Реферат: Характеристики систем автоматического управления


Теорияавтоматического управления

Тема:

«Характеристикисистем автоматического управления»


1.Статические характеристики САУ

Статические характеристики определяютстатику системы, т.е. ее поведение в установившемся режиме.

Статическойхарактеристикой называется отношение выходной величины к входной величине вустановившемся режиме.

Статическиехарактеристики позволяют: определить коэффициент усиления системы; степень еенелинейности; величину статизма; произвести согласование рабочих точек системы.


2.Динамические характеристики САУ

Динамические характеристики определяютдинамику системы, т.е. ее поведение в неустановившемся (переходном) режиме. Приэтом используют следующие основные динамические характеристики:

– передаточнаяфункция;

– временныехарактеристики;

– частотныехарактеристики.

2.1Передаточная функция системы и ее свойства

 

Дифференциальноеуравнение линейной системы имеет вид:

/> (1)

где аiи bi – параметры системы, n-порядок системы.

Если применим теоремы Лапласа при нулевыхначальных условиях, то дифференциальное уравнение в операторной форме запишетсяследующим образом

/> 

где />

Физически нулевые начальные условияобозначают, что до приложения воздействия система находилась в покое.

Передаточнаяфункция системы есть отношение изображения выходной величины к изображениювходной величины при нулевых начальных условиях

/> (2)

 

Основныесвойства передаточной функции:

1.Передаточная функция является полной характеристикой системы.

Она полностьюхарактеризует статические и динамические свойства системы.

2. Статический коэффициент усиления, т.е. коэффициентусиления в установившемся режиме (приt®¥или p®0) равен

/>.

3. Полиномзнаменателя называется характеристическим, а A(p) = 0 называетсяхарактеристическим уравнением. Корни полинома знаменателя называются полюсами,а числителя нулями.

Степеньполинома числителя не превышает степени полинома знаменателя (n³m), в противном случаесистема является физически нереализуемой.

5.Коэффициенты полиномов ai<sub/>и bi<sub/>обусловлены реальными физическими параметрами системы.

6.Передаточная функция может быть задана в виде нулей и полюсов в графическомвиде.


/>

Рис. 1

Например, для приведенного на рис. 1расположения нулей (0) и полюсов (х) передаточная функция имеет вид:

/>.

2.2 Временныехарактеристики САУ

Временнойхарактеристикой системыназываетсязакон изменения выходной величины в функции времени при изменении входноговоздействия по определенному закону и при условии, что до приложениявоздействия система находилась в покое. Временныехарактеристики определяются как реакция системы на типовые воздействияпри нулевых начальных условиях.

К основным временнымхарактеристикам относятся переходная функция и функция веса.

Типовые воздействия. В качестве типовых воздействий приисследовании систем используются:

– единичнаяфункция;

– единичныйимпульс;

– линейно – растущеевоздействие;

– квадратичноевоздействие;

– гармоническоевоздействие;

– «белый шум» (используется при исследовании стохастических систем).

Единичная функция.Единичная функция – воздействие,амплитуда которого равна 0 при t < 0 и равна 1 при t ³ 0.

Свойства единичной функции иединичной функции со сдвигом определяются соотношениями:

/> или /> (3)

а их графическое изображениеимеет вид, приведенный на рис. 2а, б.

/>


а)                                                                                               б)

Рис. 2

При этом изображениеединичного воздействия имеет вид:

/> (4)

 

Единичный импульс.Единичныйимпульс(d – функция) – это идеализированный сигнал, который характеризуетсябесконечно малой длительностью, бесконечно большим уровнем (амплитудой) иплощадью равной единице.

Единичный импульс и импульс сосдвигом описываются соотношениями:

/> или /> (5)

а их графическое изображениеимеет вид, приведенный на рис. 3а, б.

/>


а)                                                                  б)

Рис. 3

При этом изображениеединичного импульса имеет вид

/> (6)

Основные свойства дельта – функции

 

1./> –площадь или интенсивность d –функции;

2. />-фильтрующеесвойство;

3. />;

/> — связь d – функции с единичной функцией;


5. />/>.

Свойства дельта – функциишироко используются в методах исследования САУ.

Линейно-растущее воздействие.Линейно-растущее воздействие – это воздействие с постоянной скоростью изменения сигнала. Такоевоздействие чаще всего используется для определения точности систем и описываетсясоотношением:

/>. (7)

Графическое изображениелинейно – растущего воздействия имеет вид, приведенный на рис. 4а.

При этом,

 

/>. (8)

/> /> /> /> /> /> /> /> /> />

а)                                                                              б)

Рис. 4

 


Квадратичное воздействие. Квадратичноевоздействие – этовоздей-ствие с постоянным ускорением изменения сигнала. Такое воздействие чащевсего используется для определения точности систем и описывается соотношением:

/>. (9)

Графическое изображениеквадратичного воздействия имеет вид, приведенный на рис. 5.

При этом, />. (10)

 

Переходная функция. Переходнаяфункцияh(t) – реакция системы на единичное воздействиепри нулевых начальных условиях.

Пусть задана система (рис. 5)с передаточной функцией K(p)

/>


Рис. 5

В изображениях выходнаявеличина равна />.

Так как />, то изображениевыходной величины равно

/>.


При этом связь междупередаточной и переходной функцией имеет вид:

/>. (11)

Начальное значение переходнойфункции равно нулю, а установившееся значение определяется с помощью теоремы оконечном значении функции

/>. (12)

Весовая функция. Весоваяфункцияk(t) – реакция системы на единичный импульс принулевых начальных условиях.

Пусть задана система (рис. 6)с передаточной функцией K(p)

/>


Рис. 6

В изображениях выходнаявеличина равна />, а в оригиналахопределяется с помощью интеграла свертки

/>. (13)

Так как />, то />.

При этом связь междупередаточной и весовой функцией имеет вид:


/>, (14)

т.е. весовая функцияпредставляет оригинал передаточной функции.

Установившееся значениевесовой функции определяется с помощью теоремы о конечном значении функции

/>. (15)

Связь между переходной ивесовой функцией имеет вид:

/>. (16)

 

Методы определениявременных характеристик

Существуют различные методырасчета переходных процессов, при этом наиболее часто используются следующиеметоды:

1. Классический метод.

2. Операторный метод,использующий разложение на простые дроби.

3. Операторный метод,использующий вычеты.

Метод аналогового и цифровогомоделирования.

5. Метод трапеций.

Рассмотрим некоторые методыопределения временных характеристик на конкретных примерах.

Классический метод расчетавременных характеристик

Классический метод расчетавременных характеристик основан на решении дифференциальных уравнений.

Пример 1. Пусть дана передаточная функция: />

/>


Определить: переходную функцию– h(t) и функцию веса – k(t).

 

Решение

1. Запишем дифференциальноеуравнение в соответствии с заданной передаточной функцией

/>

При единичном воздействии, т.е.x(t)=1(t) дифференциальное уравнение имеет вид

/>.

2. Общее решение неоднородногодифференциального уравнения состоит из свободной и вынужденной составляющей

/>.

3. Переходная функция можетбыть определена из соотношения

/>

При нулевых начальных условиях


/>

При этом выражения для переходнойфункции и функции веса имеют вид:

/>

Метод разложение на простыедроби

Рассмотрим алгоритмиспользования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданнойсистемы.

Исходную передаточную функциюможно представить в виде:

/>

/>Значения параметров А и В находим методомнеопределенных коэффициентов

/>

Функция веса равна: />

Определим переходную функцию.

Изображение переходной функцииможно представить в виде:


/>

Значения параметров А, В и Снаходим методом неопределенных коэффициентов.

/>

Переходная функция равна: />

 

Определение временныххарактеристик с использованием вычетов

Рассмотрим алгоритмиспользования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданнойвыше системы. В соответствии с теоремой разложения:

если

/> где />,

то

/>.


Таким образом, используятеорему Коши о вычетах, оригинал можно определить как сумму вычетов по полюсамподынтегральной функции.

Рассмотрим изображениепереходной функции:

/>

Запишем характеристическоеуравнение, определим значения полюсов их количество и кратность

/>

При этом переходную функциюопределяем, используя вычеты по полюсам подынтегральной функции

/>

Функция веса определяеманалогично, либо через производную от переходной функции

/>


2.3 Частотныехарактеристики САУ

Частотные характеристики определяются, какреакция системы на гармоническое типовое воздействие при нулевых начальныхусловиях.

Пусть заданасистема (рис. 7) с передаточной функцией K(p).

/>


Рис. 7

При подаче на вход системы гармоническоговоздействия

/>, (17)

на выходеполучим /> (18)

Если использовать формулы Эйлера, этисоотношения можно представить в комплексном виде:

/> (19)

Есливыполнить подстановку p = jwв передаточной функциисистемы, то получим комплексную передаточную функцию


/> (20)

При изменении частоты 0£w£+¥ получим следующие частотные характеристики:

/>АФХ – амплитудно-фазоваячастотная характеристика;

/> ВЧХ – вещественнаячастотная характеристика;

/> МЧХ – мнимая частотнаяхарактеристика;

/> АЧХ – амплитудно-частотнаяхарактеристика;

/> ФЧХ – фазовая частотнаяхарактеристика.

Частотныехарактеристики могут быть выражены через коэффициенты полиномов передаточнойфункции

/> (21)

Графическихарактеристики можно представить в виде рис. 8а.

Связь междувременными и частотными характеристиками.

Рассмотримсвязь между частотными характеристиками и переходной функцией системы (рис. 8б).


/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />

а)                                                                                  б)

Рис. 8

Для выходной величины можно записать/>.

Используя преобразованиеФурье, получим выражение для переходной функции

/> (22)

Подставив этивыражения в формулу для h(t) и выполнив преобразования, получим связьмежду переходной функцией и ВЧХ:

/> (23)


Логарифмическиечастотные характеристики САУ

Исследованиесистем существенно упрощается при использовании не обычных, а логарифмическихчастотных характеристик. При этом натуральная логарифмическая амплитудная ифазовая частотные характеристики определяются из соотношений

/>. (24)

На практикеобычно используют десятичные логарифмы. При этом логарифмическаяамплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в логарифмическом масштабечастот и определяется соотношением

/>.

Единицейизмерения ЛАЧХ является децибел (дБ), 1дБ = 1/10 [Бел].

Так как 1 Белсоответствует увеличению мощности в 10 раз, то

/> (25)

Амплитудасигнала откладывается по оси ординат (рис. 9а), при этом ось абсцисссоответствует значению амплитуды равной единице, верхняя полуплоскостьсоответствует усилению сигнала (A > 1), а нижняя – ослаблению (A < 1).

Логарифмическаяфазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) строится в логарифмическом масштабечастот, при этом частоты откладываются по оси абсцисс по декадам (рис. 9б).Декада – отрезок, на котором частота увеличивается в десять раз.


/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />

а)                                                                                  б)

Рис. 9

Начало осикоординат, в зависимости от диапазона частот, на котором строитсялогарифмическая характеристика, может быть помещено в любую точку (w = 0,01; w = 0,1; w = 1 и т.д.).

Логарифмическиехарактеристики имеют ряд преимуществ перед обычными частотнымихарактеристиками. Основным преимуществом логарифмических характеристик являетсявозможность оценки влияния отдельных параметров системы без необходимостиповторного проведения расчета.


Литература

 

1.     Автоматизированноепроектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова.– М.: Машиностроение, 1990. -332 с.

2.     Бойко Н.П.,Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.:Тэхника, 1989. –182 с.

3.     В.А. Бесекерский,Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г.– 752 с.

4.     Воронов А.А.,Основы теории автоматического управления, ч. 3, М. – Л., 1970.

5.     Гринченко А.Г. Теорияавтоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.

6.     Емельянов С.В.,Системы автоматического управления с переменной структурой, М., 1967.

7.     Макаров И.М.,Менский Б.М. Линейные автоматические системы. — М.: Машиностроение,1982.

8.     Справочникпо теории автоматического управления. / Под ред. А.А. Красовского – М.:Наука, 1987. – 712 с.

еще рефераты
Еще работы по информатике, программированию