Реферат: Логический вывод на основе нечеткой метаимпликации

/>/>/>

О.А. Мелихова

В работеподробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации,с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений,используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.

При выполнениинечетких выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между однойпроблемной областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виденечеткого подмножества прямого произведения />,определяемого по формуле [7,13]:

/>,                         (1.1)

где /> – область отправления, /> – область прибытия, /> – функция принадлежности /> нечеткому соответствию R, азнак />означает совокупность(объединение) множеств.

Если существуетправило типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A /> и B />, то один из способовпостроения нечеткого соответствия R состоит в следующем:

/>

или

/>,              (1.2)

где /> – функции принадлежностиэлементов x, y соответственно множествам A и B.

Пример 1. ПустьX и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образомнечеткие множества: A= “маленькие”, B= “большие”.

X=Y={1,2,3,4},т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве{1,2,3,4}:

/>/>.

Для примера“если x маленькое, то y большое” (или />,где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно построить нечеткоеотношение R следующим образом:

y1

y2

y3

y4

x1

0,1 0,6 1 R=

x2

0,1 0,6 0,6

x3

0,1 0,1 0,1

x4

В качествеэлементов матрицы R записаны значения />,вычисленные по формуле (1.2).

Для сверткинечетких отношений чаще выбирается свертка max-­min (максиминная композиция).Пусть R – нечеткое соответствие множества X и множества Y, а S – нечеткоесоответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие между X и Vопределяется как свертка (композиция) />,где

/>

или

/>.              (1.3)

Пример 2. Пусть /> и заданы нечеткие множестваA />= “не маленькие”, H />= “очень большие”, где

/>  />.

Тогда дляправила “если y не маленькое, то v очень большое” (или />), в соответствии с формулой(1.2) нечеткое соответствие S определяется как

v1

v2

v3

v4

y1

S=

y2

0,4 0,4

y3

0,5 0,9

y4

0,5 1

Если теперь поформуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным впримере 1.1, то из двух отношений:

 если xмаленькое, то y большое,

если y немаленькое, то v очень большое

можно построитьнечеткое отношение из X в V.

/>

y1

y2

y3

y4

v1

v2

v3

v4

x1

0,1 0,6 1

y1

=

x2

0,1 0,6 0,6

/>

y2

0,4 0,4 =

x3

0,1 0,1 0,1

y3

0,5 0,9

x4

y4

0,5 1

v1

v2

v3

v4

 

x1

0,5 1

 

=

x2

0,5 0,6

 

x3

0,1 0,1

 

x4

 

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Модель принятиярешений на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможныхсостояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается ввиде тройки (X,R,Y), где /> />– базовые множества, накоторых заданы, соответственно, входы /> ивыходы /> системы, R – нечеткоесоответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словеснойкачественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственнойформализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятиярешений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа“если />, то />, иначе, если />, то />, иначе, ..., если />, то />”. Здесь />, />,...,/> – нечеткие подмножества,определенные на базовом множестве X, а />,/>,..., /> – нечеткие подмножества избазового множества Y. Все эти нечеткие подмножества задаются функциямипринадлежности /> и />.

Способпостроения нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если/>, то />” и определяется функциейпринадлежности />, получаемой поформуле (1.2). Связка “иначе” между правилами понимается как или-связка,поскольку общее нечеткое отношение состоит из: правило 1, или правило 2, или,..., или правило N. Поэтому общее отношение R формально определяется следующимобразом:

/>, где i=1,...,N.         (1.4)

Еслипредположить, что мы имеем нечеткое событие />,т.е. входную ситуацию, представленную нечетким подмножеством, и известно общееотношение R, тогда результирующее действие выводится по композиционному правилувывода: />. Значение функциипринадлежности для /> вычисляетсяпосредством максиминной операции, определяемой уравнением

/>.                       (1.5)

Рассмотренныйлогический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошозарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также припринятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.

Списоклитературы

Заде Л.А. Основынового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М.:Математика сегодня, 1974, с.5-49.

Дюбуа Д., Прад А.Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. сфранц. М.: Радио и связь, 1990, 288с.