Реферат: Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

Содержание

Введение                                                                                                      3

1.   Постановказадачи                                                                                 5

2.   Обзорсуществующих методов решения  задачи                                 6                  2.1.МетодРунге-Кутта четвертого порядка для решения

                уравненияпервого    порядка                                                         6

          2.2.ЗадачаКоши                                                                                              6

         2.3.МетодБулирша- Штера с использованием

                рациональнойэкстраполяции для системы уравнений                           7

         2.4Метод Адамса                                                                                   8

         2.5.Метод Эйлера                                                                                  9

      3.Описание алгоритмов решения задания                                                        13

           3.1.Описание переменных                                                                   13

           3.2.Блок- схема главного модуля                                                                 14

          3.3.Описание алгоритма главной программы                                              14

          3.4.  Блок-схемафункции “func”                                                           15    

          3.5. Описаниеблок- схемы функции “func”                                          15

      4.Описание программного обеспечения                                                  16

          4.1. Описаниеоперационной системы                                                  16

          4.2. Описаниеязыка программирования                                                       18

          4.3.Описание программы                                                                     19    

       5.Контрольный пример                                                                                    21

       6.Анализполученных результатов                                                          22            

       Списоклитературы                                                                                   24

       Приложение                                                                                              25

                                                                 

Введение

Уравнение />/>  называется обыкновеннымдифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области />и, во всяком случае, зависитот />. Его решением являетсялюбая функция u(x), котораяэтому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале.Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеетвид

/>                

Решением этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x)

     Решитьдифференциальное уравнение у/=f(x,y)  численным методом — это значит для заданнойпоследовательности аргументов х0, х1…, хn ичисла у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1,у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n)и F(x0)=y0.                                               

     Такимобразом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x)(3) получить таблицузначений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1<sub/> называется шагом интегрирования.

      МетодЭйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицыприближенных значений искомой функции у(х). Он  является сравнительно грубым иприменяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные воснову метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

       МетодЭйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решениймногих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачиэлектродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек),задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частныхпроизводных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачамдля обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило, краевые задачи(задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектрасобственных значений энергии частицы в сферически-симметричных полях  и многоедругое).   


1.Постановка задачи

1.1. Решитьприближенно дифференциальное уравнение вида />методомЭйлера

1.2. Составитьблок-схему алгоритма для решения данного задания.

1.3. Разработатьпрограмму на языке Microsoft Visual C++

1.4. Протестироватьпрограмму на примере y’=2x+y (n=5,  [0,1], y0=1)

1.5. Выполнитьанализ результатов.

1.6. Оформитьпояснительную записку с приложением.  

2.Обзор методов решения задачи.

2.1.Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка.

Идея Рунге-Кутасостоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов.  Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решенияуравнения первого порядка y' = F(x,y) (2.1.1) является методчетвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:

yk+1  = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4 )/6,                                          (2.1.2)

где

k1  = Fk h = F(xk, yk )h

k2  = F(xk +h/2, yk +k1 /2)h

k3  = F(xk +h/2, yk +k2 /2)h

k4  = F(xk +h, yk +k3 )h,

k = 0, ..., n-1

h = (xf -x0 )/n                                                                               (2.1.3)

2.2. Задача Коши.

Рассмотримзадачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:

/>,  />  (2.1.4)

Разобьёмпромежуток [a,b] на N частей />.Обозначим, где u(x) –точноерешение задачи Коши, и через /> значенияприближенного решения в точках />.Существует 2 типа численных схем :

1.  явные: />)                                          (2.2.1)

2.  неявные: />                                          (2.2.2)

Здесь F некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемахприближенное значение /> в точке /> определяется черезнекоторое число k ужеопределённых приближенных значений. В неявных схемах /> определяется не рекурентным способом, как в явных схемах, а для его определения возникает уравнение,поскольку равенство (2.2.2) представляетиз себя именно уравнение на />. Явныесхемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее.

2.3.Метод Булирша-Штера с использованием рациональной экстраполяции для системыуравнений

 

Метод Булирша-Штера (Bulirsch-Stoer Method) — этометод решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка сгладкими правыми частями. Гладкость правых частей является необходимой дляработы метода. Если правые части вашей системы не являются гладкими илисодержат разрывы, то лучше использовать метод Рунге-Кутта. В случае же гладкойсистемы метод Булирша-Штера позволяет добиться существенно большей точности,чем метод Рунге-Кутта.

 

Принцип работы метода

Основной идеей метода является вычисление состояниясистемы в точке x+h, как результата двух шагов длины h/2, четырех шагов длиныh/4, восьми шагов длины h/8 и так далее с последующей экстраполяциейрезультатов. Метод строит рациональную интерполирующую функцию, которая в точкеh/2 проходит через состояние системы после двух таких шагов, в точке h/4проходит через состояние системы после четырех таких шагов, и т.д., а затемвычисляет значение этой функции в точке h = 0, проводя экстраполяцию.

Гладкость правых частей приводит к тому,что вычисленное при помощи экстраполяции состояние системы оказывается оченьблизко к действительному, а использование рациональной экстраполяции вместополиномиальной позволяет ещё больше повысить точность.

Таким образом проводится один шаг метода, после чегопринимается решение — следует ли изменять шаг, а если да — то в какую сторону.При этом используется оценка погрешности, которую мы получаем в качестве дополнительногорезультата при рациональной экстраполяции. Следует отметить, что алгоритмрешает автономную систему, т.е. если уравнения системы содержат время, тонеобходимо ввести время в качестве переменной, производная от которойтождественно равна единице.

2.4           Метод Адамса

        Явнаясхема Адамса.

Рассмотренные выше методы являются явными одношаговыми(для нахождения последующего приближения используется лишь одно предыдущее).Приведённый ниже метод является многошаговым.

         Пусть задана задача Коши:

                                                        />                (2.4.1)

Для точного решения (которое нам не известно)выполнено:

/>         (2.4.2)

Предположим, нам известны приближенные значения /> функции u(x) в kточках /> (стартовые k  точек, в частности, можнонайти методом Эйлера  или методом Рунге-Кутта того или иного порядка), тогдафункцию f(x,u(x)) в (2.4.2)для приближенного вычисления интеграла можно заменить на интерполяционныйполином /> порядка k-1, построенный поkточкам />,  интеграл от которогосчитается явно и представляет собой линейную комбинацию значений  />c некоторыми множителями />.Таким  образом, мы получаем следующую рекуррентную процедуру вычисленияприближенных значений /> функции u(x) (являющимсяточным решением задачи Коши) в точках /> :

/>         (2.4.3)

Описанная схема является k-шаговой явной формулой Адамса.

     Неявная схема Адамса.

Пусть />-интерполяционный полином порядка k, построенный по k+1 значению />б одно из которых, именно />, мы будем считатьнеизвестным. Модифицируем (2.4.3), заменив в нём /> наполином более высокой степени />,интеграл от которого выражается в виде линейной комбинации значений /> с некоторыми новымикоэффициентами />:

/>  (2.4.4)

Формула (2.4.4) представляет собой неявную схемуАдамса и является уравнением на />,которое можно решать методом последовательных приближений. Естественно, чтоначальное приближение />, должно бытьразумно выбрано. Для этого удобно объединить явную и неявную схемы Адамса водну, называемую «методом коррекции». Именно с помощью явной схемы определяетсяначальное приближение  />(прогноз), а затемпо неявной схеме оно необходимое число раз (обычно один или два) корректируетсяметодом последовательных приближений до достижения заданной точности(коррекция).

2.5.МетодЭйлера.

     Решить дифференциальноеуравнение у/=f(x,y) численным методом — это значит для заданнойпоследовательности аргументов х0, х1…, хn ичисла у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1,у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n)и F(x0)=y0.                        (2.5.1)

Таким образом,численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получитьтаблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов.Величина h=xk-xk-1 называется шагоминтегрирования.

      МетодЭйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицыприближенных значений искомой функции у(х). Он  является сравнительно грубым иприменяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные воснову метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

      Рассмотримдифференциальное уравнение первого порядка  (2.5.1)

с начальным условием

                                    x=x0, y(x0)=y0             (2.5.2)

Требуется найтирешение уравнения (2.5.1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок[a, b] на nравных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…,хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…,n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

       В методеЭйлера приближенные значения у(хi)»yiвычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi)(i=0,1,2…).

При этом искомаяинтегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0,у0), заменяется ломаной М0М1М2… свершинами Мi(xi,yi) (i=0,1,2,…);каждое звено МiMi+1этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление,совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (2.5.1), котораяпроходит через точку Мi. Если правая частьуравнения (2.5.1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|£a, |y-y0|£b}удовлетворяет    условиям:                                                                                                   
                           |f(x,y1)- f(x, y2)| £ N|y1-y2| (N=const),                          (2.5.3)

                          |df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M  (M=const),

то имеет местоследующая оценка погрешности:

                         |y(xn)-yn| £ hM/2N[(1+hN)n-1],                                       (2.5.4)

где у(хn)-значение точного решения уравнения (2.5.1) при х=хn, а уn-приближенное значение, полученное на n-ом шаге. 

Формула (13)имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается болееудобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

                                         |yn-y(xn)|»|yn*-yn|.                                            (2.5.5)

   МетодЭйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и надифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны бытьпредварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

    Модифицированный метод Эйлера

Рассмотримдифференциальное уравнение (2.5.1)  y/=f(x,y) сначальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ<sub/>интегральнуюкривую заменим    прямой                      линией.

/>

                                           Рис.1Метод Эйлера в графическом видa

 Получаем точкуМк(хк, ук).  Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).Делим отрезок (хк, хк1) пополам:

                                          xNk/=xk+h/2=xk+1/2                                                (2.5.6)

                                              yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующуюкасательную:

                                          y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=αk                           (2.5.7)

Из точки Мкпроводим прямую с угловым коэффициентом αки определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаемточку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординатуточки Мк/. Тогда:

                                          ук+1=ук+αкh

                                          xk+1=xk+h

                          (2.5.8)                αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)

                                          yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h

(2.5.8)-рекурентные формулы метода Эйлера.

      Сначалавычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2,затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

      Для оценкипогрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3разницы этих значений:

                                         | ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),                          (2.5.9)

где у(х)-точноерешение дифференциального уравнения.

 Таким образом,методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решитьуравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0,выполняется замена:

                                           y/=z                                                    (2.5.10)

                                           z/=f(x,y,z)

Тем самымпреобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.    (2.5.12)


3.Описание алгоритмов решения задачи

3.1.Описание переменных.

Наименование

Тип

Описание

Входные данные

Xi

double

Начальное значение (x) интервала вычисления

Xkon

double

Конечное значение (x) интервала вычисления

n

integer

Количество шагов

Yi

double

Начальное значение y

kx

double

Коэффициент при переменой x

ky

double

Коэффициент при переменной y

Выходные данные

h

double

Фиксированное приращение аргумента (x)

res

double

Расчётное значение уравнение y’=F(x,y) в точке (x)

Промежуточные

i

integer

Счётчик цикла

Yprom

double

Промежуточное значение y в точке Xprom

Xprom

double

Промежуточное значение x при h/2

a

double

Решение уравнения в точках f(Xprom,Yprom)

f1

double

Функция f(x,y)

3.2. Блок- схема главного модуля

/>/>

3.3 Описание алгоритма главнойпрограммы.

Номер блока

Описание

1 Ввод начального и конечного значений интервала вычисления уравнения, количество шагов, начальное значение у, а также коэффициенты при kx и ky. 2 Вычисление фиксированного приращения аргумента х 3 Цикл с шагом 1 и конечным значением не превышающим количество шагов, который высчитывает значение   y на определённом интервале 4 Функция для расчёта уравнения вида y’=f(x,y); 5 Вывод результатов на интервале X

3.4 Блок-схема функции “func”.

/>/>3.5 Описание блок- схемы функции “func”.

Номер

блока

Описание

1 Вычисление: функции f1 с подстановкой начальных значений; промежуточных значений Yprom и Xprom,  значения a для вычисления f(Xprom,Yprom) и расчёт результатов функции и переход на следующий шаг. 2 Приращение аргумента x на h 3 Вывод результатов уравнения и интервала

                                                       

*Реализация алгоритма на языкепрограммирования C++ представлена в приложении .


4.Описание программного обеспечения.

4.1Описание операционной системы

Основное требование к операционной системе (ОС), предъявляемоепоставленной задачей, это наличие ANSI или POSIX совместимого компилятора языка C++.

Для реализации задачи была выбрана последняя клиентская версияоперационной системы Microsoft, основанная на ядре NT – Microsoft Windows XP Professional.

Указанная операционная система обладает рядом преимуществ:

·    наличие достаточного количество ANSI или POSIX совместимых компиляторов языка C++,разработанных для данной ОС, а именно –

o Microsoft C++ (version 2-6)

o gcc

o Borland  C++

o Intel C++

o прочие;

·    достаточная управляемость,  надежность и безопасность;

·    широкое распространение основанных на ядре NTоперационных систем Microsoft, совместимых попрограммному обеспечению с Windows XP Professional(NT/2000/XP/2003 – client & server);

·    высокая скорость работы приложений, разработанных для данной ОС сиспользованием компиляторов C++.

Исходный код программы может быть откомпилирован и под другой операционнойсистемой, если для таковой имеется ANSI или POSIX совместимый компилятор языка C++.

Программа была протестирована на операционной системе Microsoft Windows XP Professional SP1.

Технические данные:

·    HDD: 60 Gb

·    Процессор x86 Family 15 Model 2 Stepping 7GenuineIntel ~1817 МГц

·    Версия BIOS      Award Software International,Inc. F4, 06.03.2003

·    Аппаратно-зависимый уровень (HAL)   Версия= «5.1.2600.1106 (xpsp1.020828-1920)»

·    Полный объем физической памяти         256,00 МБ

·    Доступно физической памяти        29,97 МБ

·    Всего виртуальной памяти   873,69 МБ

·    Доступно виртуальной памяти      350,04 МБ

·    Файл подкачки   618,21 МБ


4.2 Описание языка программирования

Языкпрограммирования С++

С++ — это универсальный язык программирования, задуманный так, чтобысделать программирование более приятным для серьезного программиста. Заисключением второстепенных деталей С++ является надмножеством языкапрограммирования C. Помимо возможностей, которые дает C, С++ предоставляетгибкие и эффективные средства определения новых типов. Используя определенияновых типов, точно отвечающих концепциям приложения, программист можетразделять разрабатываемую программу на лег ко поддающиеся контролю части. Такой метод построения программ часто называют абстракцией данных. Информация отипах содержится в некоторых объектах типов, определенных пользователем. Такиеобъекты просты и надежны в использовании в тех ситуациях, когда их тип нельзяустановить на стадии компиляции. Программирование с применением таких объектовчасто называют объектно-ориентированным. При правильном использовании этотметод дает более короткие, проще понимаемые и легче контролируемые программы.

В С++ нет типов данных высокого уровня и нет первичных операций высокогоуровня. В нем нет, например, матричного типа с операцией обращения или типастрока с операцией конкатенации. Если пользователю понадобятся подобные типы,их можно определить в самом языке. По сути дела, основное, чем занимаетсяпрограммирование на С++ — это определение универсальных и специально-прикладныхтипов. Хорошо разработанный тип, определяемый пользователем, отличается отвстроенного типа только способом определения, но не способом использования.

Реализация С++ очень легко переносима. Однако есть полные основанияиспользовать С++ в среде, где имеется гораздо более существенная поддержка.Такие средства, как динамическая загрузка, пошаговая трансляция и база данныхопределений типов могут с пользой применяться  без  воздействия на язык.

Типы и средства сокрытия данных в С++ опираются на проводимый во времякомпиляции анализ программ с целью  предотвращения случайного искажения данных.Они не обеспечивают секретности или защиты от умышленного нарушения правил.Однако эти средства можно использовать без ограничений, что не приводит кдополнительным расходам времени на  выполнение или пространства памяти.

Компилятор Microsoft C++ и среда разработки Microsoft Visual Studio

В качестве компилятора для разработки приложения был выбран Microsoft C++по следующим причинам:

·    практически полная совместимость со стандартом ANSI C++;

·    наличие удобной среды разработки Microsoft Visual Studio;

·    наличие отличной документации;

·    высокая скорость работы результирующих приложений;

·    совместимость разработанных приложений с большим количествомшироко распространенных операционных систем;

·    достаточная скорость компиляции.

4.3 Описание программы

Разработанноеприложение поставляется в виде 2-ух файлов:

1.   method Eulera.cpp – исходный код программы на языке C++;

2.   method Eulera.exe – исполняемый файл.

Для выполненияисполняемого файла необходима одна из ниже перечисленных операционных систем:

·    Microsoft Windows 3.11+Win32s;

·    Microsoft Windows 95/98/Me;

·    Microsoft Windows NT/2000/XP/2003 – клиентская или серверная версия.

   Программа нетребует предварительной установки и может быть сразу же запущена на выполнение.

Исходный код приложения может быть откомпилирован в любом ANSI или POSIX совместимомкомпиляторе С++ для получения выполнимой программы. Для успешной компиляциитребуется наличие стандартной библиотеки «iostream».


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Контрольный пример

Данный метод протестирован наконтрольном примере и реализован с помощью языка программирования С++.

В результате вычисленийконтрольного примера вида y’=2x+y синтервалом [0,1],

количеством шагов равному 5и начальным условием у равным 1, с помощью программы, получилисьследующие результаты:

/> Рис. 2. Экранс результатами выполнения программы.

Как видно,  привычислении программа на первом шаге берёт начальные значения для вычисления, ана последующих   берёт значения полученные с предыдущих шагов. Можно сделатьвывод, что точность вычисления данного метода зависит от количества выбранныхшагов: чем больше шагов, тем меньше фиксированное приращение, а следовательноона более точно вычисляет значение всего интервала.

Поработе программы стало видно, что с её использованием намного упростиласьработа пользователя. Пользователь  просто вводит интервал на котором долженвычисляться пример, количество шагов и начальное значения и программа выдаётуже готовое решение данного примера.

6.Анализ полученных результатов.

Порезультатам программы можно составить таблицу сравнения результатов полученныхпри использовании программы и результатов, полученных ручным способом:

Ручной способ вычисления

Программный способ вычисления

Х Y X Y 0,82 0,82 0,2 0,75 0,2 0,7516 0,4 0,77 0,4 0,770248 0,6 0,85 0,6 0,856793 0,8 0,99 0,8 0,996299

Изприведенного сравнения можно сделать вывод, что один результат отличается отдругого тем, что в примере, решенном программным способом ответ вычисляется снаибольшей точностью, чем при ручном способе. Это может быть связано с тем, чтов ручном способе результат округляется для удобства вычисления примера.

Решениедифференциальных уравнений методом Эйлера можно также отобразить в графическомвиде:

/>

                   Рис.3.Графическоеизображение решения примера y’=2x+y

Как видно из рис.3 графиком решенияуравнения является кривая, форма которой зависит от количества разбиенийинтервала.

   Порезультатам выполненной работы можно сделать вывод, что решение дифференциальныхуравнений методом Эйлера является методом вычисления со средней точностью иточность вычисления данного метода зависит от количества разбиений интервалаинтегрирования. При сравнении результатов решенными разными способами можносказать, что данный метод был верно реализован на языке программирования Microsoft Visual C++. Полученные результаты сходятсяс небольшой погрешностью.


Список литературы.

1.  Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения),Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико- математической литературы изд-ва«Наука», М., 1975г.

2.  Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов.Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г.

3.  В.В.Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник.- Д.: Сталкер, 1997г.

4.   Б.П. Демидович, И. А. Марон Основы вычислительной математике. – М., 1966

5.     Загускин В. Л. – Справочник по численным методам решенияуравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с.

6.  Либерти, Джесс.

Освой самостоятельно С++ за 21 день, 4-е издание.: Пер с англ.-М.:Издательский дом «Вильямс», 2003.-832с.

7.  П.Нортон, П.Иао «Программирование на С++ в среде Windows» («Диалектика»Киев 2003г.)

8.   Янг М. Microsoft Visual C++  — М.: ЭНТРОП, 2000.

9.  Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде    

     Turbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.

10. Высшая математика: Справ. материалы: Книга для учащихся .- М.:      

       Просвещение, 1988.-416 с.:ил.


Приложение.

 Листинг программы.

#include<iostream>

using namespace std;

void func(double& Xi, double& Yi,double kx,double ky, double h);

int main()

{

     double h,Xi,Yi,Xkon,kx,ky;

     int n;

     cout<<"\t"<<"\t"<<"************************************************n";

     cout<<"\t"<<"\t"<<"*                                                      * "<<"\n";

     cout<<"\t"<<"\t"<<"*     Reshenie difurov 1 poryadka methodom Eulera      *"<<"\n";                                                                                                     

     cout<<"\t"<<"\t"<<"*************************************************

     cout<<endl;

     cout<<«Vvedite nachaloe znachenieintervala [a,b]=»;

     cin>>Xi;

     cout<<«Vvedite konechoe znachenieintervala [a,b]=»;

     cin>>Xkon;

     cout<<«Vvedite chislo shagov=»;

     cin>>n;

     h=(Xkon- Xi)/n;

     cout<<endl;

     cout<<«Vvedite nachalnoe usloviey=»;

     cin>>Yi;

     cout<<«Vvedite koefitsient pri x=»;

     cin>>kx;

     cout<<«Vvedite koefitsient pri y=»;

     cin>>ky;

     cout<<"|Interval|Chislo shagov|Shag prirasheniya|NacalnoeY|Uravnenie vida:| "<<"\n";

     cout<<"|--------|-------------|-----------------|----------|---------------|"<<"\n";

     cout<<"|"<<"["<<Xi<<","<<Xkon<<"]" <<"   |"<<n<<"           |"<<h<<"             |"<<Yi<<"         |"<<«y'=»<<kx<<«x»<<"+"<<ky<<«y»<<"     |"<<"\n";

              cout<<endl;

     cout<<endl;

     for (int i=1;i<=n;i++)

     {       

              func(Xi,Yi,kx,ky,h);

              cout<<"\n";

     }

    

     return 0;

}

void func(double& Xi, double& Yi, double kx,double ky, double h)

{

     double f1,Yprom,a,Xprom;

     f1=(kx*Xi)+(ky*Yi);

     Yprom=Yi+f1*(h/2);

     Xprom=Xi+h/2;

     a=kx*Xprom-Yprom;

     Yi=Yi+a*h;

   cout<<"\t"<<"\t"<<«Intervalx=»<<Xi<<"\t"<<" Resultaty="<<Yi;

    Xi=Xi+h;

}

 

еще рефераты
Еще работы по информатике, программированию