Реферат: Решение математических задач в среде Excel

1.     1.1.    Численное дифференцирование

Известно, что численнымиприближенными методами производная функции в заданной точке может бытьвычислена  с использованием конечных разностей. Выражение, записанное вконечных разностях, для вычисления производной функции одного переменного имеетвид:

/> <td/> />
Для вычисления производной в Excel будем использовать приведенную зависимость.

Рассмотрим методику вычисленияпроизводной на примере упражнения.

Упражнение 1    

Допустим требуется найтипроизводную функции Y= 2x3 + x2  в точке x=3.Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60.

Для вычисленияпроизводной выполните следующие действия:

—  

/> <td/> />
табулируйте заданную функцию вокрестности точки х=3 с достаточно малым шагом, например 0,001 (см рис.)

—   в ячейку С2введите формулу вычисления производной. Здесь ячейка В2 содержит значение хк+1, ячейка А2 — хк.

—   буксировкой скопируйте формулу достроки 7, получим значения производных в точках табуляции аргумента.

Длязначения х =3 производная функции равна значению 60,019, что близко к значению,вычисленному аналитически.

1.2.    Численное вычисление определенных интегралов/> <td/> />
Для численного вычисления определенногоинтеграла методом трапеций используется формула:

Методику вычисления определенногоинтеграла в Excel с использованием приведенной формулы рассмотрим на примере.

Упражнение 2    />

Пусть требуется вычислить определенный интеграл        

Величина интеграла, вычисленнаяаналитически равна 9. Для численного вычисления величины интеграла сиспользованием приведенной формулы выполните следующие действия:

—   табулируйте подинтегральную функцию вдиапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 (см. рис.).

—   в ячейку С3 введите формулу    =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2,которая реализует подинтегральную функцию.

—  

/> <td/> />
Скопируйте буксировкой формулу,записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение вячейке С17 и будет величиной заданного интеграла — 9.
1.3.    Нахождение экстремумов функций с помощью инструмента Поиск решения

Если функция F(x)непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум,то его можно найти используя надстройку Excel Поиск решения.

Рассмотримпоследовательность нахождения экстремума функции на примере следующегоупражнения.

Упражнение 3    

Пусть задана неразрывнаяфункция Y=  X2+X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальноезначение).

Для решения задачи выполните действия:

—   В ячейку А2 рабочего листа введителюбое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будетнаходиться значение Х;

—   В ячейку В2 введите формулу,определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна бытьссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2

—    Выполните команду меню Сервис/Поискрешения;

—   Настройте параметры инструмента Поискрешения: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.

—   в поле Установить целевую ячейкуукажите адрес ячейки, содержащей формулу ( А2), установите переключательМинимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите адрес ячейки,содержащей Х (А2);

—   Щелкните на кнопке Выполнить. Вячейке А2 будет помещено значение Х функции, при котором она имеет минимальноезначение, а в ячейке В2 – минимальное значение функции.

Обратите внимание, что вокне Поиск решения можно устанавливать ограничения. Их целесообразноиспользовать, если функция многоэкстремальна, а нужно найти экстремум взаданном диапазоне изменения аргумента.

1.4.    Решение систем линейных уравнений1.4.1.   Встроенныефункции для работы с матрицами

В библиотеке Excel в разделе математических функций естьфункции для выполнения операций над матрицами (табл.1.1).

Таблица 1.1

Русифицированное имя функции

Англоязычное имя функции

Выполняемое действие

МОБР (параметр) MINVERSE (parametr) обращение матрицы МОПР (параметр) MDETERM (parametr) вычисление определителя матрицы МУМНОЖ (список параметров) MMULT (parametrlist) Умножение матриц

Параметрамифункций, приведенных в таблице, могут быть адресные ссылки на массивы,содержащие значения матриц, или имена диапазонов и выражения, например

МОБР (А1:B2) или МОПР (матрица_1).

1.4.2.   Решениесистем линейных уравнений

Известно, что системалинейных уравнений в матричном представлении записывается в виде:

AX=B.

Решение такой системызаписывается в виде

X=A-1B,

Где A-1 –матрица, обратная поотношению к А.

1.4.3.   Примеррешения системы линейных уравнений:/> <td/> />
Пусть система уравнений задана матрицами:

               

Для решения задачи выполните действия:

·          Выделите диапазонразмерностью 2 х 2 и присвойте ему имя А;

·          Выделите диапазонразмерностью 1 х 2 и присвойте ему имя В;

·          Выделите диапазонразмерностью 1 х 2 и присвойте ему имя Х;

·          Используя списокимен выделите диапазон А и  введите в него значения элементов матрицы А;

·          Используя списокимен выделите диапазон В и введите в него значения элементов вектора В;

·          Используя списокимен выделите диапазон Х для помещения результата решения системы;

·          В выделенныйдиапазон Х введите формулу

=МУМНОЖ(МОБР(А); В);

·          Укажите Excel,что выполняется операция над массивами, для этого нажмите комбинацию клавиш<Ctrl>+<Shift>+<Enter>, в ячейках диапазона Х будет полученрезультат: х1=2,16667,х2= — 1,33333

Чтобы выполнить проверкуполученных результатов достаточно перемножить исходную матрицу на векторрезультата, итогом этой операции является вектор свободных членов.

Упражнение 4    

Решите систему уравнений  вида AX=B и выполнитепроверку решения/> /> /> /> /> /> <td/> /> />

 

1.5.    Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра

Используя возможностиExcel можно находить корни нелинейного уравнения в допустимой областиопределения переменной. Последовательность операций  нахождения корнейследующая:

1.    Уравнение представляется в виде функцииодной переменной;

2.    Производится табулирование функции вдиапазоне вероятного существования корней;

3.    По таблице фиксируются ближайшиеприближения к значениям корней;

4.    Используя средство Excel Подборпараметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

Рассмотрим последовательность отыскания корнейнелинейного уравнения на примере.

Упражнение 5          

Требуется найти все корни уравнения X3-0,01X2-0,7044X+0,139104=0на отрезке [-1; 1]. Правая часть уравнения представлена полиномом третьейстепени, следовательно, уравнение может иметь не более трех корней.

1.   представимуравнение в виде функции

Y = X3-0,01X2-0,7044X+0,139104

Известно,что корни исходного уравнения находятся в точках пересечения графика функции сосью Х.

2.    Для локализации начальных приближенийнеобходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функциипересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируемфункцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Изполученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х,следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

3.         Анализ таблицыпоказывает, что функция меняет знак в следующих  интервалах значений аргументаХ: (-1;-0,8), (-0,2;0,4) и (0,6;0,8).  Поэтому в качестве начальных приближенийвозьмем значения Х: -0,8; -0,2 и 0,6 .

4.         На свободномучастке рабочего листа, как показано на рисунке, в ячейки А15: A17 введитеначальные приближения, а соответствующие ячейки столбца В скопируйте формулу.

/>

5.         Выполнитекоманду меню Сервис/Параметры, во вкладкеВычисления установитеотносительную погрешность вычислений  E=0,00001, а число итераций N=1000, установитефлажок Итерации.

6.         Выполните командуменю Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующиеполя:

Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, вкоторой записана формула правой части функции;

Значение: в поле указывается значение,которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая частьуравнения (в нашем случае 0);

Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки(где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться кореньуравнения и на которую ссылается формула.

После щелчка на ОК получим значениепервого корня:  -0,92.

Выполняя последовательнооперации аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,209991и  0,720002.

1.6.        Решение систем нелинейных уравнений

Применяя надстройкуExcel  Поиск решения можно решать системы нелинейных уравнений.Предварительно система уравнений должна быть приведена к одному уравнению. Рассмотримпоследовательность решения на примере упражнения.

Упражнение 6    

/>

/> <td/> />
Дана система двух уравнений:

Требуется найти все корни приведенного уравнения длядиапазона значений х и y [-3; 3].

Шаг 1Приведем систему к одному уравнению. Пара (x, y)является решением системы тогда и только тогда, когда она является решениемследующего уравнения с двумя неизвестными:

(x2 + y2 – 3)2 + (2x+ 3y – 1)2 = 0

Шаг2. Для решенияпоследнего уравнения необходимо найти начальные приближения, для этоготабулируем выражение, стоящее в левой части как функцию по двум переменным x иy. Для табуляции функции выполните следующие действия:

—   В столбец А введитепоследовательность значений Х с шагом 0,5, а строку 3 – последовательностьзначений У также с шагом 0,5.

—   Присвойте диапазонам значений Х и Уимена Х и У, соответственно.

—   Выделите диапазон ячеек, в которомбудут вычисляться значения функции (B4:N16).

—   В выделенный диапазон введите формулу

=(Х^2+Y^2-3)^2+(2*Х+3*Y-1)^2.

—   Нажав комбинацию клавиш[Ctrl]+[Shift]+[Enter] выполните операцию над выделенным массивом. В выделенномдиапазоне появятся вычисленные значения функции.

Шаг3. Найдемначальные приближения. Поскольку табулируемая функция задает поверхность, тоначальные приближения следует искать во впадинах, т.е. в точках, где функция принимаетнаименьшие значения. На рисунке эти точки затемнены. Начальными приближениямиявляются пары (-1;1) и (1,5; -0,5).

Введитезначения найденных приближений в смежные ячейки рабочего листа ( см. рис.). Надстолбцами сделайте надписи XX и YY, которые будут выполнять в формулах рольметок. Обратите внимание, что мы уже использовали имена Х и Y, поэтому именановых меток должны отличаться.

Шаг4. В ячейкустроки, в которой записана первая пара Х и У введите формулу, вычисляющуюзначение функции:

=(XX^2+YY^2-3)^2+(2*XX+3*YY-1)^2

ископируйте ее в следующую строку.

Шаг4. Установитекурсор на ячейку, в которой записана формула и выполните команду меню Сервис/Поискрешения. Выполните настройку параметров инструмента Поиск решения: Предельноечисло итераций – 1000, относительная погрешность 0,000001.

В окнеПоиск решения в качестве целевой ячейки установите адрес ячейки, содержащей формулу,взведите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейкиукажите адрес диапазона, содержащего начальные приближения и щелкните на ОК. Вячейках, где хранились начальные приближения будет получена первая пара корней.

Повторитетакие же операции для второй пары приближений.

/> <td/> />
Решением системы являются пары(-1,269; 1,1791) и (1,5764; -0,718).

/>

Задания для самостоятельной работы

1.  Найти корни уравнения:

Вариант Уравнение

Ответ

1

Sin(x)e-2x  = 0  для  значений х  [-2;2]

Х = 0 2 X3-2,56x2-1,3251x+4,395006=0 X=-0,94644 3 X3-2,92x2+1,4355x+0,791136=0  для х  [-3;3] -0,32; 1,229997; 2,010001 4 x3-2,84x2-5,6064x-1476336 = 0 4,700766 5 X3+1,41x2-5,4724x-7,380384 = 0 3,542723

2.  Найти корни линейногоуравнения  вида Ах=В и выполнить проверку:

 

                           Вариант 1                                      Вариант2/> <td/> />
                      Вариант 3                                      Вариант4/> /> /> /> /> /> <td/> /> />

3.  Найти производную функции:

a)   Y = 2x2  при х = 3

b)   Y= Sin(x)  для х = 0

c)   Y = Cos(x) для х = 0

d)   Y= Sin(x)  для х = Пи/2

e)   Y = Cos(x) для х = Пи/2

f)    Y= Tg(x)  для х = 0

4.   />/>Вычислитьопределенный интеграл:

А)      В)

/>С)                                            D)     

/>

 

5.  Найти экстремум функции:

a)  Y = (2 – x)2

b)  Y = x2+ y2 – 3

c)  Y = (x-2)2+(y+3)2-6

d)  Y = sin(2x)  длях [0; Пи/2]

                     

еще рефераты
Еще работы по информатике, программированию