Реферат: Частотно-избирательные фильтры. Фильтр нижних частот Чебышева
Южно-Уральскийгосударственный университет
Приборостроительныйфакультет
КафедраРТС
Курсовая работа
ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕФИЛЬТРЫ. ФИЛЬТР НИЖНИХ ЧАСТОТ ЧЕБЫШЕВА
Челябинск2007
1. Основная часть
1.1Частотно-избирательные фильтры
В большинстве случаевэлектрический фильтр представляет собой частотно-избирательное устройство.Следовательно, он пропускает сигналы определенных частот и задерживает илиослабляет сигналы других частот. Наиболее общими типами частотно-избирательныхфильтров являются фильтры нижних частот (которые пропускают низкиечастоты и задерживают высокие частоты), фильтры верхних частот (которыепропускают высокие частоты и задерживают низкие частоты), полосно-пропускающиефильтры (которые пропускают полосу частот и задерживают те частоты, которыерасположены выше и ниже этой полосы) и полосно-заграждающие фильтры(которые задерживают полосу частот и пропускают частоты, расположенные выше иниже этой полосы).
Более точнохарактеристику частотно-избирательного фильтра можно описать, рассмотрев егопередаточную функцию
/>
/>
Рис. 1.1
Величины V1 и V2 представляют собойсоответственно входное и выходное напряжения, как показано на общем изображениифильтра на рис. 1.1.
Для установившейсячастоты /> передаточную функцию можнопереписать в виде
/>
где /> – модульпередаточной функции или амплитудно-частотная характеристика;
/> — фазо-частотная характеристика,а частота ω (рад/с) связана с частотой f (Гц) соотношением ω= 2πf.
Диапазоны или полосычастот, в которых сигналы проходят, называются полосами пропускания и вних значение амплитудно-частотной характеристики /> относительновелико, а в идеальном случае постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналыподавляются, образуют полосы задерживания и в них значениеамплитудно-частотной характеристики относительно мало, а в идеальном случаеравно нулю. В качестве примера на рис. 1.2 штриховой линией показанаамплитудно-частотная характеристика идеального фильтра нижних частот сединственной полосой пропускания 0 < ω < ωс иполосой задерживания,ω > ω1. Частота ωсмежду двумя этими полосами определяется как частота среза.
/>
Рис. 1.2. Идеальнаяи реальная амплитудно-частотные характеристики фильтра нижних частот
В качестве полосыпропускания выбирается диапазон частот, где значение амплитудно-частотнойхарактеристики превышает некоторое заранее выбранное число, обозначенное А1на рис. 1.2, а полосу задерживания образует диапазон частот, в которомамплитудно-частотная характеристика меньше определенного значения, например, А2.Интервал частот, в котором характеристика постоянно спадает, переходя от полосыпропускания к полосе задержания, называется переходной областью ωс< ω < ω1.
Значениеамплитудно-частотной характеристики можно также выразить в децибелах(дБ) следующим образом:
/>
и в этом случае a характеризует затухание.
В основном затухание вполосе пропускания никогда не превышает 3 дБ.
1.2 Передаточные функции
Невозможно создатьидеальные фильтры, но с помощью реализуемых фильтров (которыеразрабатываются на основе реальных схемных элементов) можно получитьприближения к идеальным. Передаточная функция реализуемого фильтра представляетсобой отношение полиномов:
/>
Коэффициенты а и b– вещественные постоянныевеличины, a m, n=1, 2, 3… (m £ n).
Степень полиномазнаменателя n определяет порядок фильтра. Реальные амплитудно-частотныехарактеристики лучше (более близки к идеальным) для фильтров более высокогопорядка. Однако повышение порядка связано с усложнением схем и более высокойстоимостью. Таким образом, один из аспектов разработки фильтров связан сполучением реализуемой характеристики, аппроксимирующей с некоторой заданнойстепенью точности идеальную характеристику при наименьших затратах.
1.3 Элементы активныхфильтров
Как только полученаподходящая передаточная функция, разрабатывают схему фильтра, реализующуюданную передаточную функцию. При этом разработка выливается в проектированиеактивных и пассивных фильтров.
Пассивные фильтры представляют собойустройства, которые создаются на основе резисторов, конденсаторов и катушекиндуктивности, а именно из пассивных схемных элементов. Эти фильтры пригодныдля работы в определенных диапазонах частот, но не подходят для низких частот,например ниже 0,5 мГц. Это происходит вследствие того, что на низких частотахпараметры требуемых катушек индуктивности становятся неудовлетворительнымииз-за их больших размеров и значительного отклонения рабочих характеристик отидеальных и, кроме того, в отличие от резисторов и конденсаторов, катушки индуктивностиплохо приспособлены для интегрального исполнения.
Таким образом, дляприменения фильтров в диапазоне низких частот из схем желательно исключитькатушки индуктивности. Это достигается разработкой активных фильтров наоснове резисторов, конденсаторов и одного или нескольких активных приборов,таких как транзисторы, зависимые источники и т.д.
/>
Рис. 1.3.Операционный усилитель
Одним из наиболее частоприменяемых активных приборов, который в основном и будет использоваться,является интегральная схема (ИС) операционного усилителя или ОУ,условное изображение которого приведено на рис. 1.3.
Операционный усилительпредставляет собой многовходовый прибор, но для простоты показаны только триего вывода: инвертирующий входной (1), неинвертирующий входной (2) и выходной(3). В идеальном случае ОУ обладает бесконечным входным и нулевым выходнымсопротивлениями и бесконечным коэффициентом усиления. Практические ОУ по своимхарактеристикам приближаются к идеальным наиболее близко только для ограниченногодиапазона частот, который зависит от типа ОУ.
В некритических конструкцияхфильтров наиболее часто используются дешевые угольные композиционные резисторы.
Для фильтров четвертого иболее низкого порядка достаточно применять угольные композиционные резисторы с 5%-нымидопусками, в частности если предполагается использовать фильтр при комнатнойтемпературе. Для фильтров с высокими рабочими характеристиками необходимоприменять высококачественные типы резисторов, например металлопленочного ипроволочного типов. Чем выше порядок, тем меньше должны быть допуски. Фильтры спорядком выше четвертого необходимо реализовывать на резисторах с 2-%-ным илименьшими допусками.
Что касаетсяконденсаторов, то наиболее подходящим типом является майларовый конденсатор,который можно успешно применять в большинстве конструкций фильтров. Конденсаторына основе полистирола и тефлона лучше, однако применяются в высококачественных фильтрах.Обычные экономичные дисковые керамические конденсаторы должны использоватьсяисключительно в наименее критических условиях.
1.4 Построение фильтров
Существует много способовпостроения фильтра с заданной передаточной функцией n-го порядка. Одинпопулярный способ заключается в том, чтобы представить передаточную функцию ввиде произведения сомножителей H1, H2,…, Нт и создать схемы или звенья,или каскады N1, N2,…, Nm, соответствующие каждомусомножителю. Наконец, эти звенья соединяются между собой каскадно (выходпервого является входом второго и т.д.), как изображено на рис. 1.4. Еслиэти звенья не влияют друг на друга и не изменяют собственные передаточные функции,то общая схема обладает требуемой передаточной функцией n-го порядка. Ранее былоустановлено, что ОУ обладает бесконечным входным и нулевым выходнымсопротивлениями. Таким образом, его можно использовать для реализации невзаимодействующихзвеньев.
/>
Рис. 1.4. Каскадноесоединение звеньев
Для фильтров первогопорядка передаточная функция представляется в виде
/> (1.0)
где С – постоянное число,a P(s) – полиномпервой или нулевой степени. Для фильтров второго порядка передаточная функция
/> (1.1)
где В и С–постоянныечисла, a P(s) – полином второйили меньшей степени.
Для четного порядка n> 2 обычная каскадная схемасодержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа(1.1). Если же порядок n> 2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядкас передаточными функциями типа (1.1) и одно звено первого порядка спередаточной функцией типа (1.0).
Для фильтров, описываемыхуравнением (1.1), определим собственную частоту
/>
и добротность />
Таким образом, можнопереписать уравнение (1.1) в виде
/>
1.5 Фильтры нижнихчастот. Общий случай
Фильтр нижних частот представляет собойустройство, которое пропускает сигналы низких частот и задерживает сигналывысоких частот. В общем случае определим полосу пропускания как интервал частот0<w<wс, полосу задерживания как частоты w>w1 переходную область какдиапазон частот wc<w<w1 (wc – частота среза). Этичастоты обозначены на рис. 1.5.1, на котором приведена реальнаяамплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот, где в данном случаезаштрихованные области представляют собой допустимые отклонения характеристикив полосах пропускания и задерживания.
Если минимальноезатухание выбрать за нормированный уровень 0 (А =1 на рис. 2.1), тологарифмическая характеристика фильтра нижних частот имеет вид, изображенный нарис. 1.5.2. Максимальное затухание в децибелах в полосе пропусканиясоставляет α1, а минимальное затухание в полосе задерживания α2(А1 и А2 – соответственно значения амплитудно-частотнойхарактеристики). Затухание α1 не может превышать 3 дБ, в товремя как типовое значение α2 значительно больше и можетнаходиться в пределах от 20 до 100 дБ.
/>
Рис. 1.5.1 Реальная амплитудно-частотнаяхарактеристика фильтра нижних частот
/>
Рис. 1.5.2.Логарифмическая характеристика: фильтра нижних частот
Коэффициент усиления фильтра нижних частотпредставляет собой значение его передаточной функции при s=0 или, что эквивалентно,значение его амплитудно-частотной характеристики на частоте w=0. Следовательно,коэффициент усиления реального фильтра с амплитудно-частотной характеристикой,показанной на рис. 1.5.1, равен А.
Существует много типовфильтров нижних частот, удовлетворяющих данному набору технических требований,таких, как А, А1A2, wc и w1 обозначенных на рис. 1.5.1, или α1,α2, wc<sub/>и w1 – на рис. 1.5.2. Фильтры Баттерворта,Чебышева, инверсные Чебышева и эллиптические образуют четыренаиболее известных класса. Фильтр Баттерворта обладает монотоннойхарактеристикой, подобной характеристике на рис. 1.5.1 и 1.5.2.(Характеристика является монотонно спадающей, если она никогда не возрастает сувеличением частоты.) Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации(колебания передачи) в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания. Нарис. 1.5.3 изображен вид характеристики фильтра Чебышева шестого порядка.Инверсная характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания иобладает пульсациями в полосе задерживания. Пример характеристики фильтрашестого порядка приведен на рис. 1.5.4.
Амплитудно-частотнаяхарактеристика оптимального фильтра нижних частот удовлетворяетобозначенным на рис. 1.5.1 (или на рис. 1.5.2) условиям для данногопорядка п и допустимого отклонения в полосах пропускания и задерживанияпри минимальной ширине переходной области. Таким образом, если заданызначения A,A1, А2, nи wc, то значение частоты w1 минимально. Дляполиномиальной характеристики оптимальной является характеристика фильтраЧебышева. Однако в общем случае оптимальным является эллиптический фильтр,характеристики которого значительно лучше характеристик фильтра Чебышева.
/>
Рис. 1.5.3.Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева шестого порядка
/>
Рис. 1.5.4.Амплитудно-частотная характеристика инверсного фильтра Чебышева шестого порядка
1.6 Фильтры нижних частотна ИНУН
Схема на ИНУН,реализующая функцию фильтра нижних частот Баттерворта или Чебышева второгопорядка вида
/>
изображена на рис. 1.6.Анализируя эту схему, получаем:
/>;
/>; (1.4)
/>.
Значения сопротивленийопределяются следующим образом:
/>;
/>;
/>; (1.5)
/>.
где С2 имеетпредпочтительно близкое к значению 10/fс мкФ.
А С1 должноудовлетворять следующему неравенству
/>
/>
Рис. 1.6. Схемафильтра нижних частот на ИНУН
1.7 Расчет фильтра нижнихчастот на Инун
Для расчета фильтра нижнихчастот или Чебышева более высокого порядка, обладающего заданной частотой срезаfс (Гц), или wс =2πfс и коэффициентом усиленияК = 1, необходимо выполнить следующие шаги.
1. Найти нормированныезначения коэффициентов нижних частот В и С из соответствующей таблицы вприложении А.
2. Выбрать номинальноезначение емкости С2 (предпочтительно близкое к значению 10/f мкФ) и вычислить значениясопротивлений по (1.5)
3. Выбрать номинальныезначения, наиболее близкие к вычисленным значениям, и реализовать фильтр илиего звенья в соответствии со схемой, показанной на рис. 1.6.
2. Техническое задание
1. Фильтр Чебышеваверхних частот на ИНУН;
2. Порядок N = 6;
3. Коэффициентусиления К = 8;
4. Частота среза fc= 100 Гц;
5. Неравномерностьпередачи в полосе пропускания PRW = 1.0 дБ;
6. Использованиерезисторов и конденсаторов ряда Е96.
3. Расчеты
Один из популярныхспособов построения фильтра заключается в том, чтобы представить передаточнуюфункцию в виде произведения сомножителей H1, H2,…, Нm и создать схемы или звенья,или каскады N1, N2,…, Nm, соответствующие каждому сомножителю. Эти звеньясоединяются между собой каскадно, выход первого является входом второго и т.д.Если эти звенья не будут влиять друг на друга и не будут изменять собственныепередаточные функции, то общая схема обладает требуемой передаточной функцией n-гопорядка.
Разобьем фильтр 6-огопорядка на 3 звена 2-ого порядка. Так как общий коэффициент усиления долженбыть равен 8, то все наши звенья будут одинаковы с коэффициентом усиления 2каждое.
Каждое звено будет иметьпередаточную функцию вида
/>
Нормированные значениякоэффициентов В, С из приложения А (в книге Д. Джонсон, Дж. Джонсон«Справочник по активным фильтрам») для параметров: общий порядок N = 6,неравномерности передачи, в полосе пропускания PRW = 1,0 дБ.
В С I звено 0.124362 0.990732 II звено 0.339763 0.55772 III звено 0.464125 0.124707 Расчетпервого звенаПорядок звена равен N = 2. Коэффициентусиления К1 = 2.
1) Найдемнормированные значения коэффициентов В, С из приложения А (в книге Д. Джонсон,Дж. Джонсон «Справочник по активным фильтрам»).
В С I звено 0.124362 0.9907322) Вычисляем значениеэлементов C1, C2, R1, R2, R3,R4, по формулам:
Находим значение емкостиС2 близкое к величине />, т.е. С2= 0.1мкФ.
/>;
/>;
/>;
/>
Откуда получаемтеоретические значение элементов для первого звена
С1, нФ
R1, кОм
R2, кОм
R3, кОм
R4, кОм
Теоретические значения элементов для I звена 100 256 0.995 514 514Из уравнений
/>;
/>;
/>.
Находим коэффициенты дляпередаточной функции
/>
/>
/>
/>
I звена 2 78.137 391100С учетом того, что /> определяем передаточнуюфункцию первого звена
/>
Таким образом, /> – модуль передаточнойфункции – АЧХ первого звена, а /> – аргументпередаточной функции – ФЧХ первого звена.
АЧХ первого звена
/>
ФЧХ первого звена
/>
Расчетвторого звенаПорядок звена равен N = 2. Коэффициентусиления К2 = 2
1) Найдемнормированные значения коэффициентов В, С из приложения А (в книге Д. Джонсон,Дж. Джонсон «Справочник по активным фильтрам»).
В С II звено 0.339763 0.557722) Вычисляемзначение элементов C1, C2, R1, R2,R3, R4, по формулам:
С1, нФ
R1, кОм
R2, кОм
R3, кОм
R4, кОм
Теоретические значения элементов для II звена 105 93.69 4.6 196.6 196.6Из уравнений находимкоэффициенты для передаточной функции
/>
/>
/>
II звена 2 213.473 220200Подставляя данныекоэффициенты в получаем передаточную функцию для второго звена
/>
Таким образом, /> – модуль передаточнойфункции – АЧХ второго звена, а /> – аргументпередаточной функции – ФЧХ второго звена.
АЧХ второго звена
/>
ФЧХ второго звена
/>
Расчеттретьего звенаПорядок звена равен N = 2. Коэффициентусиления К3 = 2
2) Найдемнормированные значения коэффициентов В, С из приложения А (в книге Д. Джонсон,Дж. Джонсон «Справочник по активным фильтрам»).
В С III звено 0.464125 0.1247072) Вычисляемзначение элементов C1, C2, R1, R2,R3, R4, по формулам:
С1, нФ
R1, кОм
R2, кОм
R3, кОм
R4, кОм
Теоретические значения элементов для III звена 143 68.58 20.68 178.5 178.5Из уравнений находимкоэффициенты для передаточной функции
/>
/>
/>
III звена 2 291.61 49230Подставляя данныекоэффициенты в получаем передаточную функцию для второго звена
/>
Таким образом, /> – модуль передаточнойфункции – АЧХ второго звена, а /> – аргументпередаточной функции – ФЧХ второго звена.
АЧХ третьегозвена
/>
ФЧХ третьего звена
/>
Итоговая передаточнаяхарактеристика будет представлять собой произведение сомножителей H1, H2, Н3:
/>
/>
АЧХ фильтра(теоретическая)
/>
Выберем номинальныезначения элементов из ряда Е96, наиболее близкие к вычисленным значениям
I звено
С1, нФ R1, кОм R2, кОм R3, кОм R4, кОмНоминальные
Значения элементов для I звена
100 255 1.0 511 511II звено
С1, нФ R1, кОм R2, кОм R3, кОм R4, кОмНоминальные
Значения элементов для II звена
105 93.1 4.64 196 196III звено
С1, нФ R1, кОм R2, кОм R3, кОм R4, кОмНоминальные
Значения элементов для III звена
143 68.1 20.5 178 178С учетом номиналоврезисторов и конденсаторов из ряда Е96, получим следующую АЧХ (сплошной линиейпоказана характеристика с учетом номиналов ряда Е96, пунктирной линией –теоретическая характеристика).
Вследствие того, значенияиз ряда Е96 не сильно расходятся с рассчитанными, мы получаем практическиожидаемую АЧХ. (Пунктиром обозначен АЧХ реальный)
/>
Литература
1. Джонсон Д.,Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. Пер. с англ. – М.:Энергоатомиздат, 1983.
2. Остапенко Г.С.Усилительные устройства. Учебн. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1989.
3. Альфа-Электроник.Резисторы. Обозначения и параметры. [Интернет-ресурс]