Реферат: Трикутник Рьоло (треугольник Рёло)
Трикутник Рьоло (Треугольник РЁЛО)
ВСТУП
Ще з часівДревнього Сходу, від цивілізації Єгипту і Вавилона дійшли до нас древні математичнітексти, що свідчать про ту велику увагу, що приділяли наші предки розвиткугеометрії [1]. У Єгипті і Вавилоні не було великих земельних площ, і господарчадіяльність вимагала проведення значних іригаційних робіт, земельногоупорядкування, зокрема установки границь ділянок після повеней, що приносилирічковий мул, який руйнував границі земельних наділів.
Зміцненняцентралізованих держав сприяло створенню міст, розвитку торгівлі. Виникалиматематичні задачі, зв'язані з виміром площ полів, об'ємів гребель ізерносховищ і т. д. Термінів “трикутник”, “чотирикутник”, “фігура” тоді ще небуло. У папірусах, що дійшли до нас, мова йшла про пряме, косе чи кругле поле,ділянку з границею, довжиною і шириною. Площі прямокутників, трикутників ітрапецій древні люди вже тоді обчислювали за точними правилами, що зайвий раздоводило, наскільки важливими для повсякденного життя були ці простігеометричні фігури.
У ДревнійГреції протягом трьох століть учені створили теорії, глибину яких змоглипо-справжньому зрозуміти й оцінити лише математики XIX-XX століть. Славазасновника давньогрецької математики належить Піфагору Самоському, щоперетворив геометрію зі зборів рецептів рішень різних задач в абстрактну науку.Ця наука розглядає вже не площі полів, місткість зерносховищ, дамб чи штабелівцегли, а геометричні фігури-абстракції, ідеалізації визначених властивостейреальних об'єктів.
З часомзнання людства в галузі геометрії розширювалися й удосконалювалися, але невгасав науковий і практичний інтерес до найпростіших геометричних фігур,зокрема до трикутника – плоскої фігури, утвореної з'єднанням трьох точокпрямими лініями. Усім відомі рівносторонні, рівнобедрені, тупо- і гострокутнітрикутники, прямокутні трикутники, що широко використовуються для рішенняпростих задач повсякденного життя (побудови інших плоских і просторових фігур,обчислень площ, об’ємів і т.д.). Менш відомі деякі інші види трикутників,наприклад [2, 3]:
педальний трикутник (щодо даного трикутника АВС) – трикутник, вершини якого є основамиперпендикулярів, опущених з довільної точки Р, що знаходиться у серединітрикутника АВС на сторони трикутника АВС;
ортоцентральний трикутник – окремий випадок педального трикутника, при якому довільна точка Р єточкою перетину висот трикутника АВС;
серединнийтрикутник (щодо трикутника АВС) – трикутник, побудований шляхом з'єднаннясередин сторін даного трикутника АВС;
різницевийтрикутник – трикутник, довжини сторін якого складають арифметичну прогресію;
бісектральнийтрикутник – трикутник, вершинами якого є точки перетину бісектрис даноготрикутника АВС із протилежними сторонами.
Зрозвитком науки про трикутники в побут учених (та й не тільки їх) увійшлихарактерні назви деяких точок і ліній трикутника:
чевіана –відрізок, що з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні;
висота –чевіана, опущена під прямим кутом на протилежну сторону трикутника;
бісектриса– чевіана, що поділяє навпіл кут при даній вершині, з якої вона опущена;
медіана –чевіана, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони;
центркола, описаного навколо трикутника, — точка перетину трьох перпендикулярів, щоподіляють навпіл сторони трикутника;
центркола, вписаного в трикутник, — точка перетину бісектрис трикутника;
ортоцентртрикутника АВС – центр кола, вписаного в ортоцен-тричний трикутник відноснотрикутника АВС;
центроїд –точка, що поділяє відстань від ортоцентра до центра описаного навколотрикутника кола у відношенні 2:1;
прямаЕйлера – пряма, що з'єднує ортоцентр, центроїд і центр описаного навколо трикутникакола;
колодев'яти точок (коло Ейлера) – коло, на якому лежали основи трьох висотдовільного трикутника, середини трьох його сторін і середини трьох відрізків,що з'єднують його вершини з ортоцентром.
Потреба вдослідженні характерних точок і ліній трикутників виникла як з науковоїцікавості, так і з чисто практичними цілями. І якщо в стародавності найбільшшироко використовувався на практиці прямокутний трикутник Піфагора (різницевийтрикутник зі спів-відношенням сторін 3:4:5), то в наш час найбільший інтересвикликають незвичайні властивості так званого трикутника Рьоло.
1. Кінематична властивістьтрикутника Рьоло
/> <td/> />Цей криволінійний трикутник А1В1С1 (див.рис.1) названий на честь німецького математика та інженера Франца Рьоло, якийнайбільш повно вивчив його властивості.
Рис.1. Схема окреслення чотирикутникаобертанням трикутника Рьоло
Побудуватитрикутник Рьоло досить просто. З кожної вершини рівностороннього трикутникаслід провести дугу кола, що з'єднує дві інші вершини. Отриманий криволінійнийтрикутник відноситься (поряд з колом) до так званих кривих постійної ширини:коли він котиться, верхні і нижні точки контуру переміщуються вздовж паралельнихпрямих.
Окреслення чотирикутника складенимобертанням трикутника Рьоло
Аленайбільш відома кінематична властивість трикутника Рьоло. Якщо обертатитрикутник А1В1С1 навколо центра О1 описаного навколо нього кола з радіусомО1А1, а центр трикутника О1 обертати в протилежну сторону в три рази швидше поколу з центром N, то трикутник окреслить фігуру, що незначно відрізняється за формою від чотирикутника(рис.1). Зокрема, за один оберт центра О1направо по колу з радіусом О1N два кути чотирикутника будуть оформлені вершиною А трикутника Рьоло і поодному – вершинами В і С, тобто через кожну чверть оберту навколо центру N трикутник Рьоло буде знаходитися в положеннях А2В2С2, А3В3С3 і А4В4С4.
Однаквиконані на рис.1 побудови показують невелику кривину сторін чотирикутника, прояку також вказують інженери-експери-ментатори [4, 5]. За їхніми даними, найбільше відхилення стороничотирикутника А1А4 від ідеальної прямої має місце в точці D, для якоїсправедлива рівність А1D = А4D. Трикутник Рьоло при обертанні контак-тує зточкою D серединою своєї сторони.
З’ясуємо,як обчислити це відхилення. Позначимо: R – радіус описаного біля трикутникаРьоло кола; r = O1N. Тоді
А1В1=А2В2=А3В3=А4В4=R/>,
ND= r – R + R/> (1)
З трикутника А1NA4 одержуємо
А1N = r + R
NE = /> (r +R) / 2 (2)
З урахуванням, що DE = ND = NE, з рівнянь(1) і (2) визначимо
DE = r + R(/> - 1) – (r + R) //>,
або
DE = R(/>– 1– (/>)/2) +r(1 – (/>)/2)~ 0,025R + 0,293r (3)
Таким чином,відхилення DE сторони квадрата від ідеальної прямої залежить, у першу чергу відрадіуса r і не може бути усуненим, тому що R і r не можуть дорівнюватися нулю.
Окреслення n-кутника складеним обертанням m-кутника Рьоло
Ґрунтуючисьна отриманих Францем Рьоло результатах, розглянемо більш загальну задачуобертання m-кутника Рьоло з різними швидкостями навколо центрівобертання для окреслення замкнутої фігури у формі n-кутника (n>m).
Розглянемокінематику утворення трикутником Рьоло кутів А1В2С3 і А4А1В2. Для того, щоб кутА1В2С3 був утворений вершиною В трикутника Рьоло, необхідно за час tперемістити трикутник по годинниковій стрілці на кут 2π/n навколо центраN, але при цьому прокрутити його проти годинникової стрілки на кут (2π/n)– (2π/m). Визначимо кутові швидкості обертання трикутника Рьоло:
α = (2π/nt) – (2π/mt) = 2π(m – n) / (tmn),
β = 2π/nt,
де α – кутовашвидкість обертання трикутника Рьоло навколо центра О1 описаного біля ньогокола;
β – кутова швидкість обертання центра О1 навколо центра N.
Установимо,чому дорівнює співвідношення швидкостей:
α / β = 1 – (n/ m). (4)
Таким чином, у результаті аналізу утвореннячотирикутника за допомогою трикутника Рьоло встановлено, що цей процес єокремим випадком утворення n-кутника в результаті складеного обертання m-кутника.Співвідношення (4) показує, що n-кутник може бути окресленим, якщо на процесобертання центра О1 m-кутника навколо центра N накласти обертання в протилежнусторону m-кутника навколо його центра О1 з кутовою швидкістю α, щовідрізняється в n/m раз від кутової швидкості β.
Формула(4) також показує:
1)оскільки n > m, то кутові швидкості α і β завжди будуть протилежні за знаком;
2)трикутник Рьоло при обертанні з різними швидкостями α і β можеокреслювати будь-який правильний n-кутник (n > m), наприклад, шестикутник,якщо α = — β, дев’ятикутник, якщо α = -2 β і т.д.;
3) можна замістьтрикутника Рьоло використовувати інші фігури з m-ним числом кутів;
4) з практичноюметою, на наш погляд, замість трикутника Рьоло можна застосовуватисочевицеподібний контур (m=2); інструменти і деталі, що мають цей контур, простіші увиготовленні, менші за габаритами, і, як наслідок, дешевші.
Розрахунок контурів n-кутників, що окреслені трикутником Рьоло
Науковий іпрактичний інтерес викликає не тільки необхідність обчислювання відхилення DE, але йвстановлення координат контурів n-кутників, що окреслені m-кутниками на зразоктрикутника Рьоло.
Спочатку визначимокоординати будь-якої точки контуру трикутника Рьоло при сталих α і β.
/>
Рис.2. Схема длявизначення координат контуру трикутника Рьоло.
Задамо кутомγ точку G на контурі трикутника Рьоло (при подальшому обертітрикутника Рьоло точка G переходить у точку Е контуру чотирикутника). Позначимоцентральний ∟ACG=φ. Тоді ∟ABG=φ/2. Хай OG=Rγ.Визначимо Rγ. З трикутників АСЕ’ та АОЕ’:
АЕ’2=6R2-6R2cosφ,
АЕ’2=R2+ Rγ2-2Rrγcosγ,
звідки
cosφ=(5R2+2RRγcosγ- Rγ2)/6R2
З трикутника Е’СВза теоремою косинусів:
/>
За теоремоюсинусів з трикутника ОВЕ’ маємо:
Rγ=(BE’sin(30o+φ/2))/ sin(120o-γ),
звідки
/>
Нехай трикутникАВС обертається навколо центру О з кутовою швидкістю α. У системікоординат, що зв’язана з центром О, визначимо координати точки G:
XG=Rγsin(γ-α)
YG=Rγcos(γ-α)
Якщо центр Ообертається навколо центру N з кутовою швидкістю β, то точка G переміщуєтьсяу точку Е’ і у системі координат, що зв’язана з центром N, набуваєкоординати, які можна обчислити за формулами:
XG=rcosβ+ Rγsin(γ-α) (5)
YG=rsinβ+Rγcos(γ-α). (6)
Визначимо взагальному вигляді відхилення D’E’ (див рис.3).
/>
Рис.3 Схема длявизначення відхилення D’E’.
Рівняння прямої v, тобтосторони AB1 n-кутника, до якої належить точка D’, має вигляд:
Y=kX+(R+r). (7)
Як відомо,коефіцієнт k=tg(ω), де ω – кут між прямою v та віссю х. В нашому випадку дляокреслення чотирикутника ω=45о, а для n-кутника – ω=180о/n.
Визначиморівняння прямої u, часткою якої є відхилення D’E’:
Y=k1X+b1, (8)
k1=tg(ψ)=tg(ω+90o)=-ctg(ω)=-1/k.
Координати точкиЕ’ дозволяють обчислити b1:
b1=YE’-kXE’.
Рівняння (7) та(8) утворюють систему, рішенням якої є координати точки D’:
XD=(kYE’+ XE’+k(R+r))/(k2+1),
YD=(k2YE’+kXE’+k(R+r))/(k2+1).
Таким чином завідомими координатами точок D’ і E’ можемо обчислити відхилення D’E’ за формулою:
/>
Окресленняправильного чотирикутника
складенимобертанням трикутника Рьоло
Францем Рьоловказувалося, що при окресленні трикутником Рьоло чотирикутника утвориться невеликанеперекрита трикутником площа чотирикутника. У даній роботі цей висновок бувсформульований у вигляді формули (3). Я взяв собі за мету: що потрібно зробитидля усунення кривини сторін чотирикутника. Один з варіантів передбачає (рис.4)утворення чотирикутника таким трикутником Рьоло, що має радіус кривини ρ ≠R. Оскільки на рис.1 чотирикутник має опуклі сторони, вважаємо, що радіускривини сторін трикутника Рьоло, що дорівнює, /> недостатній для забезпеченняпаралельності сторін чотирикутника. З цього випливає ρ > />.
/>
Рис.4. Схема окреслення правильногочотирикутника обертанням трикутника Рьоло із зміненим радіусом кривини сторін
Для сегмента А2LB2M запишемо:
ρ = [(LA2)2 + LM2] /2LM. (9)
З трикутникаO2B2L визначимо LA2:
LA2 = (/>) /2 (10)
Висотасегмента LM є частиною катета прямокутного трикутника A1NM:
LM = NM – NL,
для якого
NM = A1N·cos45º, тобто NM = /> (r + R) / 2 (11)
і
NL = NO2 + O2L
Враховуючи, що NO2 = r, а зтрикутника O2B2L O2L = R / 2, одержимо:
NL = r + R/2 (12)
Таким чином, з урахуванням формул (11), (12)
LM = r[(/>)/2– 1] + R(/> - 1)/2 (13)
Підставляючи вирази (10) і (11) у формулу (9), визначимо необхідний радіускривини:
ρ=[3R2+(R2+2Rr+2r2)(3-2/>) + 2Rr(1-/>)] / {4[R(/>–1) + r(/>–2)]} (14)
Знаменникформули (14) буде позитивною величиною при виконанні нерівності:
R > [r(2 — />)] / (/>–1)
Окресленняправильного чотирикутника складеним обертанням сочевицеподібного контуру
Для визначенняоптимальних співвідношень параметрів, що забезпечують точну геометричну форму чотирикутника, окресленогообертанням сочевицеподібного контуру, звернемося до рис.5.
/>
Рис.5. Схема окресленнячотирикутника обертанням сочевицеподібного контура
Зпрямокутного трикутника NCB з урахуванням позначення NO2 = rспіввідношення між висотою O2C і шириною a сочевиці дорівнює:
(r + a/2)cos π/n = r + O2C (15)
Для сочевиці АВсправедливі рівності:
a/2ρ = sin φ,
O2C = ρ (1 – cosφ),
звідки
a2 / 4ρ2 = 1 – cos2 φ,
/>
підставляючи значення О2С в формулу (15), одержимо:
ρ={a·cos(π/n)–2r[1–cos(π/n)]}/4 + a2/ {4a·cos(π/n) –8r[1 -cos(π/n)]},
де a – ширина сочевиці, при цьому a ≤ 2ρ cos (π/n).
Практичне застосування трикутника Рьоло
Властивостітрикутника Рьоло, які виявив Франц Рьоло, а потім і інші учені, широковикористовуються у всіляких областях техніки. На відміну від математиківінженери і техніки надали трикутнику Рьоло власну назву – “рівновісний контур”чи скорочено — РК.
Окресленнячотирикутника при обертанні РК було використано в конструкціях натирача підлоги(для ефективного миття і натирання підлог у кутах кімнат), ущільнювача бетоннихсумішей при виготовленні квадратних бетонних стійок. Виготовлено інструментидля свердління і фрезерування квадратних отворів. РК використовують у кулачкахгрейферних механізмів кіноапаратів, насосах, редукторах, роторно-поршневихдвигунах. Наприклад, у вигляді РК виконаний ротор двигуна Ванкеля [4, 6].
Кулачок увигляді РК-контура, якщо його закріпити з ексцентриситетом, при обертанні можестворювати вібрації. Враховуючи незалежність діаметра від кута повороту в рядікулачків, що обертаються, можна забезпечити і їхнє щільне прилягання, і сталийзазор між ними. Значна робоча поверхня кулачків, що обертаються, дозволяєефективно виконувати захват і розмел різних матеріалів [6].
Найбільшповно розглянуту нами вище кінематичну властивість РК застосували втехнологіях [5] і пристроях (авт. свід. 1375383, 1426676, 1516191) длявиготовлення розтрубів на кінцях циліндричних труб. В результаті булиудосконалені токарські верстати і пристосування до них, що забезпечили якіснуроздачу квадратних і шестигранних розтрубів, необхідних для з'єднання трубрізної конфігурації в розтині. Процеси роздачі використовували інструменти зРК-контуром, різні співвідношення кутових швидкостей інструмента, труб іприводів інструмента для роздачі.
У промисловостіі сільському господарстві успішно працюють пристрої і деталі, що використовуютьдеякі інші властивості рівновісного контуру, не зв'язані з його обертанням. Цівластивості встановлені поки тільки експериментально і вимагають теоретичногообґрунтування.
Дляпередачі крутильного моменту з вала на шестірню використовують головним чиномшліцові чи шпонкові з”єднання. Коли форму розтину валів і отворів насаджених наних шестерень виготовили у вигляді РК, то встановили, що:
1) для передачі того ж самого крутильного моментуплоща їхнього поперечного розтину може бути зменшена на 30%;
2) зностаких з'єднань у 3 рази менше;
3)крутильна жорсткість – у 3 рази вище;
4) вал ішестірня автоматично центруються, що зменшує вібрацію і шум.
З'єднаннявал-шестірня з РК у розтині широко застосовують на автомобільних, тракторних,комбайнових і верстатобудівних заводах.
Здатність деталей із РК у розтині досамоцентрування при контакті з іншими деталями, ефективній передачі зусиль іменшого зносу використана в конструкції інструмента для гвинтового прошиваннятруб (авт. свід. 1279690), що використовувався в трубопрокатному цеху ММК ім.Ілліча.
Длявиготовлення труби треба було спочатку виготовити порожню заготівку з круглогозливку металу. Отвір у зливку роблять за допомогою інструмента, що має формуподовженої бочки з передньою частиною особливої форми – носком. Носоквиготовляли у вигляді закругленого попереду конуса, на поверхні якого робилиподовжні пази (з розтином у вигляді шліца). Проте носок сильно зношувався, аодержувана порожня заготівка риса нерівномірну товщину стінок.
І лише коли носок виготовили з розтином у виглядірівновісного контуру, стійкість інструмента зросла, інструмент при прошиванніне зміщався убік від центра зливка, а порожні заготівки стали мати більшрівномірну товщину стінок.
Якщо корпусплавучої бурової установки виконати в плані у вигляді РК-контура, він завждисамо орієнтується одним з своїх кутів назустріч течії [6].
Привирубці отворів у металевих аркушах використовують інструмент: матриці івирубні пуансони зі спеціальними формами крайок, що ріжуть, наприклад,навкруги, еліпсом, чи прямокутником трикутником. Якщо в пуансоні крайку, щоріже, виконати рівновісним контуром, то знижується зусилля деформування,зменшуються відходи металу і створюється більш якісна поверхня [14, авт.свід.376186].
ТрикутникРьоло – фігура сталої кривини, тобто нормаль між двома паралельними і дотичнимипрямими до РК-контура є сталою величиною. Але трикутник Рьоло при однакових зкругом того ж діаметру площах має більшу ширину у довільно вибраному напрямі,що дозволяє використовувати РК-контур в якості поперечного розтину паль дляслабких ґрунтів [6].
Варто також згадати і про поки що фантастичніможливості використання РК для виготовлення …коліс. Удосконалювання форми цьоговеликого винаходу людства відбувається і в теперішній час [8]. Інженериустановили, що на твердих дорогах колеса автомобілів повинні бути круглими, прирусі по пухкому снігу чи піску – квадратними, їхати по болоту найкраще на пелюстковихколесах. Але всі ці форми коліс можна замінити на колесо у формі трикутникаРьоло. Треба лише привод в автомобілях зробити таким, як у винаходах, щовикористовуються при ротаційній роздачі розтрубів на трубах. Тоді по твердомуґрунті автомобіль буде плавно їхати при співвідношенні кутових швидкостей β=-3α, а по іншихґрунтах, змінюючи співвідношення α і β, можна реалізовувати рух автомобіля, наприклад, якв ожеледь, з накинутими на шини ланцюгами чи так, як переміщується павук (β=0).
Такіуніверсальні колеса були б корисними місячному всюдиходові, болотоходам,тягачам, що працюють в умовах вічної мерзлоти і т.д.
Висновки
1.Вивчено трикутник Рьоло (рівновісний контур) і його складене обертання білядвох центрів. Теоретично розраховані кутові швидкості обертання α, β трикутникаРьоло коло центра описаного навколо нього кола (α) і іншого довільнообраного центра (β), що дозволяють трикутнику окреслювати фігури, близькі заформою до правильних багатокутників. Визначено погрішності розмірів багатокутників,що окреслюються.
2. На підставівиведеної залежності між швидкостями α, β, числом граней трикутникаРьоло і багатокутника, що окреслюється, показана можливість окресленнябудь-яких правильних n-кутників шляхом обер-тання зі швидкостями α іβ будь-якого m-кутника за умови n > m > 2.
3. Запропонованоз практичною метою замість трикутника Рьоло використовувати сочевицеподібнийконтур (m = 2). Інструменти та деталі, що риси б контур сочевиці,простіше було б виготовити, тому що вони б риси меншу вагу, дві замість трьохкриволінійних поверхонь, що обробляються, і, як наслідок, були б дешевші.
4. Отриманіформули, які дозволяють обчислити координати довільно обраної точки контурутрикутника Рьоло в процесі його складеного обертання навколо двох центрів зокресленням контурів будь-яких n-кутників (n > 3).
5.Теоретичним шляхом отримані формули, що визначають необхідні радіуси кривинисторін трикутника Рьоло (m=3) і соче-вицеподібного контура (m=2), якізабезпечують прямолінійність сторін багатокутників, що окреслюються.
6.Надані приклади практичного використання трикутника Рьоло, заснованого на йоговластивості окреслювати правильні багатокутники при складеному обертанні, атакож ефективно передавати моменти, що крутять, і самоцентруватися при контактахдекількох деталей.
Список литературы
1. А. Г. Конфорович. Визначні математичні задачі. –Київ, Радянська школа, 1981. – 189с.
2. І. А. Кушнір. Трикутник у задачах. – Київ,Либідь, 1994.- 104с.
3. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Нові зустрічіз геометрією. – М., Наука, 1978. – 223с.
4. Технікаі наука, 1982, №7, с.14-15.
5.Суднобудівна промисловість, 1990, вип.13, с.46-50.
6. Правила грибез правил. / Скл. А. Б. Селюцький .- Петрозаводськ,
Карелія,1989.-280с
7. Д. А. Вайнтрауб, Ю. М. Клепіков. Холоднештампування в дрібносерійному виробництві. Довідковий посібник. – М.,Машино-будування, 1975.- 240с.
8. Техніка і наука, 1983, №10, с.19-21.
9. АНІЩЕНКО СЕРГІЙ ОЛЕКСАНДРОВИЧ. Трикутник Рьоло (Треугольник РЁЛО)