Реферат: Моделі та структури даних

Зміст

 

Вступ

1. Бінарні дерева

Відкриття програми

2. Списки

Проводимо компілюцію

3. Вводимо дані стеку

4. Вводимо дані черги

Бінарне дерево

Закінчили виконання практичної частини контрольної роботи

Висновок

Список використаної літератури

 

Вступ

В програмуванні та комп'ютерних науках структуриданих — це способи організації даних в комп'ютерах. Часто разом зі структурою данихпов'язується і специфічний перелік операцій, які можуть бути виконаними над даними,організованими в таку структуру. Правильний підбір структур даних є надзвичайноважливим для ефективного функціонування відповідних алгоритмів їх обробки. Добрепобудовані структури даних дозволяють оптимізувати використання машинного часу тапам'яті комп'ютера для виконання найбільш критичних операцій. Відома формула«Програма = Алгоритми + Структури даних» дуже точно виражає необхідністьвідповідального ставлення до такого підбору. Тому іноді навіть не обраний алгоритмдля обробки масиву даних визначає вибір тої чи іншої структури даних для їх збереження,а навпаки. Підтримка базових структури даних, які використовуються в програмуванні,включена в комплекти стандартних бібліотек найбільш розповсюджених мов програмування,такиї як Standart Template Library для C++, Java API, Microsoft.net

1. Бінарні дерева

Дерево — в інформатиціта програмуванні одна з найпоширеніших структур даних. Формально дерево визначаєтьсяяк скінченна множина Т з однієї або більше вершин (вузлів, nodes), яке задовольняєнаступним вимогам: існує один виокремлений вузол — корень (root) дерева інші вузли(за виключенням кореня) розподілені серед m ≥ 0 непересічних множин T1. Tmі кожна з цих множин в свою чергу є деревом. Дерева T1. Tm мають назву піддерев(subtrees) даного кореня. З цього визначення випливає, що кожна вершина є в своючергу коренем деякого піддерева. Кількість піддерев вершини має назву ступеня (degree)цієї вершини. Вершина ступеню нуль має назву кінцевої (terminal) або листа (leaf).Некінцева вершина також має назву вершини розгалуження (branch node). Нехай x — довільна вершина дерева з коренем r. Тоді існує єдиний шлях з r до x. Усі вершинина цьому шляху називаються предками (ancestors) x; якщо деяка вершина y є предкомx, то x називається нащадком (descendant) y. Нащадки та предки вершини x, що неспівпадають з нею самою, називаються власними нащадками та предками. Кожну вершинуx, в свою чергу, можна розглядати як корень деякого піддерево, елементами якогоє вершини-нащадки x. Якщо вершини x є предком y та не існує вершин поміж ними (тобтоx та y з'єднані одним ребром), а також існують предки для x (тобто x не є коренем),то вершина x називається батьком (parent) до y, а y — дитиною (child) x. Кореневавершина єдина не має батьків. Вершини, що мають спільного батька, називаються братами(siblings). Вершини, що мають дітей, називаються внутрішніми (internal). Глибиноювершини x називається довжина шляху від кореня до цієї вершини. Максимальна глибинавершин дерева називається висотою. Якщо існує відносний порядок на піддеревах T1.Tm, то таке дерево називається впорядкованим (ordered tree) або пласким (plane tree).Лісом (forest) називають множину дерев, які не перетинаються. Найчастіше деревав інформатиці зображують з коренем, який знаходиться зверху (говорять, що деревов інформатиці «росте вниз»). Важливим окремим випадком кореневих деревє бінарні дерева, які широко застосовуються в програмуванні і визначаються як множинавершин, яка має виокремлений корінь та два піддерева (праве та ліве), що не перетинаються,або є пустою множиною вершин (на відміну від звичайного дерева, яке не може бутипустим). Важливими операціями на деревах є: обхід вершин в різному порядку:

1. перенумерація вершин,

2. пошук елемента,

3. додавання елемента у визначене місце в дереві,

4. видалення елемента,

5. видалення цілого фрагмента дерева,6. додаванняцілого фрагмента дерева,

7. трансформації (повороти) фрагментів дерева,знаходження кореня для будь-якої вершини. Найбільшого розповсюдження ці структуриданих набули в тих задачах, де необхідне маніпулювання з ієрархічними даними, ефективнийпошук в даних, їхнє структуроване зберігання та модифікація.

Бінарне дерево: В програмуваннібінарне дерево — дерево структура даних, в якому кожна вершина має не більше двохдітей. Зазвичай такі діти називаються правим та лівим. На базі бінарних дерев будуютьсятакі структури, як бінарні дерева пошуку та бінарні купи.

Бінарне дерево — такекореневе дерево, в якому кожна вершина має не більше двох дітей. Повне (закінчене)бінарне дерево — таке бінарне дерево, якому кожна вершина має нуль або двох дітей.Ідеальне бінарне дерево — це таке повне бінарне дерево, в якому листя (вершини бездітей) лежать на однаковій глибині (відстані від кореня). Бінарне дерево на кожномуn-му рівні має від 1 до 2n вершин.

Обхід бінарного дерева Докладніше дивись статтю Обхід дерева. Часто виникає необхідність обійтиусі вершини дерева для аналізу інформації, що в них знаходиться. Існують декількапорядків такого обходу, кожний з яких має певні властивості, важливі в тих чи іншихалгоритмах: прямий (preorder), центрований (inorder) та зворотній (postorder). Реалізаціябінарних дерев Реалізація бінарного дерева. Кожна вершина містить вказівники направу та ліву дитину (left та right) Існують декілька варіантів конструювання бінарнихдерев в залежності від задач, які вирішуються цими структурами та можливостей тоїчи іншої мови програмування. Реалізація з використанням вказівників передбачає зберіганняв кожній вершині дерева x разом з даними двох полів з вказівниками (правим та лівим)right [x] та left [x] на відповідних дітей цієї вершини. Модифікована реалізаціябінарного дерева. Кожна вершина містить також вказівник на батьківську вершину.Також іноді додається вказівник p [x] на батьківську вершину. Це виявляється корисним,коли необхідний швидкий доступ до батьківської вершини та спрощує деякі алгоритми.Іноді достатньо тільки вказівника на батьківську вершину. Взагалі будь-яке орієнтованедерево можна описати, знаючи тільки зв'язки від дітей до батьківської вершини. Деякірізновиди бінарних дерев (наприклад, червоно-чорні дерева або AVL-дерева), вимагаютьзбереження в вершинах і деякої додаткової інформації. Якщо у вершини відсутня одначи обидві дитини, відповідні вказівники ініціалізуються спеціальними «пустимизначеннями.

Бінарне дерево на базі масиву. Бінарні дерева також можуть бути побудовані на базі масивів. Такий методнабагато ефективніший щодо економії пам'яті. В такому представленні, якщо вершинамає порядковий номер i, то її діти знаходяться за індексами 2i+1 та 2i+2, а батьківськавершина за індексом ( (i-1) /2) (за умов, що коренева вершина має індекс 0). Іншийваріант зберігання дерева в масиві — зберігати індекси дітей.

Представлення n-арних дерев як бінарних. Існує єдине та взаємооднозначне відображення довільного впорядкованогодерева в бінарне. Для цього слід послідовно зв'язати усіх дітей кожної сім'ї з першоюдитиною та та видалити усі вертикальні з'єднання за виключенням з'єднання батьказ першою дитиною в сім'ї. Тобто кожна вершина N впорядкованого n-арного дерева відповідаєвершині M деякого бінарного дерева. Ліва дитина вершини M відповідає першій дитинівершини N, а права дитина M відповідає першому з наступних братів N (тобто першомуз наступних дітей батька вершини N). Така відповідність має назву природної відповідностіміж n-арним та бінарним деревом.

Бінарне дерево пошуку: Бінáрне дéрево пóшуку (англ. binary search tree, BST)в інформатиці — бінарне дерево, в якому кожній вершині x співставлене певне значенняval [x]. При цьому такі значення повинні задовольняти умові впорядкованості: нехайx — довільна вершина бінарного дерева пошуку. Якщо вершина y знаходиться в лівоміпіддереві вершини x, то val [y] ≤ val [x]. Якщо у знаходиться у правому піддеревіx, то val [y] ≥ val [x]. Таке структурування дозволяє надрукувати усі значенняу зростаючому порядку за допомогою простого алгоритма центрованого обходу дерева.Бінарні дерева пошуку набагато ефективніші в операціях пошуку, аніж лінійні структури,в яких витрати часу на пошук пропорційні O (n), де n — розмір масиву даних, тодіяк в повному бінарному дереві цей час пропорційний в середньому O (log2n) або O(h), де h — висота дерева (хоча гарантувати, що h не перевищує log2n можна лишедля збалансованих дерев, які є ефективнішими на пошукових алгоритмах.).

Пошук в бінарному дереві. Процедура пошуку в бінарному дереві отримує на вході значення k, яке необхіднознайти, та вказівник x на корень того піддерева, в якому слід шукати.

SEARCH (x, k) 1 if x = NULL or k = val [x]

2 then return x

3 if k < val [x]

4 then return SEARCH (left [x], k)

5 else return SEARCH (right [x], k)

В процесі пошуку ми рухаємось від кореня, порівнюючизначення k зі значенням в поточній вершині х. Якщо k < val [x], пошук рекурсивнопродовжується в лівому піддереві (k може бути тільки там згідно умови впорядкованості),інакше — у правому піддереві. Очевидно, що довжина шляху не перевищує висоти дерева,тому час пошуку є O (h), де h — висота дерева.

Мінімум, максимум, наступник та попередник.

Мінімальний елемент в дереві можна знайти, розглянувшипослідовно ліве піддерево left [x]:

MINIMUM (x)

1 while left [x] <>NULL

2 do x: =left [x]

3 return x

Процедура знаходження максимуму симетрична. Обидвіпроцедури знову ж таки знаходять елемент за час, пропорційний O (h) Елемент, щоє наступним за даним (в сенсі відношення впорядкованості) можна знайти за допомогоютакої процедури:

SUCCESSOR (x)

1 if right [x] <> NULL

2 then return MINIMUM (right [x])

3 y: =p [x]

4 while y<>NULL and x = right [y]

5 do x: =y

6 y: =p [y]

7 return y

Процедура знаходження попереднього даному елементає симетричною. Обидві процедури знову ж таки знаходять елемент за час, пропорційнийO (h)

Додавання елементу.

Процедура додавання елементу в бінарне дерево Tдодає елемент, зберігаючи умову впорядкованості.

Параметром тут є вказівник z на нову вершину, вяку поміщене значення val [z], left [z] =right [z] =NULL.

INSERT (T, z)

1 y: =NIL

2 x: =root [T]

3 while x <> NULL

4 do y: =x

5 if val [z] < val [x]

6 then x: =left [x]

7 else x: =right [x]

8 p [z]: =NULL

9 if y = NULL

10 then root [T]: =z

11 else if val [z] <val [y]

12 then left [y]: =z

13 else right [y]: =z

Процедура рухається вниз по дереву, при цьому зберігаючив y вказівник на батька вершини x. Порівнюючи значення в x та z, процедура вирішує,в яке з піддерев рухатись далі. Процес завершується тоді, коли x=NULL. Саме сюдий слід помістити вершину z (рядки 8-13). Ця операція також потребує часу для виконання,пропорційного O (h). Видалення елементу Параметром для процедури є вказівникна вершину, що видаляється. Тут можливі три варіанти дій: якщо у вершини немає дітей,достатньо помістити NULL у відповідне поле його батька (замість вказівника на вершину,що видаляється) якщо у вершини є одна дитина, можна з'єднати батька цієї вершинибезпосередньо з її дитиною якщо вершина має двох дітей, слід спочатку знайти слідуючий(в сенсі порядку) елемент y, в якого немає лівої дитини, а потім скопіювати значеннята додаткові дані з вершини y на місце вершини, що видаляється, а саму вершину yвидалити.

DELETE (T, z)

1 if left [z] = NULL or right [z] =NULL

2 then y: =z

3 else y: =SUCCESSOR (z)

4 if left [y] <> NULL

5 then x: =left [y]

6 else x: = right [y]

7 if x <> NULL

8 then p [x]: =p [y]

9 if p [y]: =NULL

10 then root [T]: =x

11 else if y=left [p [y]]

12 then left [p [y]]: =x

13 else right [p [y]]: =x

14 if y <> z

15 then val [z]: =val [y]

16 // копіювання додаткових даних з y

17 return y

Відкриття програми

/>

/>

 

2. Списки

Внести до її тексту зміни та виконати її, створившисписок, розмір якого визначено відповідно до варіанту № 15.

Список (list) — набірелементів, розташованих у певному порядку. Таким набором бути може ряд знаків услові, слів у пропозицій у книзі. Цей термін може також ставитися до набору елементівна диску. Використання при обробці інформації списків як типи даних привело до появив мовах програмування засобів обробки списків. Список черговості (pushup list)- список, у якому останній вступник елемент додається до нижньої частини списку.Список з використанням покажчиків (linked list) — список, у якому кожний елементмістить покажчик на наступний елемент списку. Лінійний список (linear list) — цебезліч, що складається з вузлів, структурні властивості якого по суті обмежуютьсялише лінійним (одномірним) відносним положенням вузлів, тобто тими умовами, що якщо,те є першим вузлом; якщо, те k-му вузлу передує й за ним треба; є останнім вузлом.Операції, які ми можемо право виконувати над лінійними списками, є наступними:

1. Одержати доступ до k-го вузла списку, щоб проаналізуватий/або змінити вміст його полів.

2. Включити новий вузол безпосередньо перед k-имвузлом.

3. Виключити k-й вузол.

4. Об'єднати два (або більше) лінійних списки водин список.

5. Розбити лінійний список на два (або більше)списки.

6. Зробити копію лінійного списку.

7. Визначити кількість вузлів у списку.

8. Виконати сортування вузлів списку в зростаючомупорядку по деяких інформаційних полях у вузлах.

9. Знайти в списку вузол із заданим значенням удеякім полі.

бінарне дерево структура масив

Спеціальні випадки k=1 і k=n в операціях (1),(2) і (3) особливо виділяються, оскільки в лінійному списку простіше одержати доступдо першого й останнього елементів, ніж до довільного елемента.

/>

/>

Проводимо компілюцію

/>

/>

3. Вводимо дані стеку

Виконати її, ввівши дані до стеку, глибина якоговизначена відповідно до варіанту №9.

Стек (stack) — лінійний список, у якому всі видаленняй доповнення (і звичайно всякий доступ) робляться з одного кінця списку. Стек — частина пам'яті ОЗУ комп'ютера, що призначається для тимчасового зберігання байтів,використовуваних мікропроцесором; при цьому використається порядок запам'ятовуваннябайтів “останнім увійшов — першим вийшов”, оскільки таке добавлення й видаленняорганізовувати простіше всього, то операції здійснюються дуже швидко. Дії зі стекомвиконуються за допомогою регістра покажчика стека. Будь-яке ушкодження цієї частинипам'яті приводить до фатального збою. Стек у вигляді списку (pushdown list) — стек,організований таким чином, що останній елемент, що вводить в область пам'яті, розміщуєтьсяна вершині списку. З стека ми завжди виключаємо „молодший“ елемент ізнаявних у списку, тобто той, котрий був включений пізніше інших. Для черги справедливов точності протилежне правило: видаляється завжди „старший“ елемент; вузлизалишають список у тім порядку, у якому вони в нього ввійшли. Стеки дуже часто зустрічаютьсяв практиці. Простим прикладом може послуговувати ситуація, коли ми переглядаємобезліч даних і утворюємо список особливих станів або об'єктів, які повинні оброблятисяпізніше; коли первісна безліч оброблена, ми повертаємося до даного списку й виконуємонаступну обробку, видаляючи елементи зі списку, поки список не стане порожнім. Дляцієї мети придатні як стек, так і черга, але стек, як правило, зручніший. При вирішеннізавдань наш мозок поводиться як „стек“: одна проблема приводить до іншої,а та у свою чергу до наступної; ми накопичуємо в стеці ці завдання й підзавданняй забуваємо про них у міру того, як вони вирішуються. Аналогічно процес входів упідпрограми й виходів з них при виконанні машинної програми подібний до процесуфункціонування стека. Стеки особливо корисні при обробці мов, що мають структурувкладень. Взагалі, стеки найчастіше виникають у зв'язку з алгоритмами, що маютьявно або неявно рекурсивний характер.

У стеці елемент додаються й віддаляються тількиз одного кінця. На малюнку це елемент N. Тобто якщо він додався, то видалятися можеспочатку тільки він, а вже потім всі інші. Для стеку характерні такі властивості:

елементи додаються у вершину (голову) стеку;

елементи видаляються з вершини (голови) стеку;

покажчик в останньому елементі стеку дорівнює NULL;

неможливо вилучити елементи стеку, не вилучившивсі елементи, що йдуть попереду. Стек можна уявити собі як коробці, у яку складаютьякі-небудь предмети, щоб дістати самий нижній потрібно попередньо витягти інші.Стек можна вподібнити стопці тарілок, з якої можна взяти верхню й на яку можна покластинову тарілку. [Інша назва стека в літературі — “магазин” — зрозуміло всякому, хторозбирав автомат Калашникова]. У програмуванні стеки мають широке застосування.Наприклад під час виклику підпрограми адрес повернення до неї зберігається у стеку.У випадку, коли відбувається цілий ряд послідовних викликів, адреси повернення розміщаютьсяв стеці в порядку останнім прийшов — першим вийшов, так що після завершення виконаннякожної функції відбувається перехід до функції, її що викликала. Стек підтримуєяк звичайні нерекурсивні виклики, так і рекурсивний виклик функцій. Стек використовуєтьсякомпілятором під час обчислення виразів, до нього записуються значення локальнихзмінних тощо.

/>

/>

/>

4. Вводимо дані черги

Виконати її, ввівши дані до черги, довжина якоївизначена відповідно до варіанту №9. Черга (queue) — лінійний список, у якому всівидалення відбуваються на одному кінці списку, а всі включення (і звичайно всякийдоступ) робляться на іншому його кінці. Черга — тип даних, при якому нові дані розташовуютьсяслідом за існуючими в порядку надходження; першими дані, що надійшли, при цьомуобробляються першими. У деяких розділах математики слово „чергу“ використовуютьу більше широкому змісті, позначаючи будь-який сорт списку, у якому наявні видаленняй додавання; зазначені вище спеціальні випадки називаються тоді „чергами зрізними дисциплінами“. Однак тут термін „черга“ використовуєтьсяу більш вузькому змісті, аналогічному впорядкованим чергам людей, що очікують обслуговування.Правило тут таке ж, як у живій черзі: першим прийшов — першим тебе і обслужений.Прийшов новий покупець, встав (добавився) у кінець черги, а який уже зробив покупкипішов (вийшов) з початку черги. Тобто першим прийшов, першим пішов. Інакше кажучи,у черги є голова (head) і хвіст (tail). Елемент, що додається в чергу, виявляєтьсяв її хвості. У черзі новий елемент додається тільки з одного кінця. Видалення елементавідбувається на іншому кінці. Черга, це по суті однонаправлений список, тільки додаванняй видалення елементів відбувається на кінцях списку. Черга характеризується такимивластивостями: · елементи додаються в кінець черги; · елементи зчитуються та видаляютьсяз початку (вершини) черги; · покажчик в останньому елементі черги дорівнює NULL;· неможливо отримати елемент із середини черги, не вилучивши все елементи що ідутьпопереду. Наведемо приклади застосування черг в обчислювальній техніці. У мережнійопераційній системі процесор сервера обслуговує в певний момент часу тільки одногокористувача. Запити інших користувачів записуються до черги. Під час обслуговуваннякористувачів кожен запит просувається до початку черги. Перший в черзі запит підлягає»першочерговому" обслуговуванню. У комп'ютерній мережі за чергою обслуговуютьсяінформаційні пакети. Черги застосовуються також для буферизації потоків даних, щовиводяться на друк, якщо в комп'ютерній мережі використовується один принтер. Крімцих структур існують і інші, наприклад деки, двонаправленні списки, кільцеві спискиі т. і. Ь На малюнку нище графічно зображено дек (deck) (стек із двома кінцями)- лінійний список, у якому всі додавання й видалення (і звичайно всякий доступ)робляться на обох кінцях списку. Дек по суті двонаправлений список. У зв'язаномусписку (linked list) елементи лінійно впорядковані, але порядок визначається неномерами, як у масиві, а покажчиками, що входять до складу елементів списку. Спискиє зручним способом зберігання динамічних даних, що дозволяють реалізувати всі операції,(хоча й не завжди ефективно). Інакше кажучи, елемент двостороннє зв'язаного списку(doubly linked list) — це запис, що містить три поля: key (ключ) і два покажчики- next (наступний) і prev (від previous-попередній). Крім цього, елементи спискуможуть містити додаткові дані. Якщо х — елемент списку, то next вказує на наступнийелемент списку, а prev — на попередній. Якщо prev{х}=nil, то в елемента х немаєпопереднього: це голова (head) списку. Якщо next{х}= nil, то х — останній елементсписку або, як говорять, його хвіст (tail). Ці дані є неявно загальноприйнятимив програмуванні. Звичайно, динамічні структури даних не обмежуються наведеними вище.Існують і інші, зокрема графи, дерева що займають свою окрему нішу у програмуванніі почасти вирішення певних питань не можливе без їх застосування.

/>

Бінарне дерево

Виконати її, створивши бінарне дерево, кількістьвузлів якого визначена відповідно до варіанту №15. Навести зображення дерева. Деревоподібнаархітектура має найменший діаметр серед всіх існуючих, який дорівнює для бінарногодерева 2lg ( (P+1) /2) — відстань між двома листами, шлях між якими проходить черезкорінь. Для k-арних дерев діаметр зменшується зі збільшенням k. Недоліком деревоподібнихмереж є те, що обмін даними між процесами відбувається за лінійний час, а процес-коріньє вузьким горлом при передачі інформації. Багатопроцесорний комп'ютер з паралельноюобробкою інформації називається деревовидною машиною (tree machine) [33], якщо йогопроцесори сполучені зв'язками так, що утворюється топологія повного бінарного дерева.Такий комп'ютер має 2d-1 процесорних елементів для деякого d, які розбиті на d рівнів,пронумерованих від 1 до d. Кожний процесор на рівні j, 1ЈjЈd, зв'язаний з єдинимпроцесором на рівні j-1 (батьком), та з двома процесорами на рівні j+1 (синами).Зв'язки між процесами розташовані таким чином, що безпосередньо обмінюватися інформацієюможуть лише батько з сином. Єдиний процесор на першому рівні називається коренемв топології дерева, а процесори на рівні d — листами. Корінь не має батька, а листине мають синів. На малюнку 15 зображена топологія деревовидної машини з d=4 рівнями,яка містить 24-1 = 15 процесорних елементів.

/>

/>

/>

 

Закінчили виконання практичноїчастини контрольної роботи

/>

Висновок

У виконаній роботі було розглянуто процеси пошукуінформацій та розроблено структури даних для ефективного зберігання та обробки інформації.Як приклад розглянуто бінарне дерево. Це динамічна структура даних, розмір якоїобмежується тільки розміром віртуальної пам'яті комп'ютера. Бінарні дерева забезпечуютьпошук конкретного значення, максимуму, мінімуму, попереднього, наступного, операціївставки та видалення елемента. Розглянуті у роботі бінарні структури широко використовуютьсяу житті, наприклад це різноманітні "ієрархічніструктури", які нині широко використовуютьсяв багатьох комп'ютерних завданнях. На даний час також розвивається граматичний аналіз,в основі якого і знаходяться принципи бінарних дерев. Граматичний аналіз на данийчас широко використовується у сучасних пошукових алгоритмах.

 

Список використаної літератури

1. Баррон Д. Рекурсивные методы в программировании, — М.: 1974

2. Дмитриева М.В., Кубенский А.А. Элементы современногопрограммирования, — СПб.: 1991.

3. Барашенков В.В. Анализ и преобразование операторныхсхем алгоритмов: учебное пособие. — Л.: ЛЭТИ, 1979.

4. Кинг Д. Создание еффективного программного обеспечения.- М.: Мир, 1991.

5. Барашенков В.В. Интерпретация операторных схем алгоритмов.- Л.: ЛЭТИ, 1978.

6. Бентли Дж. Жемчужины творчества программистов. — М.:Мир, 1990.

7. Шауман А.М. Основы машинной арифметики. — 1979.

8. Ахо, Альфред В. и др. Построение и анализ вычислительныхалгоритмов. — М.: Мир, 1979

9. Криницкий Н.А. Программирование и алгоритмические языки.- 1975.

10. Прикладные вопросы системного анализа. Межвузовскийтематический сборник. Вып.2. Куйбышев, 1976.

11. Автоматическое построение ассоциативного списка сосжатием информации. — К., 1976.

12. Квиттнер П. Задачи, программы, вычисления, результаты.- М.: Мир, 1980.

13. Шауман А.М. Основы машинной арифметики. — 1979.

14. Малоземов В.Н. Певный А.Б. Рекуррентные вычисления.- Л., изд. ун-та, 1976.