Реферат: Пьер де Ферма

Пьер де Ферма

                                                     Аналитик, будь честен ! 

                                                     Иначе ночью Эквидомид-мститель

                                                     Сожмет твое горло смертельной тоской..

                                              Луи Феррон, “Опыт мюидальной геометрии”

            “Пьер,сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен 20августа 1601 г.  Крестный отец — ПьерФерма, купец и брат названного Доминика, крестная мать — Жанна Казнюв, и я”.Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документискали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвокатаТопиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) годаисправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента.  Маленький городок Бомон на левом берегуГаронны вблизи  Монтабане-на-Тарне (воФранции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силахосознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последнийматематик-алхимик,  решавший праздныезадачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучившийчеловечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик,интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титановматематики нового времени.

            Этотсовременник   Д’Артаньяна почти невыезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон,дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился дозвания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия,практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканскимблагочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни.  Он имел пятерых чад, в последствии ставшихсудейскими чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.

            Всвой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философскихтрактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, невоевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, неимел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судовпредписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений публичности.Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к досужимформальным играм.  На склоне лет нашгерой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаю геометрию самым высокимупражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я делаю малоразличия между человеком, который занимается только геометрией, и искусным ремесленником.Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же толькопрофессией, и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того,чтобы вкладывать в нее все силы...”. Он изменил себе лишь перед смертью,опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшомтрактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферманеожиданно умирает в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы.

            Егоприжизненная известность основана на обильной переписке, в которой он донималдрузей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разросласьблагодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно человечествунеобходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием очередногонеуемного гения. Даже такой загадочный “избранник богов” как Эварист Галуа опередилсвое время максимум на 60 лет. На окончательное осмысление загадок Фермапонадобилось без малого четыре века. Ах, Ваша честь, добрейший господин Пьер,почему от Вас так пахнет серой ? 

            Интереск математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте.В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащийкраткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений.  Ферма, полиглот,  знаток права и античной филологии, вдругзадается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого.  С таким же успехом современный адвокат можетпопытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии поалгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом.Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительноеоткрытие:  для нахождения максимумов иминимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить ирешить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяютэкстремум. Он придумал алгоритм, который станет основой дифференциальногоисчисления. В обрывках писем, в незавершенных рукописях  сквозь громоздкие вербальные обозначения налатыни отчетливо проступает нечто мучительно знакомое:

<img src="/cache/referats/10779/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> .

            Онбыстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существованиямаксимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всемизвестным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и  он находит новый чисто алгебраический методнахождения квадратур для  парабол игипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С ), вычисляет площади, объемы, моментыинерции тел вращения.  Это был настоящий прорыв. Чувствуя это,Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Онуверен в себе и жаждет признания.

            В1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну: ”Святой отец! ЯВам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду нато, что мы сможем беседовать письменно;… Я буду очень рад узнать от Вас овсех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за последниепять-шесть лет.… Я нашел также много аналитических методов для различныхпроблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виетанедостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом безвсякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любойдругой человек на свете.”

            Ктотакой отец Мерсенн?  Это францисканскиймонах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 летвозглавлявший парижский математический кружок, который стал подлинным центромфранцузской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будетпреобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку,и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода“почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”.  Переписка заменяла тогда научные журналы,которые появились значительно позже. Сборища у Мерсенна происходили еженедельно.Ядро кружка составляли самые блестящие естествоиспытатели того времен:Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди и конечно же знаменитый и повсеместнопризнанный Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянская мантия, двародовых поместья, основоположник картезианства, “отец” аналитической геометрии,один из основателей новой математики, а так же друг и товарищ Мерсенна поиезуитскому колледжу.  Этот замечательныйчеловек станет кошмаром для Ферма.

            Мерсеннсчел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввести провинциала в свойэлитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку со многими членами кружка ибуквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи:“Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя — “Способ отысканиямаксимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагалФерма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники несодрогнулись.  Они мало, что поняли, нозато нашли однозначные указание на то, что идея алгоритма максимизации Фермазаимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с забавным названием “Новаястереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения Кеплера встречаютсяфразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны от места наибольшегозначения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малости приращения функциивблизи  экстремума вовсе не носилась ввоздухе. Лучшие аналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям смалыми величинами.  Дело в том, что в товремя алгебра считалась разновидностью арифметики, то есть математикой второгосорта, примитивным подручным средством, разработанным для нужд низменнойпрактики (“хорошо считают только торговцы”). Традиция предписывала придерживаться сугубо геометрических методовдоказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял, чтобесконечно малые величины  можно складыватьи сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков.

            Понадобилосьпочти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой  “Энциклопедии” признал: “Ферма былизобретателем новых исчислений.  Именно унего мы встречаем первое приложение дифференциалов для нахождениякасательных”.  В конце XVIII века ещеболее определенно выскажется  Жозеф Луиграф де Лагранж: “Но геометры — современники Ферма — не поняли этого нового рода исчисления. Они усмотрели лишьчастные случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго перед“Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным в течении сорока лет”. Лагранжимеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции” Исаака Барроу, подробноосвещавшие метод Ферма.

            Кромевсего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склонен формулировать новыепроблемы, нежели, чем смиренно решать задачи, предложенные метрами. В эпохудуэлей обмен задачами между учеными мужами был общепринят, как форма выясненияпроблем, связанных с субординацией. Однако Ферма явно не знает меры. Каждоеего письмо — это вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем насамые неожиданные темы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси):“Item, каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавленииединицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, то пришлитечастное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобы Вас не оченьзатруднить. После того как Я получу от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особыхоговорок, что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку вслучае дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.”Ферма часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз,  и откровенно блефовал, утверждая, чторасполагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи. Не обходилось ибез прямых ошибок. Некоторые из них были замечены современниками, а кое какиековарные утверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий.

            КружокМерсенна прореагировал адекватно.  ЛишьРобервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняетдружеский тон писем. Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить “тулузскогонахала”. Но Ферма не намерен оправдываться: ”Преподобный отец! Вы мне пишете,что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладила господСен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения их писем.Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, на самомделе не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказалАрхимед… ” и т.д…

            ОднакоФерма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождении прямоугольноготреугольника с целочисленными сторонами, площадь которого равна квадрату целогочисла. Послал, хотя знал, что задача заведомо не имеет решения. 

            Самуювраждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В его письме Мерсенну от1938 г. читаем: “так как я узнал, что это тот самый человек который перед темпытался опровергнуть мою “Диоптрику”, и так как Вы сообщили мне, что он послалэто после того, как прочел мою “Геометрию” и в удивлении, что я не нашел ту жевещь, т. е. (как имею основание его истолковать) послал это с целью вступить всоперничество и показать, что в этом он знает больше, чем я, и так как еще изваших писем я узнал, что за ним числится репутация весьма сведущего геометра,то я считаю себя обязанным ему ответить.” Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как “малыйпроцесс Математики против г. Ферма”.

            Легкопонять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, в рассуждениях Фермапостоянно фигурируют координатные оси и представление чисел отрезками — прием,который Декарт всесторонне развивает в своей только что изданной “Геометрии”.Ферма приходит к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, вчем-то он даже более последователен, чем Декарт. Во-вторых, Ферма блестяще демонстрируетэффективность своего метода нахождения минимумов на примере задачи о кратчайшемпути светового луча, уточняя и дополняя Декарта с его “Диоптрикой”. 

            ЗаслугиДекарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем современную “Математическуюэнциклопедию” и просмотрим  списоктерминов связанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692),“Декартов лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло висторию как “Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: он основательфилософской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенныхобозначений,  но в его творческом наследиимало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет,но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см.там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”).Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг другу. Столкновение былонеизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсенна разгорается война, длившаясядва года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав перед историей: яростнаясхватка двух титанов, их напряженная, мягко говоря, полемика способствовалаосмыслению ключевых понятий математического анализа. 

            Первымтеряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился с Декартоми больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних работ “Синтездля рефракции”, рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает“ученейшего Декарта” и всячески подчеркивает его приоритет в вопросахоптики.  Между тем именно эта рукописьсодержала описание знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечиваетисчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света.  Реверансы в сторону Декарта в работе такогоуровня были совершенно излишни.

            Чтоже произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на примирение?Читая письма Ферма тех лет (1638 — 1640 гг.), можно предположить самое простое:в этот период его научные интересы резко изменились.  Он забрасывает модную циклоиду, перестаетинтересоваться касательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своемметоде нахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного,Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшиегеометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятся числа.Собственно говоря, вся “Теория чисел”, как самостоятельная математическаядисциплина, своим появлением на свет целиком обязана жизни и творчествуФерма. 

            Втрудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало исследованийпо теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и доказываетбесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить cribrumEratosthenis (решето Эратосфена) — метод выделения простых чисел изнатурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта (IIIвек до н. э.), который рассматривал задачи о представлении чисел и решалнеопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его “Арифметики” донаших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на латинскийи французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г.издал перевод  “Арифметики” ссобственными подробными комментариями и дополнениями. Именно это издание,попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики.

            Фермавнимательнейшим образом штудирует “Арифметику” и помещает на полях книги 46замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории чисел (в основномбез доказательств)  рассеяны в письмахФерма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления в математике.После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр“Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийца Диофанта скомментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора”. Вкнигу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочиненияЖака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное на основе писемФерма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистамиоткрылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичностьтеоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний.  В то время мало кто понимал как вычисляетсяплощадь параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремыФерма. Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого.До конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово. Но бурнаяистория развития идей Ферма только начиналась.

            Впоследствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английскимматематикам             Дигби и Броункеру.Это письмо имеет специальный подзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”.  Ферма пишет: “Едва ли кто-нибудь можетпредложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо разве Арифметика нетолковалась скорее геометрически, чем арифметически. Это подтверждаетбольшинство трудов древних и новых авторов; подтверждают это и труды самогоДиофанта. Он несколько более других отдалился от геометрии, когда начал излагатьАналитику в рациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена геометрии,что вполне доказали книги Виета “Зететика”, где метод Диофанта переносится нанепрерывные величины, а значит, и на геометрию.… Лишь я, словно идущийвпереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства или построения следующуютеорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете, что задачи такого рода нитонкостью, ни трудностью, ни способом доказательства не уступают знаменитейшимпроблемам геометрии”.

            Чтоже искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнем предположить, чтоболее всего Ферма интересовали способы построения простых чисел. Он мечталнайти явную формулу, которая позволяет быстро вычислять сколь угодно большиепростые числа. На полях “Арифметики” он высказал предположение, что таким“генератором” простых чисел будет формула

<img src="/cache/referats/10779/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">            n =0,1,2,...

Действительно, при  n =0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Ферма полагал, чтопри всех прочих n  числа F(n)- простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этотрезультат.

            Понадобилосьсто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма. Этопроизошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в 1729 г. писал находившемуся вПетербурге Эйлеру:  “Известно ли тебезамечание Ферма о том, что все числа вида <img src="/cache/referats/10779/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> именно 3, 5, 17 ит.д… суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и,насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару лет подумал ипоказал, что уже при n = 5 число F(5) делится на 641:

<img src="/cache/referats/10779/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> .

Для получения этого результатаЭйлеру пришлось испытать 160 делителей. Составными оказались и многие другиечисла Ферма (при n =6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящий моментсоставных чисел Ферма F(452) состоитиз 10135 цифр и делится на 27×2455+1 ( показано с помощью ЭВМ).Справедливости ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n)  простыми,никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другойстороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколькоиз знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

            Итак,Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а не простыечисла. Однако, идея “генерирования” простых чисел была воспринята сэнтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный  Эйлер предложил многочлен x2-x+41, который при всех целых x  от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлерне поленился проделать эти вычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен сцелыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента приниматьтолько простые значения. Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов итысяч дилетантов,  мы по-прежнему неумеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов обих распределении. Один из самых ярких результатов этой области  принадлежит академику Пафнутию ЛьвовичуЧебышеву (1850): число простых чисел не превосходящих n  приблизительно равно <img src="/cache/referats/10779/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">  при n ® ¥ .

            Фермаошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной своей теореме бесславнокануть в лету. “Проклятые числа как оборотни” вылезали в самых далеких оттеории чисел исследованиях. В 1796 г. 19-летний студент Геттингенскогоуниверситета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию, доказав теорему: правильныймногоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и толькотогда, когда число его сторон равно 2ap1p2...pb, где все простые числа pi являются числами Ферма, т. е. имеют вид <img src="/cache/referats/10779/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> . То была месть Фермаспесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорами относительновозможности построения правильных многоугольников и сэкономила массу временилюбителям математики. Из этой теоремы следует, что можно построить правильные3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например,правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих  Гаусс не поленился построить правильный17-угольник.

            Занимаясьтайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о представимостичисел квадратичными формами. Например, он обнаружил следующие удивительнопростые и глубокие закономерности:

            1.Формой  x2+y2  представимы все простые числа, которые лежат впрогрессии 4n+1, причем каждое изних представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии4n+3 не представимо суммою двух квадратов.

            2.Формой x2+2y2 представимы все простыечисла, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число изпрогрессий  8n+5 и 8n+7 не представимов виде x2+2y2 .

            3.Формой x2-2y2 представимы все простыечисла, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число изпрогрессий  8n+5 и 8n+3 не представимов виде x2-2y2 .

            4.Формами x2+3y2 и   x2+xy+y2 представимывсе простые числа, лежащие в прогрессии 3n+1.Ни одно простое число из прогрессии 3n+2  не представимо указанными формами.

            Фермаоставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, как ему удалосьполучить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед смертью в письме кде Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с помощью своего методабесконечного спуска. Можно лишь пожалеть современников Ферма, которые регулярнополучали вариации на тему утверждений (1) — (4) в качестве задач. Первые полныедоказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру. Попутно онсформулировал очень важную теорему о делимости — так называемой квадратичныйзакон взаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через увлечениеквадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век — Вейль,Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смыслепостроения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добраяполовина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказатьутверждения Ферма.

            Одиниз важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема Ферма”.Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простогоp и любого a³1, котороене делится на p, разность ap -1-1 делитсяна p. Например, пусть a=5,

p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2×2,  53-1-1=3×8,  57-1-1=7×2232,  511-1-1=11×8878.Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным длянего замечанием: “… я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался бытьслишком длинным”.

            Первоедоказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736г., публикует сразу три различных доказательства, которые показывают, что Фермавполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарныедоказательства утверждений Ферма, пытаясь понять насколько лукавил великийтулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. онполучил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть j(m) — число натуральных чисел, не превосходящих m  и взаимно простых с m. Тогда для любого m и любого a³1, взаимнопростого с m, разность aj(m)-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовалв качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”

            Наконец,мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории математики. Этатеорема получила известность как “Великая теорема Ферма” (она же “Большая”, она же “Последняя”).  На современном это языке звучит так:

            несуществует отличных от нуля целых чисел x, y  иz, для которых                    имеет место равенство  

<img src="/cache/referats/10779/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

при n>2.

            Разумеется,никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знака равенства, а использоваллатинское eq. Приводим утверждение Ферма в оригинальном виде:

            “Куб,однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую добесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможноразделить”.  И не поставив точку,Ферма приписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этогопредложения. Но оно не умещается на узких полях.“

            Этойфразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный квадрат разложитьна два квадрата”. Данное замечание является вторым по счету из сделанных им наполях “Арифметики”. Первое касалось житейских тем.

            Неопределенныеуравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) вида  <img src="/cache/referats/10779/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> интересовали древнихгреков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройки целых чисел,образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение в рамке имеет бесчисленное множество решений. Догадка Фермазаключалась в том, что при всех прочих nтаких троек  не существует.

            Врядли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например, около тысячи летназад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (что означает Хамид из Ленинабада)утверждал, что уравнение x3+y3=z3  не имеетрешений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никаких шансов доказатьэто утверждение.

            Вотношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовоедоказательство Ферма дошедшее до наших дней. На протяжении 20 лет Ферма упорностарается привлечь внимание математиков к “Великой теореме”,  предлагая частные случаи в качестве задач.  Случай n=3он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.)пишет, что доказал теорему для n=3методом спуска. Между тем “Великую теорему” для общего случая  n>2  Ферма сформулировал только один раз вупомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни водном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в отношении которых уверенно говорит, что располагаетдоказательством.  Даже в письме к де Каркавиот 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные достижения, о “Великойтеореме” в общем виде нет ни слова. Это может означать только одно: Фермаобнаружил пробелы в своем “поистине удивительном доказательстве”, которые так ине смог устранить.

            Разумеется,это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в. началась невиданная по своейнапряженности гонка за доказательством “Великой теоремы Ферма”. Обманчиваяпростота формулировки теоремы обрекла тысячи поклонников математики набесплодные поиски доказательства или опровержения теоремы. Более ста лет никомуиз ученых не удавалось продвинуться вперед даже при рассмотрении частныхслучаев конкретных значений показателя n.  

            Первыйсерьезный результат был получен конечно же Эйлером (1768). Он показал, что случайn=4 уникален. Это единственныйчастный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарныйхарактер. Уже при n=3 возникаютзначительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод вочередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа вида<img src="/cache/referats/10779/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> , где a, b — целыечисла. В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже Ферма.

            Строгоговоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованноперенес ряд свойств обычных чисел на числа вида <img src="/cache/referats/10779/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1034">  Дляустранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новыеалгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программыначал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство“Великой теоремы Ферма” для n=3.

            Доказательстводля случая  n=5 предложили  почтиодновременно в атмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр(1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма быладоказана для следующего простого показателя n=7.Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, чтодоказал теорему для всех простых показателей n>3. Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил врассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе былвынужден признать свое поражение.

            Покаво Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер упорнозанимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию“идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно.Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактныхконструкций, которые сегодня  изучаются вспециальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятившийтеореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теоремуФерма” для всех простых показателей n <100. В 1857 г. ему была вручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс.франков. Работы Куммера окончательно похоронили надежды на возможностьдоказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферманикогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.

            ПослеКуммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплотьдо 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном виде некиеусловия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого простогопоказателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительнымпроблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концусемидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана длявсех n <100000. Это очень большоечисло, но это еще не все n, а значит“Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

            “Вернаили не верна?” — так назывался чудесный научно-популярный игровой фильм, промелькнувшийна экранах телевизоров в начале семидесятых. Современный яйцеголовый математик,разложив на пульте ЭВМ старинные фолианты, колдует над кипящей ретортой. Онрешил обратиться к последнему средству. Произнесена магическая формула,раздается взрыв, и в облаке дыма появляется интеллигентного вида дьявол (егоблестяще играет молодой Кайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливоспрашивает, что угодно клиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочу знать,верна или не верна теорема Ферма”- устало ответствует математик. “Простите, ктокому не верна?”- переспрашивает ошарашенный дьявол. “Великая или Последняятеорема Ферма. Это математическое утверждение. Оно либо справедливо, либоошибочно. Я должен это узнать любой ценой”. Дьявол осторожно интересуетсянасчет более традиционных пожеланий — земные блага, вечная молодость и всетакое. Но математик упрямо требует ответа на проклятый вопрос. Дьявол, обреченновздыхая, соглашается вникнуть в суть проблемы. Математик пускается вобъяснения: “Уравнение Ферма может быть решено в целых числах, если показательравен двум. Например, три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти вквадрате. Но если показатель равен трем… ”

“Подождите,- перебивает его дьявол.- Как Вы сказали? Три в квадрате плюс четыре в квадрате… ”, и дьявол  рисует кончиком хвоста:

<div v:shape="_x0000_s1026">

3

 4

              + 

Математик с изумлением взирает напосланника ада. Дьявол безнадежно отстал и не знает элементарной алгебры!Придется начинать с самого начала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель)уясняет формулировку теоремы и проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма,ему не терпится приступить к  решениюзагадки: “Я всего лишь должен найти три числа? Три обычных числа, которыеудовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторого показателя, например, длятрех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнуть теорему”- отвечает математик, нодьявол уже исчез. Через несколько минут он вновь сидит в кресле: “Я перебралбиллионы чисел для тысячи показателей, но нужных цифр среди них не было” — заявляет он обиженно. Математик улыбается: “Зря старались.Известно, что теорема Ферма верна для всех показателей не превосходящих 100000.Попытайтесь доказать теорему, используя знания, накопленные людьми”.  Час спустя дьявол появляется вновь. Вид унего самый озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эташтучка жжет почище адского пламени. — говорит он задумчиво — Я полностьюовладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, рядыДирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое. И язнаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он возвращаетсялишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика. “Послушайте, — шепчетвозбужденно дьявол, -  а Вы пробовалирассматривать алгебраические кривые в проект