Реферат: Численные методы. Программа-калькулятор на Pascal

Задание

Разработать программу-калькуляторCalcKurs на языке программирования Pascal,реализующую следующие функции:

1. формирование заданногоподмножества натурального ряда с помощью общего делителя;

2. факторизация числа с опциями;

3. нахождение НОД и НОК длязаданной совокупности натурального ряда;

4. нахождение рациональныхрешений уравнения с целочисленными коэффициентами;

5. представление рациональнойдроби в виде цепной;

6. представление цепной дроби ввиде рациональной.

Оборудование и ПО:

Название Windows: Windows Seven(6.1.7600) Ultimate

Название процессора: Intel (R) Core(TM) 2 CPU 6300 @ 1.86GHz

Установлено памяти: 1 022,49 MB

Среда программирования: Turbo Pascal 7.0

Оглавление

1. Введение

2. Специальная часть

2.1 Интерфейс программы

3. Описание процедур

3.1 Procedure DelOstatok

3.2 Procedure Factor

3.3 Procedure NodNok

3.4 Procedure SuperGorner

3.5 Procedure Express

3.6 Procedure AntiExp

4. Заключение

Список использованных источников

Приложение

1. Введение

Теория чисел — это одноиз направлений математики, которое иногда называют «высшей арифметикой».Данная наука изучает натуральные числа и некоторые сходные с ними объекты,рассматривает различные свойства (делимость, разложимость, взаимосвязи и такдалее), алгоритмы поиска чисел, а также определяет ряд достаточно интересныхнаборов натуральных чисел.

Так, к примеру, в рамках теориичисел рассматриваются вопросы делимости целых чисел друг на друга, алгоритмЕвклида для поиска наибольшего общего делителя, поиск наименьшего общего кратного,малая и большая теоремы Ферма. В качестве самых известных рядов натуральныхчисел можно привести ряд Фибоначчи, простые числа, совершенные и дружественныечисла, степени и суперстепени натуральных чисел. [1]

Вне самой математики теориячисел имеет довольно мало приложений, и развивалась она не ради решенияприкладных задач, а как искусство ради искусства, обладающее своей внутреннейкрасотой, тонкостью и трудностью. Тем не менее теория чисел оказала большоевлияние на математическую науку, поскольку некоторые разделы математики (в томчисле и такие, которые впоследствии нашли применение в физике) былипервоначально созданы для решения особенно сложных проблем теории чисел. [2]

Разработанная программа включаетв себя набор из нескольких основных операций, которые могут понадобиться прирешении более сложных задач.

Назначение программы CalcKurs.

Программа CalcKursвыполняет следующие функции:

1. формирование заданногоподмножества натурального ряда с помощью общего делителя;

2. факторизация числа с опциями;

3. нахождение НОД и НОК длязаданной совокупности натурального ряда;

4. нахождение рациональныхрешений уравнения с целочисленными коэффициентами;

5. представление рациональной дробив виде цепной;

6. представление цепной дроби ввиде рациональной.

2. Специальная часть2.1 Интерфейс программы

/>

/>

3. Описание процедур3.1 Procedure DelOstatok

Назначение.

Данная процедура формируетзаданное подмножество натурального ряда с помощью общего делителя.

Алгоритм.

Ищется общий делительсовокупности делителей (общий делитель ищется с помощью нахождения наименьшегообщего кратного делителей). На заданном множестве (кол-во цифр в числах) ищемпервый элемент, который будет удовлетворять заданному условию (делится на НОК состатком), запоминаем элемент и прерываем цикл.

Формируем подмножество с помощьюприбавления к первому элементу делителя, суммируем количество элементов, покаэлементы не станут больше заданной размерности.

Пример. Делитель=10, остаток=3,размерность=2 (от 10 до 99)

Количество элементов=9. Подмножествоэлементов={13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93}. Тесты.

1. Некорректные данные

/>

2. Корректные данные

/>

3.2 Procedure Factor

Назначение.

Данная процедура выполняетфакторизацию (разложение на простые множители) числа с опциями.

Алгоритм.

Ищем для данного числа простоймножитель с помощью решета Эратосфена[3]

Для нахождения всех простыхчисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужновыполнить следующие шаги:

Выписать подряд все целые числаот двух до n (2, 3, 4, …, n).

Пусть переменная pизначально равна двум — первому простому числу.

Вычеркнуть из списка все числаот 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p, 3p,4p, …)

Найти первое не вычеркнутоечисло, большее чем p, и присвоить значению переменной p это число.

Повторять шаги 3 и 4 до тех пор,пока p не станет больше, чем n

Все не вычеркнутые числа всписке — простые числа)

и делим заданное число на данныймножитель, потом ищем следующий простой множитель (если он повторяется, товозводим его в степень), и так до тех пор, пока число не станет равным единице.Записываем все простые множители.

Далее находим все делители числаи составляем из них множество. Вычисляем сумму делителей.

Пример.

Число=21

множество делителей=1 3 7 21, кол-вопростых множителей=2

21=3 ^ 1 * 7 ^ 1

кол-во множителей=4, суммамножителей=32

Тесты.

1. Некорректные данные

/>

2. Корректные данные

/>

3.3 Procedure NodNok

Назначение.

Данная процедура находит НОД иНОК для заданной совокупности натурального ряда.

Алгоритм.

С помощью алгоритма Евклида (естьчисла a,b и последовательность R1>R2>R3>…>RN,где каждое RK — это остаток от деленияпредпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнеенацело. Тогда НОД (a,b), наибольший общий делитель a и b, равен RN, последнемуненулевому члену этой последовательности) находим НОД[4] для первыхдвух чисел, «цепляем» следующее число для нахождения следующего НОД,и так до тех пор, пока совокупность чисел не закончится.

Для нахождения НОК первых двухчисел используем следующий алгоритм: разлагаем данные числа на простыемножители и к одному из таких разложений приписываем множители недостающие унего против разложений остальных данных чисел[5], и аналогичнонахождению НОД «цепляем» следующее число.

Пример.

Числа: 21 и 12

НОД (12,21) =3

НОК (12,21) =84

Тесты.

1. Некорректные данные

/>

2. Корректные данные

3.4 Procedure SuperGorner

Назначение.

Данная процедура находитрациональные решения уравнения с целочисленными коэффициентами.

Алгоритм.

Рациональные корни уравненияищутся с помощью расширенной схемы (метода) Горнера[6] (раскладываемсвободный член и коэффициент перед старшей степенью на все возможные множителии делим все множители свободного члена на все множители коэффициента передстаршей степенью (добавляем также знак “-”); подставляем полученные значения вуравнение, если уравнение получается равным нулю, то это значение — кореньданного уравнения).

Пример. Уравнение: 6x3-11x2+6x-1=0

Возможные корни: +1, +1/2, +1/3, +1/6

Корни уравнения: 1/3, 1/2, 1

Тесты.

1. Некорректные данные

/>

2. Корректные данные

/>

3.5 Procedure Express

Назначение.

Данная процедура переводитрациональную дробь в цепную[7].

Алгоритм.

Делим числитель на знаменатель,запоминаем его целое значение (a div b, где а — числитель, b — знаменатель), находим остаток от делениячислителя на знаменатель (a mod b),присваиваем числителю значение остатка, меняем местами числитель и знаменатель,и так делаем до тех пор, пока (a mod b) нестанет равен нулю.

Пример.

Рациональная дробь: 123/47

Цепная дробь: [2,1,1,1,1,1,1,3]

Тесты.

1. Некорректные данные

/>

2. Корректные данные

/>

3.6 Procedure AntiExp

Назначение.

Данная процедура переводитцепную дробь в рациональную.

Алгоритм.

Умножаем последний элементцепной дроби с предпоследним и прибавляем к полученному значению единицу, этобудет значением числителя, значением знаменателя будет последний элемент цепнойдроби, меняем их местами, теперь последним элементом цепной дроби будетполученный знаменатель; так делаем, пока не закончатся элементы цепной дроби.

Пример. Цепная дробь: [2,3,4,5].Рациональная дробь: 157/68

Тесты.

1. Некорректные данные

/>

2. Корректные данные

/>

4. Заключение

Разработана программа CalcKurs, выполняющая следующие функции:

1. формирование заданногоподмножества натурального ряда с помощью общего делителя;

2. факторизация числа с опциями;

3. нахождение НОД и НОК длязаданной совокупности натурального ряда;

4. нахождение рациональныхрешений уравнения с целочисленными коэффициентами;

5. представление рациональнойдроби в виде цепной;

6. представление цепной дроби ввиде рациональной.

К минусам программы можноотнести невысокую размерность чисел, которые участвуют в вычислениях (-2147483648..2147483647), некоторые алгоритмы можно сделать более оптимальными.

К плюсам можно отнести простотув пользовании программой, её малую требовательность к ресурсам компьютера,программа исполняет основополагающие алгоритмы теории чисел. Она может помочь визучении данного раздела математики.

Список использованных источников

1.        http://ru. wikipedia.org/wiki/Теория_чисел

2.        http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/CHISEL_TEORIYA.html

3.        http://ru. wikipedia.org/wiki/Решето_Эратосфена

4.        http://ru. wikipedia.org/wiki/Наибольший_общий_делитель

5.        http://ru. wikipedia.org/wiki/Наименьшее_общее_кратное

6.        http://ru. wikipedia.org/wiki/Метод_Горнера

7.        http://dic. academic.ru/dic. nsf/es/39322/непрерывная

Приложение

Листинг программы

program kurs;

uses crt;

function pow (a,x: longint): longint;

var

t, i: longint;

begin

t: =a;

for i: =1 to x-1 do

t: =t*a;

pow: =t;

end; {pow}

{----------------------------------------}

procedure DelOstatok;

var

dd: array [1.200] of integer;

R: integer; {размерность чисел}

i: longint; {делитель}

k: longint; {остаток}

D,a,b: longint; {элементы заданного множества}

SUM: longint; {кол-во эл-ов, удовл условию}

S,T: byte;

q: char;

e,j,l,n: integer;

maxa,minj,maxj: longint;

begin

repeat

begin

writeln ('введите ко-во чисел для нахождения НОК делителей');

readln (n);

writeln ('введите ',n,' чисел: ');

readln (dd [1]);

maxa: =dd [1] ;

for i: =2 to n do

begin

readln (dd [i]);

if dd [i] >maxa then maxa: =dd [i] ;

end;

i: =1; while (dd [i] <>0) and (i<=n) do inc (i);

if i<>n+1 then writeln ('НОК не сущ-ет')

else begin

e: =1;

for i: =2 to maxa do

begin

maxj: =0;

for l: =1 to n do

begin

j: =0;

while (dd [l] mod i=0) do

begin

dd [l]: =dd [l] div i;

inc (j);

end;

if (j>maxj) then maxj: =j;

end;

if (maxj<>0) then for l: =1 to maxj do e: =e*i;

end;

writeln ('НОК делителей=',e);

end;

end;

i: =e;

write ('введите остаток=');

readln (k);

if ( (i<=0) or (k<0)) then {проверка

{вывод эл-ов на экран}

end; writeln;

end;

writeln ('Повторить? (Y/N) ');

q: =ReadKey;

until q in ['N','n'] ;

clrscr;

end; {DelOstatok}

{----------------------------------------}

procedure Factor;

var

numb, powers: array [1. .100] of longint;

c: longint;

n: longint;

n1,H: longint;

i: longint;

k,t: longint;

q: char;

begin

repeat

write ('Введите число=');

readln (c);

if c<=0 then {проверка на корр числа}

begin

writeln ('число должно быть>0');

readln;

exit;

end

else

{вывод мн-ва делителей}

begin

write ('мн-во делителей: D (num) =');

for H: = 1 to c do

if c mod H=0 then

write (H,' ');

end;

{конец вывода делителей}

n: = 1;

n1: = 0;

while c <> 1 do

begin

i: = 2;

while c mod i <> 0 do {проверка на делимостьс/без остатка}

Inc (i);

Inc (n1);

if n1 = 1 then

begin

numb [n]: = i;

powers [n]: = 1;

end

else

if numb [n] = i then Inc (powers [n])

else

begin

Inc (n); {увеличение кол-ва простых множителей}

numb [n]: = i;

powers [n]: = 1;

end; {while}

c: = c div i; {деление числа на простой множитель}

end; {while}

{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}

writeln;

writeln ('кол-во простых множителей: ',n);

write ('num = ');

k: =1;

t: =1;

writeln ('НОД=',k);

if k=1 then writeln ('числа взаимно простые');

end;

begin

i: =1; while (b [i] <>0) and (i<=n) do inc (i);

if i<>n+1 then writeln ('НОК не сущ-ет')

else begin

d: =1;

for i: =2 to maxa do

begin

maxj: =0;

for l: =1 to n do

begin

j: =0;

while (b [l] mod i=0) do

begin

b [l]: =b [l] div i;

inc (j);

end;

if (j>maxj) then maxj: =j;

end;

if (maxj<>0) then for l: =1 to maxj do d: =d*i;

end;

writeln ('НОК=',d);

end;

end;

end;

writeln ('Повторить? (Y/N) ');

q: =ReadKey;

until q in ['N','n'] ;

clrscr;

end; {NodNok}

{----------------------------------------}

procedure SuperGorner;

type

vector= array [1. .11] of integer;

rvector=array [1. .100] of real;

var

sum,suma: real;

i,k,j,b,c,a,n: integer;

vec: vector;

vecb: rvector;

veca: rvector;

q: char;

BEGIN

Writeln ('Введите степень уравнения (max = 10) ');

Readln (n);

if n<=0 then writeln (‘степень не может быть<=0’)

else begin

Inc (n);

writeln ('введите его коэффициенты: ');

for i: = 1 to n do

read (vec [i]);

while vec [i] =0 do

Begin

i: =i-1;

writeln ('ответ: 0');

End;

k: =1;

b: =vec [i] ;

for j: =1 to abs (b) do

begin

if (b mod j) =0 then

begin

vecb [k]: =j;

k: =k+1;

procedure AntiExp;

var s: array [1. .100] of integer;

a,b, i,n,t: integer;

q: char;

begin

repeat

writeln ('введите кол-во эл-ов цепной дроби=');

read (n);

if n<=0 then writeln (‘кол-во эл-ов не может быть<=0’)

else begin

writeln ('введите значения этих эл-ов=');

for i: =1 to n do

read (s [i]);

a: =1; b: =s [n] ;

for i: = n downto 2 do

begin

t: =s [i-1] *b+a;

a: =b;

b: =t;

end;

writeln;

writeln (b,'/',a);

end;

writeln ('Повторить? (Y/N) ');

q: =ReadKey;

until q in ['N','n'] ;

clrscr;

end; {AntiExp}

{----------------------------------------}

var

k: integer;

q: char;

begin

writeln ('Дискретная математика');

writeln ('Курсовая работа, группа 03-119, каф308');

writeln ('выполнил: Тузов И.И. ');

writeln ('руководитель: Гридин А.Н. ');

writeln;

writeln ('Калькулятор с функциями, описанными ниже');

writeln;

Writeln ('Нажмите Enter');

readln;

clrscr;

repeat

writeln ('Какую выполнить операцию? ');

writeln;

writeln ('1-вычисление мн-ва N-значных чисел с заданным делителем и остатком ');

writeln ('2-факторизация числа');

writeln ('3-нахождение НОД и НОК чисел');

writeln ('4-нахождение рационльных корней уравнения с целочисл коэфф');

writeln ('5-перевод рациональной дроби в цепную');

writeln ('6-перевод цепной дроби в рациональную');

read (k);

делителя и остатка на отриц-сть}

begin

write ('делитель или остаток не могут быть<0 ');

end

else

begin

if i>k then {проверка на делитель>остатка}

begin

write ('введите размерность=');

readln (R);

if R<=0 then

begin

writeln ('некорректная размерность ');

readln;

end

else begin

if R=1 then

begin a: =1; b: =9; end

else begin

a: =pow (10, (R-1)); {инициализация верх и нижн границ}

b: =pow (10,R);

b: =b-1;

end;

end;

if b<i then {проверка на делимое>делителя}

writeln ('делиоме не может быть < делителя ')

else

begin

SUM: =0; {обнуление сумы кол-ва эл-ов}

for D: = a to b do

begin

if (D mod i) =k then {проверка эл-ов на условие}

begin

SUM: =SUM+1;

end;

end;

writeln;

writeln ('кол-во эл-ов с делителем=', i: 3, ' и остатком=', k: 3, ' равно', SUM: 6);

end; {b<i}

end {if i>k}

else

write ('остаток не может быть > делителя ');

end; {if otriz}

{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}

write ('вывести значения на экран? (1-да\0-нет) ');

readln (S);

if S=1 then

if SUM=0 then

writeln ('нет эл-ов, удовл. условию')

else

begin

for D: = a to b do

if (D mod i) =k then

begin

write (' ',D: 4);

{вычисление кол-ва делителей и их мн-ва}

for i: = 1 to n do

begin

write (numb [i], ' ^ ', powers [i]);

k: =k* ( (pow (numb [i],powers [i] +1) — 1) div (numb [i] — 1));

t: =t* (powers [i] +1); {кол-во делителей}

if i <> n then write (' * ');

end;

writeln;

writeln ('кол-во множителей: tau (num) =',t);

writeln ('сумма множителей: sigma (num) =',k);

writeln ('Повторить? (Y/N) ');

q: =ReadKey;

until q in ['N','n'] ;

clrscr;

end; {Factor}

{----------------------------------------}

procedure NodNok;

type TArray=array [1.200] of integer;

var a,b: TArray;

i,l,j,maxa,minj,maxj: longint;

k,d: longint;

n: integer;

q: char;

begin

repeat

clrscr;

writeln ('введите ко-во чисел для нахождения НОД и НОК');

readln (n);

writeln ('введите ',n,' чисел: ');

if n<=0 then writeln (‘кол-во чисел не может быть<=0’)

else begin

readln (a [1]);

b [1]: =a [1] ;

maxa: =a [1] ;

for i: =2 to n do

begin

readln (a [i]);

b [i]: =a [i] ;

if a [i] >maxa then maxa: =a [i] ;

end;

i: =1;

while (a [i] =0) and (i<=n) do inc (i);

if i=n+1 then writeln ('НОД — любое число')

else begin

for j: =1 to n do if a [j] =0 then a [j]: =a [i] ;

k: =1;

for i: =2 to maxa do

begin

minj: =1000;

for l: =1 to n do

begin

j: =0;

while (a [l] mod i=0) do

begin

a [l]: =a [l] div i;

inc (j);

end;

if (j<minj) then minj: =j;

end;

if (minj<>0) then for l: =1 to minj do k: =k*i;

end;

vecb [k]: =-j;

k: =k+1;

end;

end;

a: =1;

for j: =1 to abs (vec [1]) do

begin

if (vec [1] mod j) =0 then

begin

veca [a]: =j;

a: =a+1;

{ veca [a]: =-j;

a: =a+1; }

End;

end;

b: =a;

for j: =1 to k-1 do

Begin

for a: =1 to b-1 do

Begin

Begin

c: =i;

sum: =0;

for i: =1 to c do

Begin

sum: =sum+vec [i] *pow1 (vecb [j] /veca [a],c-i);

if (sum<0.00001) and (sum>-0.00001) then

if vec [a] =1 then writeln ('ответ: ',round (vecb [j]))

else writeln ('ответ: ',round (vecb [j]), '/',round (veca [a]));

end;

End;

End;

End; end;

readln;

end; {SuperGorner}

{----------------------------------------}

procedure Express;

var

a,b,t: integer;

q: char;

begin

repeat

writeln ('введите числитель=');

readln (a);

writeln ('введите знаменатель=');

readln (b);

if b=0 then writeln (‘знаменатель не может быть=0’)

else begin

write (' [');

while (a mod b>0) do

begin

write (a div b,',');

a: =a mod b;

t: =b;

b: =a;

a: =t;

end;

write (a div b, '] ');

end;

writeln (‘Повторить? (Y/N) ');

q: =ReadKey;

until q in ['N','n'] ;

clrscr;

end; {Express}

{----------------------------------------}

case k of

1: DelOstatok;

2: Factor;

3: NodNok;

4: SuperGorner;

5: Express;

6: AntiExp;

else

writeln ('нет операции');

end; {case}

writeln ('Повторить выполнение калькулятора? (Y/N) ');

q: =ReadKey;

until q in ['N','n'] ;

clrscr;

readln;

end. {prog}