнике должно быть 2n ячеек.
4. Однии те же ячейки с единицами могут входить в разные контуры.
5.Количество прямоугольников должно быть минимальным, а площадь прямоугольниковмаксимальная.
6. Длякаждого прямоугольника записываем произведение только тех переменных, которыене изменяют своего значения. Если эта переменная равна нулю, то ее записывают винверсном виде.
7.Полученные произведения соединяем знаком логического сложения.
Прииспользовании двоично-десятичных кодов десятичные цифры представляются в нихчетырьмя двоичными разрядами. Из всех возможных 16 кодовых комбинацийиспользуются лишь 10, а остальные комбинации запрещены и никогда возникнуть немогут. Если какая-нибудь функция имеет запрещенные наборы переменных, то еезначения на указанных наборах не определены и в таблице истинности отмечаютсязнаком Х.
Двоичныефункции, значения которых определены не для всех наборов входных переменных,называются неполностью определенными.
Приминимизации неполностью определенной функции ее следует доопределить, т. е.неопределенные значения ячеек карты Карно произвольным образом заменитьединицами или нулями. Желательно выбрать тот вариант, при котором формуламинимизированной функции будет наиболее простая.
1.6Синтез комбинационных логических схем
Синтез – это процессполучения функциональной схемы, которая выполняет заданную логическую функцию.
Процесс разработкилогических схем предполагает следующую последовательность действий:
1) От таблицы истинностипереходим к карте Карно
2) Проводим минимизацию иполучаем минимизированное логическое выражение заданной функции (см. 1.5.2)
3) Преобразуем полученноелогическое выражение к базису И-НЕ, используя закон инверсии
4) Строим логическуюструктуру
Рассмотрим пример.Построить логическую структуру, заданную таблицей истинности, показанную нарисунке 1.15 а.
/>
Рисунок1. 15-Таблица истинности (а) и карта Карно (б)
1)Переходим к карте Карно и обводим прямоугольными контурами соседние клетки сединицами, как показано на рисунке 1. 15 б.
2)Используя контуры, показанные на карте Карно, получаем следующее логическоевыражение
/>.
3) Преобразуем полученное логическоевыражение к базису И-НЕ
/> />
4) Строим логическуюструктуру
/>
Рисунок1.16 — Логическая структура, реализующая функцию, заданную таблицей истинностина рисунке 1.15 а
2 КОМБИНАЦИОННЫЕСХЕМЫ
2.1 Основные положения
Присоединении логических элементов образуются устройства, схемы которых называют логическими.Различают комбинационные и последовтельностные схемы.
Комбинационныесхемы реализуют функции, значения которых в данный момент времени определяютсялишь совокупностью значений входных переменных в этот же момент времени и независят от предыдущих значений входных переменных.
О такихсхемах принято говорить, что они не обладают свойством памяти (предыстория неоказывает влияния на результат преобразования). Заметим, что каждый реальныйлогический элемент обладает некоторым временем задержки изменения выходногосигнала по отношению к входному. К наиболее важным комбинационным схемамотносятся следующие устройства:
— дешифраторы,
— шифраторы,
— демультиплексоры,
— мультиплексоры,
— сумматоры.
2.2Дешифраторы
Дешифратор (декодер) –это устройство, которое преобразует n – разрядный позиционный код в m –разрядный унитарный, т.е. содержащий всего лишь одну единицу или ноль.
Дешифратор имеет n входови m (m ≤ 2n) выходов. На условных графических обозначениях дешифраторыобозначают как DC (от английского decoder).
На рисунке 2.1 показаныусловное графическое обозначение (УГО) и таблица функционирования двухвходовогодешифратора (2: 4).
Входы Выходы х1 х0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1/>
Рисунок 2.1-Условноеграфическое обозначение и таблица функционирования двухвходового дешифратора (2: 4).
Из таблицыфункционирования двухвходового дешифратора следует, что номер активного выхода,на котором присутствует единица, совпадает с двоичным кодом на входах, если егопредставить в виде десятичного числа. Например, 012 = 110, 102 = 210, 112 =310 .
Построим схему двухвходовогодешифратора, для чего запишем функции каждого выхода, используя таблицуистинности и правило записи СДНФ (см. 1.4): Выход 0 — /> , Выход 1 — /> , Выход 2 — /> , Выход 3 — /> . На основанииполученных логических выражений получим схему, представленную на рисунке 2.2.
/>
Рисунок 2.2-Схемадвухвходового дешифратора (2: 4)
2.3Шифраторы
Шифратор – этоустройство, которое имеет m входов и n выходов (m ≤ 2n) и превращаетm-разрядний унитарный код в n-разрядний позиционный код.
На условных графическихобозначениях шифраторы обозначают как CD.
Назначениешифраторов заключается в превращении единичных входных сигналов всоответствующие кодовые комбинации на выходах, которые определяютсясоответствующим методом кодировки входных сигналов. Каждому единичному входушифратора отвечает лишь один из возможных наборов выходных переменных. Соответствующаякодовая комбинация на выходах шифратора появляется тогда и только затем, когдапоявляется единичный сигнал на том его входе, который сопоставлен с даннойвыходной комбинацией.
Применяетсятакая нумерация входов шифратора, при которой появление единичного сигнала наі-м входе приводит к появлению выходного набора, что представляет собой числоі, записанное в двоичной системе исчисления. На рисунке 2.3 представленыфункциональная схема и таблица истинности шифратора на восемь входов.