Реферат: Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
Севастопольскийнациональный технический университетКафедратехнической кибернетики
КУРСОВАЯРАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ«Вычислительныеметоды» на тему:
«Экспериментальноеисследование свойств методов Рунге-Кутты»
Выполнила: студентка гр.А-31д
Воротилова Я.М.
Проверил: Мирянов В.И.
Севастополь
2004
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1 Приведение к нормальной формеКоши
1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка
2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ
2.1 Основная программа
2.2 Функция вычисления точногорешения
2.3 Процедура вычисления правыхчастей системы уравнений в нормальной форме Коши
2.4Процедура RK2
2.5Процедура RK4
3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕМЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ
3.1 Анализ влияния величины шага на точностьинтегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвертого порядка
3.2 Проверка гипотезы Рунге
3.3Исследование поведение ошибки интегрирования как функции независимой переменнойдля обоих методов Рунге-Кутты при различных значениях шага
3.4Сравнительный анализ эффективности методов Рунге-Кутты при различныхтребованиях к точности вычисления
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая курсоваяработа посвящена опытному исследованию свойств методов Рунге-Кутты и реализации на персональных компьютерахчисленных методов приближенного интегрирования ОДУ,наиболее часто применяющихся в практике моделирования и проектирования СА и У.Экспериментальные исследования проводятся с помощью составленных и отлаженныхпрограмм интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Задание предполагает:
a) закрепление теоретических навыков и знаний ввопросе о проблематике интегрирования ОДУ и численного решения задачи Кошиметодом Рунге-Кутты, изучение их основных свойств (точность, эффективность, устойчивость)и основных характеристик данных свойств (локальная и глобальная алгоритмическиеошибки, порядок метода, ошибка вычисления и т.п.) ;
b) приобретение основных навыков составления иотладки процедур и функций интегрирования на основе методов Рунге-Кутты ипрограмм интегрирования систем дифференциальных уравнений с использованием всетех же процедур и функций;
c) проведение опытных исследований зависимоститочности, эффективности и устойчивости алгоритмов интегрирования от величинышага интегрирования и порядка метода Рунге-Кутты на ЭВМ.
В различных сферахтехнических и даже экономических отраслей приходится достаточно часто сталкиватьсяс математическими задачами, для которых не представляется возможным описатьточное решение классическими методами или сиерешение выражено крайне неудобочитаемыми соотношениями,которые представляют из себя неприемлемую для мозга пищу, не говоря уже обиспользовании илиреализации на практике.
Разрабатываемыевычислительной математикой численные методы носят в основном ориентировочный характер, однако они позволяют получить итоговый числовойрезультат со сносной для практических нужд точностью. Численные методы представляют собой алгоритмывычисления приблизительных значений искомого решения на определенной сеткезначений аргумента. При определенных условиях значения аргумента могут являтьсяточными.
Численные методы непозволяют найти общее решение: полученное решение является частным. Но одним измногочисленных плюсов данных методов можно назвать высокую степень применимостик обширным классам уравнений и всем типам вопросов и заданий к ним. Посему споявлением электронных вычислительных машин численные методы стали одними изосновных технологий решения определенных практических задач решения ОДУ.
Большую значимость имеетвопрос о верности вычислений на ЭВМ, поскольку припрактической реализации имеет место обширный объем обрабатываемойподсчитываемой информации и погрешности могут достаточно сильно исковеркатьконечный результат, принимаемый нами за действительный с «поправками на ветер».Кроме сказанного оценкаточности численного метода немаловажна и потому, что увеличить точность в некоторыхпределах можно за счет увеличения объемов вычислений, а уменьшить временные затраты при решении задачи — за счет снижения точности получаемого результата.
Для понижения погрешности методов интегрирования ОДУ,использующего разложения искомого решения в ряд Тейлора, необходимо приниматьво внимание большее количество членов ряда. При всем при этом появляется потребностьаппроксимации производных правых частей ОДУ. Ключевая идея методов Рунге-Куттызаключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции /> в точках на интервале />, которые выбираются изусловия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшейстепени />, с коей учитываются членыряда, построены всевозможные вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядковточности.Среди достоинств схем Рунге-Кутты не следует обходить вовнимании:d) удобоваримую точность;
e) одноступенчатость, то есть дабы найти />, необходима информациялишь о предыдущей точке />;
f) координирование с рядом Тейлора вплоть дочленов порядка />, где степень /> неодинакова дляразличных методов и именуется порядком метода;
g) отсутствие необходимости вычисленияпроизводных от />, причем накладывается требование вычислениявсего-навсего самой функции.
Собственно благодаря вышеуказанному свойству c) методыРунге-Кутты предпочтительней рядов Тейлора для реализации на практике. Тем неменее поводов для веселья мало, ибо перед нами стоит нелегкая задача неоднократноговычисления функции /> при неодинаковых значениях /> и /> для вычисленияпоследующей точки решения. Это Богом дарованное наказание за преподнесенную намчисленным методом поблажку, заключающуюся в отсутствии какой бы то ни былонадобности вычисления иной раз весьма громоздких производных, но трудностейбоятся кто угодно, только не мы.1ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1 Приведение к нормальнойформе Коши
Нормальной формой Кошипринято называть общую форму записи ОДУ, то есть представление в виде системы /> дифференциальных уравненийпервого порядка:
/> (1)
ДУ второго порядка, заданное согласноварианту №3 имеет вид:
/> (2)
Задание предполагает нахождение решения /> на интервале /> приследующих начальных условиях:
/> (3)
Для решения ДУ его просто необходимопредставить согласно нормальной формы Коши. Для этого руководствуемсяследующими обозначениями:
/> (4)
В итоге имеется система ДУ первого порядкавида:
/> (5)
Произведя все вышеописанные манипуляции над заданнымв варианте уравнением, получим следующую систему:
/> (6)
Система (6) есть решение уравнения (2).
1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка
В методах Рунге-Кутты интеграл заменяетсялинейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разныхзначениях аргумента:
/> (7)
Метод Рунге-Кутты представим в виде:
/>
(8)
Из вышеуказанных общихформул (8) получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;
/> (9)
Для определения методанеобходимо найти значения вещественных коэффициентов: />. Для этого интеграл, заменяемый линейной комбинацией значений подынтегральнойфункции, вычисленных при разных значениях аргумента, можно представитькак:
/> (10)
А его, в свою очередь,можно представить рядом Тейлора:
/> (11)
где /> — сумма элементов рядаТейлора, степень которых не ниже 3.
Осталось найтинеизвестные значения />
/> (12)
В результате таких бесхитростных манипуляций получаем искомыйряд Тейлора:
/> (13)
Приравняем коэффициентыпри одинаковых степенях /> ввыражениях
(11) и (13). В итогеполучим систему уравнений вида:
/> (14)
Из свойств системы (14)следует отметить, что она не обладает единственным решением. При /> значение />, значение />, а /> (15)
Подставив полученные коэффициентыв соотношение (8), получаем следующие формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка:
/>
/> (16)
2ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ
Составленная в ходекурсовой работы программа вычисляет решения дифференциального уравнения, спредварительно заданными начальными условиями. Интегрирование происходитсогласно двум методам: Рунге-Кутты второго и четвертого порядков.
Программа состоит изследующих модулей:
1) Основнаяпрограмма;
2) Процедуравычисления точного решения ДУ;
3) Процедуравычисления правых частей;
4) Процедуравыполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого порядка;
5) Процедуравыполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 4-ого порядка.
2.1 Основная программа
Блок программы осуществляетследующие операции:
· запрашивает у нерадивогопользователя величину шага интегрирования и шаг вывода на экран;
· вычисляет количествошагов;
· с заданным шагомвызывает процедуры интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков наотрезке интегрирования;
· вычисляет погрешностьи оценку погрешности интегрирования;
· выводит замечательныерезультаты работы программы с заданным шагом вывода на экран.
Для простоты пониманияукажем следующие переменные, содержащиеся в программе:
· h — шаг интегрирования. Вводится нерадивымпользователем с клавиатуры;
· n – число шагов интегрирования;
· h_screen — шаг вывода результатов на экран. Вводится нерадивымпользователем с клавиатуры;
· i_screen – счётчик вывода результатов на экран. Когда i_screen > h_screen, то происходит вывод результатов иобнуление i_screen;
· i, j – переменные, используемые циклом;
· e2, e4– ошибки интегрирования для методов Рунге-Кутты 2-ого и4-ого порядков соответственно. Подсчитываются из соотношения(1):
/> (1)
· e2max, e4max – оценки погрешностей интегрированиядля методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков соответственно. Подсчитываютсяиз соотношения(2):
/> (2)
· t – значения независимой переменной;
· t0, tf – пределы интегрирования
· y2, y4 – вектора решения для методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-огопорядка соответственно в узле tk<sub/>;
· outfile– переменная файлового типа.Определена для вывода результатов в текстовой файл;
· name – переменная строкового типа.Используется для передачи имени файла.
Текст основной программыприведён в приложении А, схемав приложении Б.
2.2 Функция вычисленияточного решения
function clearsolve (t: real): real
Функцияпредназначена для вычисления точного решения для дифференциального уравнения поформуле (3):
/> (3)
Текстфункции приведен в приложении 2, схема в приложение 7.
2.3 Процедуравычисления правых частей системы уравнений в нормальной форме Коши
procedureright(t: real; var x,f: vector_n);
Процедуравычисляет правые части системы однородных дифференциальных уравнений внормальной форме Коши по формуле (4):
/> (4)
Текст процедуры приведенв приложении А, а схема в приложение Б.
2.4Процедура RK2
procedure RK2(t: real; h: real; var x: vector_n);
Укажем формальные параметры:
t – независимая переменная;
h – шаг интегрирования;
x – массив решений. При входе впроцедуру решение в текущем узле интегрирования, при выходе в следующем.
Процедура RK2 выполняет шаг интегрированиясистемы ОДУ методом Рунге-Кутты 2-ого порядка из соотношения (5):
/> (5)
где
/> (6)
Процедура обращается к процедуре вычисления правыхчастей right с различными параметрами для вычисления /> и />(6). Затем с Божьей помощью(5) считает значение />.
Текст процедуры приведенв приложении А, схема в приложение Б.
2.5 ПроцедураRK4
procedure RK4(t: real; h: real; var x_4: vector_n);
Формальные параметры:
t – независимая переменная;
h – шаг интегрирования;
x – массив решений. При входе впроцедуру решение в текущем узле интегрирования, при выходе в следующем.
Процедура RK4 выполняет шаг интегрированиясистемы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1.2) методом Рунге-Кутты4-ого порядка (7).
/> (7)
где
/> (8)
Процедура четыре раза обращается к процедуревычисления правых частей right с разными параметрами для вычисления />,/>,/>,/>(8). Затем с Божьей помощью(7) считает значение />.
Текст процедуры приведен в приложении А, схема вприложение Б.
3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ
3.1 Анализ влияния величины шага на точностьинтегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвертого порядков
Плоды деятельности на ПЭВМ приводятся в приложении В.Результат упорного труда программы представлены в графическом виде (рисунок 1)./>
Рисунок 1 – Зависимостьоценки e2 от шага интегрирования
/>
Рисунок 2 – Зависимостьоценки e4 от шага интегрирования
На рисунках изображенызависимости оценки погрешности интегрирования от величины шага интегрированиядля обоих методов. Из него видно, что практические результаты соответствуюттеоретическим положениям, но не совсем.
При шаге от 0.1 до 1 бесспорновлияние погрешности интегрирования как в методе второго, так и в методечетвертого порядков. Ошибка на данном интервале начинает лавинообразновозрастать, что связано с нарушением устойчивости алгоритма.
С дальнейшим уменьшениемшага до 0.1 – 0.001 величина погрешности уменьшается за компанию, и наблюдаетсядостаточно большая точность вычислений.
Дальнейшее уменьшениешага (менее 0.001) вызывает увеличение полной ошибки,а также скверное её поведение. Это связано с возрастанием влияния ошибкивычислений из-за увеличения количества вычислений, необходимых для получения решения. На фоне уменьшения алгоритмической погрешности решающуюроль играет погрешность вычислений, которая представляет собой сумму всехошибок округления при реализации данного метода на конкретной ПЭВМ.
Из двух методов 2-го и4-го порядков при одинаковых значениях шага точнее метод четвертого порядка, нопри уменьшении шага, точность методов постепенно выравнивается.
3.2 Проверка гипотезыРунге
Согласно гипотезе, суммарная погрешность алгоритма приинтегрировании ДУ с постоянным шагом пропорциональна величине шага в степени,равной порядку метода./> (1)
Результаты вычислений на ПЭВМ приводятся в приложении В.Результат работы программы наглядно представлены в графическом виде (рисунок2)./>
Рисунок 3 – Зависимость отношения оценки погрешности квеличине шага интегрирования в степени, равной порядку метода от шагаинтегрирования
Гипотеза Рунге экспериментально подтверждается только притаких значениях шага (1-0.01), где погрешность вычисления ПЭВМ влияет нарезультат в благоразумных пределах. При дальнейшем уменьшении шагапропорциональность скрывается из виду. Это можно истолковать тем, что предположениеРунге не учитывает влияния ошибки вычисления ПЭВМ на полученный результат.
3.3 Исследование поведение ошибкиинтегрирования как функции независимой переменной для обоих методов Рунге-Куттыпри различных значениях шага
Для проведения своих изысканий нам необходимо выбрать 3значения шага в начале, середине и конце диапазона изменения шага и построитьграфические зависимости решений от независимой переменной и погрешностейинтегрирования от независимой переменной.
Результаты вычислений на ЭВМ приводятся в приложении В.Результат работы программы наглядно представлены в графическом виде (рисунок 3и 4).
/>
Рисунок 4 – График точного и приближенных решений (h=0.001, 0.1, 0.5) дифференциальногоуравнения
На рисунке 3 слегка, но все-таки заметны отклоненияприближённых решений при разной величине шага от точного, что подтверждает высокуюточность получаемого приближенного решения относительно точного.
/>
Рисунок 5 – График зависимости величины ошибки интегрированияот независимой переменной при h=0.001,0.1, 0.5
Пришаге, численно равном 0.5 из рисунка 5 очевидно, что различия между погрешностямиметодов 2-ого (E5) и 4-ого (E6) порядков довольно значительны, что объясняется болеевысокой точностью метода 4-ого порядка.Разница ошибокинтегрирования для обоих методов при шаге интегрирования 0.1 остается достаточновысокой, но следует подметить, что точность метода Рунге-Кутты 4-ого порядкапри данном значении шага выше, чем при меньшем h=0.001 (это обусловлено тем, что алгоритмическая ошибкастремится к нулю, а вычислительная ещё не показывает свой отвратительныйхарактер).
При величине шага интегрирования h=0.001 ошибкиинтегрирования (E1и E2),равно как и при больших hвозрастают с ростом независимой переменной, что слава Богу не противоречиттеории, однако прослеживается скачкообразный характер графиков, что связано свнушительной лептой вычислительной ошибки в общую погрешность.
3.4 Сравнительный анализэффективности методов Рунге-Кутты при различных требованиях к точностивычисления
Для анализа надлежит оценить затраты машинноговремени на интегрирование ДУ в зависимости от величины погрешностиинтегрирования.
Так как для довольно непростыхуравнений львиная доля времени уходит на вычисление правых частей уравнений, тов качестве оценки затрат машинного времени можно принять количество вычисленийправых частей при нахождении решения на всёмотрезке интегрирования, что есть произведениеколичества шагов интегрирования на порядок метода.Зависимость оценки ошибки интегрирования отколичества шагов интегрированияопределена.
Замечательные результаты вычислений на ПЭВМ приведены все втом же приложении В. Результат работы программы представлены графически(рисунок 5)./>
Рисунок 6 – График зависимости величины ошибкиинтегрирования от количества вычислений правой части
Из близлежащего графика практически определяется метод для различныхтребованиях к точности и времени работы нашей замечательной программы. График наглядно демонстрирует, что наличествует такой пределшага, ниже которого программа гоняет свои байты зря, так как оценка погрешностирастёт из-за ошибки вычисления ПЭВМ. Стало быть, на практике следует выбиратьопределенный промежуток шага, желательно в котором алгоритмустойчив.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При реализации напрактике задания для курсовой работы, заключающегося в интегрирования ОДУ, быласоставлена и отлажена программа, приведенная в приложении А. С помощью данной программыпроведена серия опытных исследований свойств методов Рунге-Кутты второго ичетвёртого порядков.
При задании определенногоинтервала значений шага интегрирования ошибка интегрирования уменьшается с уменьшениемшага. Подтверждение сего факта можно без труда найти в теории. Однако нельзяобойти вниманием тот труднооспоримый аргумент, что для довольно незначительныхзначений /> с уменьшением шагаинтегрирования ошибке свойственно увеличивается. Это связано с лавинообразным ростомчисла требуемых для получения решения вычислений и c увеличением ошибки вычислений.
На заданном интервалезначений /> (при условии, что наинтервале ошибка вычислений велика не до безобразия),при одинаковых значениях шага интегрирования метод Рунге-Куттычетвёртого порядка имеет достаточно малую ошибку вычисления относительно ошибкиметода Рунге-Кутты второго порядка.
Следует отметить, что коэффициент/> (формула (1) раздела 3) длятаких значений шага интегрирования, при которых можноскрипя сердцем считать его неизменным, имеет меньшее значение для метода Рунге-Кутты четвёртого, нежели второго порядка. Отсюдамораль: ошибка интегрирования с помощью метода Рунге-Кутты четвёртого порядкаменьше ошибки интегрирования при использовании метода Рунге-Кутты второго порядкаи обусловлено это не только тем, что она обратно пропорциональна величине шагав четвёртой, а не во второй степени, но и оттого, что коэффициентпропорциональности при этом существенно меньше.
Метод Рунге-Куттычетвёртого порядка имеет значительно меньшую ошибку вычисления, нежели методРунге-Кутты второгопорядка(при условии идентичных машинных затрат). При неизменной требуемой точности для метода Рунге-Кутты четвёртогопорядка необходимы меньшие затраты машинноговремени относительно метода Рунге-Кутты второго порядка,отчего при корректном выборе шага интегрирования метод Рунге-Кутты четвёртого порядка значительно результативнее,чем метод Рунге-Кутты второго порядка.
БИБЛИОГРАФИЯ
1 Самарский А.А., ГулинА.В. Численные методы.М.: Наука, ГРФМЛ, 1989.- 432с.
2 Бахвалов Н.С.Численные методы. М.: Наука, ГРФМЛ,1987.-600 с.
3 Ляшко И.И., МакаровВ.Л. Интегральные методы вычислений. Киев, 1977, 408с.
4 Мантуров О.В.Курс высшей математики М.: В.Ш.-1991.-448с.
5 Маликов В.Т.Вычислительные методы и применение Киев: В.Ш.-1989.-213 с.
ПРИЛОЖЕНИЕА
(Справочное)
Основнаяпрограмма
program DU(input,output);
uses crt;
type vector_n = array [1..2] of real;
var t0, tf, k, j, n: integer;
t, yt, h, h_screen, e2, e4, e2max, e4max, i_screen: real;
y2, y4: vector_n;
name: string;
outfile: text;
begin
clrscr;
writeln('Please enter file name');
readln(name);
writeln('Please enter h,h_screen');
readln(h,h_screen);
clrscr;
writeln;
assign(outfile,name);
rewrite(outfile);
t0:=0;
tf:=10;
n:=round((tf-t0)/h);
y2[1]:=1;
y2[2]:=0;
y4:=y2;
e2:=0;
e4:=0;
e2max:=0;
e4max:=0;
t:=t0;
i_screen:=h_screen;
for k:=0 to n do
begin
yt:=clearsolve(t);
e2:=abs(yt-y2[1]);
e4:=abs(yt-y4[1]);
if e2>e2max then e2max:=e2;
if e4>e4max then e4max:=e4;
if i_screen>h_screen-0.00001 then
begin
yt:=clearsolve (t);
e2:=abs(yt-y2[1]);
e4:=abs(yt-y4[1]);
if e2>e2max then e2max:=e2;
if e4>e4max then e4max:=e4;
if i_screen>h_screen-0.00001 then
begin
writeln(' t=',t:6:3,'; yt=',yt:9:3,'; y2=',y2[1]:9:3,'; y4=',y4[1]:9:3,';e2=',e2:6:3,'; e4=',e4:8:6);
writeln(outfile,' t=',t:10:6,'; yt=',yt:10:6,'; y2=',y2[1]:10:6,';y4=',y4[1]:10:6,'; e2=',e2:12:9,'; e4=',e4:12:9,'.');
i_screen:=0;
end;
if t+h>tf-0.000001 then
begin
h:=tf-t;
t:=tf-h;
i_screen:=h_screen;
end;
RK2(t,h,y2);
RK4(t,h,y4);
t:=t+h;
i_screen:=i_screen+h;
end;
writeln;
writeln(' h=',(h):8:5,'; e2max=',e2max:16:8,'; e4max=',e4max:16:8,'',n:8);
writeln(outfile);
writeln(outfile,' h=',h:6:5,'; e2max=',e2max:10:8,';e4max=',e4max:10:8,'.');
close(outfile);
readkey;
end.
Функциявычисления точного решения
functionclearsolve(t:real):real;
begin
clearsolve:=exp(-t)*(cos(t)+sin(t)+t*sin(t));
end;
Процедуравычисления правых частей системы уравнений в нормальной форме Коши
procedure right(t:real;var x,f:vector_n);
begin
f[1]:=x[2];
f[2]:=2*exp(-t)*cos(t)-2*x[1]-2*x[2];
end;
ПроцедураRK2
procedure RK2(t:real;h:real;var x:vector_n);
var h4, h23: real;
f1, f2, xr: vector_n;
begin
h4:=0.25*h;
h23:=0.66666667*h;
right(t,x,f1);
for j:=1 to 2 do xr[j]:=x[j]+h23*f1[j];
right(t+h23,xr,f2);
for j:=1 to 2 do x[j]:=x[j]+h4*(f1[j]+3*f2[j]);
end;
ПроцедураRK4
procedure RK4(t:real;h:real;var x:vector_n);
var h2,h6:real;
f,fs,xr:vector_n;
begin
h2:=0.5*h;
h6:=0.166666667*h;
right(t,x,fs);
for j:=1 to 2do xr[j]:=x[j]+h2*fs[j];
right(t+h2,xr,f);
for j:=1 to 2do
begin
xr[j]:=x[j]+h2*f[j];
fs[j]:=fs[j]+2*f[j];
end;
right(t+h2,xr,f);
for j:=1 to 2do
begin
xr[j]:=x[j]+h*f[j];
fs[j]:=fs[j]+2*f[j];
end;
right(t+h,xr,f);
for j:=1 to 2do
x[j]:=x[j]+h6*(f[j]+fs[j]);
end;
ПРИЛОЖЕНИЕБ
(Справочное)
Схемаосновной программы
/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Схемафункции вычисления точного решения
/>
Схемапроцедуры вычисления правых частей системы уравнений в нормальной форме Коши
/>
Схемапроцедуры RK2
/>
Схемапроцедуры RK4
/>
ПРИЛОЖЕНИЕВ
(Справочное)
Результатыэкспериментов
t= 0.000000;yt= 1.000000; y2= 1.000000; y4= 1.000000; e2=0.000000; e4=0.000000
t= 0.400000;yt= 0.982855; y2= 0.983425; y4= 0.982856; e2=0.000570; e4=0.000001
t= 0.800000;yt= 0.893242; y2= 0.893209; y4= 0.893244; e2=0.000033; e4=0.000001
t= 1.200000;yt= 0.726735; y2= 0.725954; y4= 0.726735; e2=0.000781; e4=0.000001
t= 1.600000;yt= 0.518812; y2= 0.517695; y4= 0.518812; e2=0.001117; e4=0.000000
t= 2.000000;yt= 0.312861; y2= 0.311906; y4= 0.312860; e2=0.000955; e4=0.000001
t= 2.400000;yt= 0.141446; y2= 0.140967; y4= 0.141444; e2=0.000479; e4=0.000001
t= 2.800000;yt= 0.020112; y2= 0.020173; y4= 0.020111; e2=0.000062; e4=0.000001
t= 3.200000;yt= 0.050686; y2=-0.050207; y4=-0.050687; e2=0.000480; e4=0.000001
t= 3.600000;yt=-0.080123; y2=-0.079431; y4=-0.080123; e2=0.000692; e4=0.000001
t= 4.000000;yt=-0.081279; y2=-0.080573; y4=-0.081279; e2=0.000705; e4=0.000000
t= 4.400000;yt=-0.066862; y2=-0.066283; y4=-0.066862; e2=0.000579; e4=0.000000
t= 4.800000;yt=-0.046829; y2=-0.046441; y4=-0.046829; e2=0.000388; e4=0.000000
t= 5.200000;yt=-0.027632; y2=-0.027436; y4=-0.027632; e2=0.000196; e4=0.000000
t= 5.600000;yt=-0.012539; y2=-0.012497; y4=-0.012538; e2=0.000042; e4=0.000000
t= 6.000000;yt=-0.002468; y2=-0.002527; y4=-0.002468; e2=0.000058; e4=0.000000
t= 6.400000;yt= 0.003083; y2= 0.002977; y4= 0.003083; e2=0.000106; e4=0.000000
t= 6.800000;yt= 0.005261; y2= 0.005147; y4= 0.005261; e2=0.000113; e4=0.000000
t= 7.200000;yt= 0.005313; y2= 0.005217; y4= 0.005313; e2=0.000096; e4=0.000000
t= 7.600000;yt= 0.004292; y2= 0.004223; y4= 0.004292; e2=0.000068; e4=0.000000
t= 8.000000;yt= 0.002938; y2= 0.002898; y4= 0.002938; e2=0.000040; e4=0.000000
t= 8.400000;yt= 0.001690; y2= 0.001673; y4= 0.001690; e2=0.000017; e4=0.000000
t= 8.800000;yt= 0.000742; y2= 0.000741; y4= 0.000742; e2=0.000001; e4=0.000000
t= 9.200000;yt= 0.000131; y2= 0.000139; y4= 0.000131; e2=0.000008; e4=0.000000
t= 9.600000;yt=-0.000192; y2=-0.000181; y4=-0.000192; e2=0.000011; e4=0.000000
t=10.000000;yt=-0.000310; y2=-0.000299; y4=-0.000310; e2=0.000010; e4=0.000000
h=0.00000; e2max=0.00111851;e4max=0.00000132.