Реферат: Характеристики систем автоматического управления
Теорияавтоматического управления
Тема:
«Характеристикисистем автоматического управления»
1.Статические характеристики САУ
Статические характеристики определяютстатику системы, т.е. ее поведение в установившемся режиме.
Статическойхарактеристикой называется отношение выходной величины к входной величине вустановившемся режиме.
Статическиехарактеристики позволяют: определить коэффициент усиления системы; степень еенелинейности; величину статизма; произвести согласование рабочих точек системы.
2.Динамические характеристики САУ
Динамические характеристики определяютдинамику системы, т.е. ее поведение в неустановившемся (переходном) режиме. Приэтом используют следующие основные динамические характеристики:
– передаточнаяфункция;
– временныехарактеристики;
– частотныехарактеристики.
2.1Передаточная функция системы и ее свойства
Дифференциальноеуравнение линейной системы имеет вид:
/> (1)
где аiи bi – параметры системы, n-порядок системы.
Если применим теоремы Лапласа при нулевыхначальных условиях, то дифференциальное уравнение в операторной форме запишетсяследующим образом
/>
где />
Физически нулевые начальные условияобозначают, что до приложения воздействия система находилась в покое.
Передаточнаяфункция системы есть отношение изображения выходной величины к изображениювходной величины при нулевых начальных условиях
/> (2)
Основныесвойства передаточной функции:
1.Передаточная функция является полной характеристикой системы.
Она полностьюхарактеризует статические и динамические свойства системы.
2. Статический коэффициент усиления, т.е. коэффициентусиления в установившемся режиме (приt®¥или p®0) равен
/>.
3. Полиномзнаменателя называется характеристическим, а A(p) = 0 называетсяхарактеристическим уравнением. Корни полинома знаменателя называются полюсами,а числителя нулями.
Степеньполинома числителя не превышает степени полинома знаменателя (n³m), в противном случаесистема является физически нереализуемой.
5.Коэффициенты полиномов ai<sub/>и bi<sub/>обусловлены реальными физическими параметрами системы.
6.Передаточная функция может быть задана в виде нулей и полюсов в графическомвиде.
/>
Рис. 1
Например, для приведенного на рис. 1расположения нулей (0) и полюсов (х) передаточная функция имеет вид:
/>.
2.2 Временныехарактеристики САУ
Временнойхарактеристикой системыназываетсязакон изменения выходной величины в функции времени при изменении входноговоздействия по определенному закону и при условии, что до приложениявоздействия система находилась в покое. Временныехарактеристики определяются как реакция системы на типовые воздействияпри нулевых начальных условиях.
К основным временнымхарактеристикам относятся переходная функция и функция веса.
Типовые воздействия. В качестве типовых воздействий приисследовании систем используются:
– единичнаяфункция;
– единичныйимпульс;
– линейно – растущеевоздействие;
– квадратичноевоздействие;
– гармоническоевоздействие;
– «белый шум» (используется при исследовании стохастических систем).
Единичная функция.Единичная функция – воздействие,амплитуда которого равна 0 при t < 0 и равна 1 при t ³ 0.
Свойства единичной функции иединичной функции со сдвигом определяются соотношениями:
/> или /> (3)
а их графическое изображениеимеет вид, приведенный на рис. 2а, б.
/>
а) б)
Рис. 2
При этом изображениеединичного воздействия имеет вид:
/> (4)
Единичный импульс.Единичныйимпульс(d – функция) – это идеализированный сигнал, который характеризуетсябесконечно малой длительностью, бесконечно большим уровнем (амплитудой) иплощадью равной единице.
Единичный импульс и импульс сосдвигом описываются соотношениями:
/> или /> (5)
а их графическое изображениеимеет вид, приведенный на рис. 3а, б.
/>
а) б)
Рис. 3
При этом изображениеединичного импульса имеет вид
/> (6)
Основные свойства дельта – функции
1./> –площадь или интенсивность d –функции;
2. />-фильтрующеесвойство;
3. />;
/> — связь d – функции с единичной функцией;
5. />/>.
Свойства дельта – функциишироко используются в методах исследования САУ.
Линейно-растущее воздействие.Линейно-растущее воздействие – это воздействие с постоянной скоростью изменения сигнала. Такоевоздействие чаще всего используется для определения точности систем и описываетсясоотношением:
/>. (7)
Графическое изображениелинейно – растущего воздействия имеет вид, приведенный на рис. 4а.
При этом,
/>. (8)
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />а) б)
Рис. 4
Квадратичное воздействие. Квадратичноевоздействие – этовоздей-ствие с постоянным ускорением изменения сигнала. Такое воздействие чащевсего используется для определения точности систем и описывается соотношением:
/>. (9)
Графическое изображениеквадратичного воздействия имеет вид, приведенный на рис. 5.
При этом, />. (10)
Переходная функция. Переходнаяфункцияh(t) – реакция системы на единичное воздействиепри нулевых начальных условиях.
Пусть задана система (рис. 5)с передаточной функцией K(p)
/>
Рис. 5
В изображениях выходнаявеличина равна />.
Так как />, то изображениевыходной величины равно
/>.
При этом связь междупередаточной и переходной функцией имеет вид:
/>. (11)
Начальное значение переходнойфункции равно нулю, а установившееся значение определяется с помощью теоремы оконечном значении функции
/>. (12)
Весовая функция. Весоваяфункцияk(t) – реакция системы на единичный импульс принулевых начальных условиях.
Пусть задана система (рис. 6)с передаточной функцией K(p)
/>
Рис. 6
В изображениях выходнаявеличина равна />, а в оригиналахопределяется с помощью интеграла свертки
/>. (13)
Так как />, то />.
При этом связь междупередаточной и весовой функцией имеет вид:
/>, (14)
т.е. весовая функцияпредставляет оригинал передаточной функции.
Установившееся значениевесовой функции определяется с помощью теоремы о конечном значении функции
/>. (15)
Связь между переходной ивесовой функцией имеет вид:
/>. (16)
Методы определениявременных характеристик
Существуют различные методырасчета переходных процессов, при этом наиболее часто используются следующиеметоды:
1. Классический метод.
2. Операторный метод,использующий разложение на простые дроби.
3. Операторный метод,использующий вычеты.
Метод аналогового и цифровогомоделирования.
5. Метод трапеций.
Рассмотрим некоторые методыопределения временных характеристик на конкретных примерах.
Классический метод расчетавременных характеристик
Классический метод расчетавременных характеристик основан на решении дифференциальных уравнений.
Пример 1. Пусть дана передаточная функция: />
/>
Определить: переходную функцию– h(t) и функцию веса – k(t).
Решение
1. Запишем дифференциальноеуравнение в соответствии с заданной передаточной функцией
/>
При единичном воздействии, т.е.x(t)=1(t) дифференциальное уравнение имеет вид
/>.
2. Общее решение неоднородногодифференциального уравнения состоит из свободной и вынужденной составляющей
/>.
3. Переходная функция можетбыть определена из соотношения
/>
При нулевых начальных условиях
/>
При этом выражения для переходнойфункции и функции веса имеют вид:
/>
Метод разложение на простыедроби
Рассмотрим алгоритмиспользования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданнойсистемы.
Исходную передаточную функциюможно представить в виде:
/>
/>Значения параметров А и В находим методомнеопределенных коэффициентов
/>
Функция веса равна: />
Определим переходную функцию.
Изображение переходной функцииможно представить в виде:
/>
Значения параметров А, В и Снаходим методом неопределенных коэффициентов.
/>
Переходная функция равна: />
Определение временныххарактеристик с использованием вычетов
Рассмотрим алгоритмиспользования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданнойвыше системы. В соответствии с теоремой разложения:
если
/> где />,
то
/>.
Таким образом, используятеорему Коши о вычетах, оригинал можно определить как сумму вычетов по полюсамподынтегральной функции.
Рассмотрим изображениепереходной функции:
/>
Запишем характеристическоеуравнение, определим значения полюсов их количество и кратность
/>
При этом переходную функциюопределяем, используя вычеты по полюсам подынтегральной функции
/>
Функция веса определяеманалогично, либо через производную от переходной функции
/>
2.3 Частотныехарактеристики САУ
Частотные характеристики определяются, какреакция системы на гармоническое типовое воздействие при нулевых начальныхусловиях.
Пусть заданасистема (рис. 7) с передаточной функцией K(p).
/>
Рис. 7
При подаче на вход системы гармоническоговоздействия
/>, (17)
на выходеполучим /> (18)
Если использовать формулы Эйлера, этисоотношения можно представить в комплексном виде:
/> (19)
Есливыполнить подстановку p = jwв передаточной функциисистемы, то получим комплексную передаточную функцию
/> (20)
При изменении частоты 0£w£+¥ получим следующие частотные характеристики:/>АФХ – амплитудно-фазоваячастотная характеристика;
/> ВЧХ – вещественнаячастотная характеристика;
/> МЧХ – мнимая частотнаяхарактеристика;
/> АЧХ – амплитудно-частотнаяхарактеристика;
/> ФЧХ – фазовая частотнаяхарактеристика.
Частотныехарактеристики могут быть выражены через коэффициенты полиномов передаточнойфункции
/> (21)
Графическихарактеристики можно представить в виде рис. 8а.
Связь междувременными и частотными характеристиками.Рассмотримсвязь между частотными характеристиками и переходной функцией системы (рис. 8б).
/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />
а) б)
Рис. 8
Для выходной величины можно записать/>.Используя преобразованиеФурье, получим выражение для переходной функции
/> (22)
Подставив этивыражения в формулу для h(t) и выполнив преобразования, получим связьмежду переходной функцией и ВЧХ:
/> (23)
Логарифмическиечастотные характеристики САУ
Исследованиесистем существенно упрощается при использовании не обычных, а логарифмическихчастотных характеристик. При этом натуральная логарифмическая амплитудная ифазовая частотные характеристики определяются из соотношений
/>. (24)
На практикеобычно используют десятичные логарифмы. При этом логарифмическаяамплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в логарифмическом масштабечастот и определяется соотношением
/>.
Единицейизмерения ЛАЧХ является децибел (дБ), 1дБ = 1/10 [Бел].
Так как 1 Белсоответствует увеличению мощности в 10 раз, то
/> (25)
Амплитудасигнала откладывается по оси ординат (рис. 9а), при этом ось абсцисссоответствует значению амплитуды равной единице, верхняя полуплоскостьсоответствует усилению сигнала (A > 1), а нижняя – ослаблению (A < 1).
Логарифмическаяфазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) строится в логарифмическом масштабечастот, при этом частоты откладываются по оси абсцисс по декадам (рис. 9б).Декада – отрезок, на котором частота увеличивается в десять раз.
/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />
а) б)
Рис. 9Начало осикоординат, в зависимости от диапазона частот, на котором строитсялогарифмическая характеристика, может быть помещено в любую точку (w = 0,01; w = 0,1; w = 1 и т.д.).
Логарифмическиехарактеристики имеют ряд преимуществ перед обычными частотнымихарактеристиками. Основным преимуществом логарифмических характеристик являетсявозможность оценки влияния отдельных параметров системы без необходимостиповторного проведения расчета.
Литература
1. Автоматизированноепроектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова.– М.: Машиностроение, 1990. -332 с.
2. Бойко Н.П.,Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.:Тэхника, 1989. –182 с.
3. В.А. Бесекерский,Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г.– 752 с.
4. Воронов А.А.,Основы теории автоматического управления, ч. 3, М. – Л., 1970.
5. Гринченко А.Г. Теорияавтоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.
6. Емельянов С.В.,Системы автоматического управления с переменной структурой, М., 1967.
7. Макаров И.М.,Менский Б.М. Линейные автоматические системы. — М.: Машиностроение,1982.
8. Справочникпо теории автоматического управления. / Под ред. А.А. Красовского – М.:Наука, 1987. – 712 с.