Реферат: Пределы

GFS im Fach Mathematik

Der Grenzwert einer Funktion

von Ilya Gufan, 4G5

Selbstverlag 2006

Heilbronn

Inhaltsverzeichnis

Verlauf derArbeit 3

Einführung 4

Definition desGrenzwertes 5

Schreibweise 6

Beispiele 6

Eindeutigkeitdes Grenzwertes 6

EinseitigeGrenzwerte 7

UndendlicheGrenzwere 8

Wichtige Regelnfür Grenzwertberechnung 9

BedeutendeGrenzwerte 9

Quellennachweis 10

Verlauf der Arbeit

2.11.2006, von 12:00 bis 20:00

Suche nach demMaterial, Erarbeitung des Projekts, Fertigung des Entwurfs.

26.11.2006, von 12:00 bis 14:00

Endkorrektur.

Hilfsmittel:PC mit Internetanschluss.

Programme:MS Word, Math Type 5.2c, MS Paint, Opera, Advanced Grapher 2.11.

Die Hauptquelledieser Arbeit war die Seite www.college.ru

,aus der die Darstellungsweise stammt.

Limes einer Funktion

Einführung

Das Wort Limes[1]stammt aus dem Lateinischen und bedeuten „Grenzwall“. Es gibt von Römerngebauten Limen auch in Württemberg.

Der AusdruckLimes (Grenzwert) bezeichnet in der Mathematik

den Grenzwert einer Folge; den Grenzwert bzw. die Summe einer unendlichen Reihe; den Grenzwert eines Netzes in Topologie; einen Begriff aus der Kategorientheorie; den Grenzwert einer Funktion. Das ist das Thema meiner Arbeit.

In der Mathematikbezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion denjenigen Wert, dem sichdie Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcherGrenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Der Grenzwertbegriffwurde im 19. Jahrhundert von Augustin Louis Cauchy und Heinrich Eduard Heineformalisiert und ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis. Auf diesemBegriff basiert sich die ganze Integral- und Differenzialrechnung. Mithilfe vonLimen definiert man die Stetigkeit der Funktion.[2]Der Grenzwert lasst uns mit „unbegrenzt“ großen und kleinen Werten arbeitenund solche Unbestimmtheiten wie <img src="/cache/referats/24042/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> und <img src="/cache/referats/24042/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> mithilfe von Regel vonL'Hospital lösen.

Definition des Grenzwertes

Definition nach Cauchy.

Die Zahl Lbezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle a, wenn

diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss

und

für jedes ε > 0 gibt es so ein δ > 0, dass für alle x, die der Voraussetzungen |x – a| < δ und x ≠ a entsprechen, gilt:

|f (x) – L| < ε.

Formelle Schreibweise:<img src="/cache/referats/24042/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

Wir könnenes auch mit den Umgebungen beschreiben:

Erklärung:

Bei demHerannahen des Arguments zu a kann die Differenz zwischen dem Funktionswert unddem Limes L beliebig klein sein. Hier sprechen wir immer von dem Betrag derjeweiligen Werte, weil das Argument von beiden Seiten zum a Herannahen kann.

Definition nach Heine.

Die Zahl Lbezeichnet man als Limes der Funktion f(x) an der Stelle, wenn:

diese Funktion in einer gewissen Umgebung der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht unbedingt definiert sein muss

und

für jedesolche Reihenfolge {xn}, dass <img src="/cache/referats/24042/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">, die zu akonvergiert, die entsprechende Reihenfolge der Funktionswerte {f(xn)}zu L konvergiert.

Die Definitionnach Heine finde ich nicht so geschickt, weil der Begriff „Konvergieren“definiert werden muss. Also bezieht man sich auf Folgenlehre.

Anmerkung 1.

Man spricht von Limes an derStelle a auch dann, wenn die Funktionan der Stelle a definiert ist.

Anmerkung 2.

Die Definitionen nach A. L.Cauchy und H. E. Heine sind äquivalent. D. h., ein Grenzwert nach Cauchyist immer ein Grenzwert nach Heine und umgekehrt.

Schreibweise

Wenn L Limes (Grenzwert) der Funktion f(x)an der Stelle a ist, so schreibt man:

Man liest: DerGrenzwert (Limes) der Funktion f von x bei x gegen a ist gleich L.

Beispiele

Bild 1. <img src="/cache/referats/24042/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Bild 2.<img src="/cache/referats/24042/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

Eindeutigkeit des Grenzwertes.

Hat eine Funktionf(x)einen Grenzwert L an der Stelle a, soist er der einzige Grenzwert an der Stelle a.

So hat dieFunktion sgn x keinen Grenzwert ander Stelle 0.

Hier kann man abervon einem Grenzwert links bzw. rechts sprechen.

Bild 3. Signum von x.

Einseitige Grenzwerte

Definition.[3]

Die Zahl L bezeichnet man als Limes (Grenzwert) derFunktion f(x) <img src="/cache/referats/24042/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> an der Stelle a, wennes für jedes ε > 0 so ein δ > 0 gibt, dass für alle <img src="/cache/referats/24042/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> <img src="/cache/referats/24042/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> gilt.

Schreibweise.

Grenzwert links: <img src="/cache/referats/24042/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Grenzwert rechts:<img src="/cache/referats/24042/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

Ist a=0, so lässtman oft die erste 0 weg:

Diese Grenzwertewerden oft als einseitige Grenzwerte bezeichnet.

Manchmallässt man die Null weg:

Imdeutschspachigen Raum bezeichnet man die einseitigen Grenzwerte oft mitIndizien l für links und r für rechts.[4]

Grenzwert links: <img src="/cache/referats/24042/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

Grenzwert rechts:<img src="/cache/referats/24042/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

Für dieSignumfunktion gilt: <img src="/cache/referats/24042/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051"><img src="/cache/referats/24042/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

Unendliche Grenzwerte

Wenn für jedenε > 0 so eine δ-Umgebung der Stelle a gibt, dass für alle x| (|x – a| < δ, x ≠a) gilt: |f (x)| > ε, sospricht man von einem unendlichen Grenzwert an der Stelle a.

Manche Autorenlehnen solche Bezeichnung ab, weil <img src="/cache/referats/24042/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> keine Zahl ist.Richtig sei es, so zu schreiben[5]:<img src="/cache/referats/24042/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

Man unterscheidethier auch zwischen <img src="/cache/referats/24042/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> und <img src="/cache/referats/24042/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1057">

Wenn für jedenε > 0 so ein δ > 0, dass für jedes x > δ dieUngleichung |f (x) – L| < ε gilt, so sagt man, dass der Limes derFunktion f(x) bei x gegen plus unendlich gleich L ist.

Wenn für jedenε > 0 so ein δ > 0 gibt, dass für jedes x > δ f (x)> ε gilt, so sagt man, dass der Limes der Funktion f(x) bei x gegenplus unendlich gleich plus unendlich ist (oder gegen plus unendlich strebt,weil „unendlich“ keine Zahl ist).

Analog formuliertman die Limen für „minus unendlich“.

Beispiel.

Für dieFunktion f(x)=<img src="/cache/referats/24042/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> gilt:

Bild 4. <img src="/cache/referats/24042/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

Wichtige Regeln für Grenzwertberechnung

Wenn die Funktionen f(x) und g(x) endliche Grenzwerte an der Stelle A haben und <img src="/cache/referats/24042/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> <img src="/cache/referats/24042/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> <img src="/cache/referats/24042/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> <img src="/cache/referats/24042/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> <img src="/cache/referats/24042/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1071"><img src="/cache/referats/24042/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> und <img src="/cache/referats/24042/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1073">a.

Regel von L'Hospital[6]

Bedeutende Grenzwerte

In der Mathematikhaben manche Werte eine besondere Bedeutung.

Das ist in derersten Reihe die Zahl e. In deutschsprachigem Raumbezeichnet man sie oft als Euler’sche Zahl, wobei es nicht ganz richtig ist.Die Zahl wurde von Jakob Bernoulli als Grenzwert beschrieben, wobei Euler denBuchstaben „e“ eingeführt hat.[7]

Ein andererbedeutender Grenzwert ist <img src="/cache/referats/24042/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

Quellennachweis

Wikipedia http://ru.wikipedia.org/wiki/Предел_функции 02.11.2006 http://ru.wikipedia.org/wiki/Правило_Лопиталя 02.11.2006 http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_(Mathematik) 02.11.2006 http://ru.wikipedia.org/wiki/E_(математическая_константа) 26.11.2006

www.college.ru (Открытый колледж)

http

://www.college.ru/mathematics/courses/function/design/index.htm 02.11.2006

Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби. Seite 47. Moskau, 1961 Гусев В. А., Мордкович А. Г. „Математика“, Seiten 211-216, Moskau, 1990, ISBN 5-09-002693-9 G.Korn, T. Korn, “Mathematical Handbook for scientists and engineers. Definitions, Theorems and Formulas for Reference and Review.” New-York, Toronto, London 1961. Seite 99-101. Russische Übersetzung: Moskau, 1968.

Bemerkung. Alle Quellen außer 1c sindrussischsprachig. Darüber hinaus benützte ich das im Unterricht HerrnKoch angeignete Wissen.

[1]

Quelle 1c

[2]

Quelle 3

[3]

Quelle 5

[4]

Unterricht von Herrn Koch

[5]

Unterricht von Herrn Koch; Quelle 4

[6]

Quelle 1b

[7]

Quelle 1d