Реферат: Система счисления
Содержание
Что такоесистема счисления?
Какпорождаются целые числа в позиционных системах счисления?
Почему людипользуются десятичной системой, а компьютеры —двоичной?
Почему вкомпьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системысчисления?
Перевод чиселиз одной системы счисления в другую
Сложение вразличных системах счисления
Вычитание вразличных системах счисления
Умножение вразличных системах счисления
Деление вразличных системах счисления
Что такое система счисления?Система счисления— это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.
Существуют позиционные инепозиционные системы счисления.
В непозиционныхсистемах счислениявес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит отее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII(тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системахсчисления вес каждойцифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательностицифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа757,7 означает сокращенную запись выражения:
/>
Любая позиционная системасчисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционнойсистемы счисления —количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системесчисления.
За основание системыможно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно,возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная,четверичная и т.д.
Как порождаются целые числа в позиционных системахсчисления?В каждой системесчисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2больше 1 и т.д.
Продвижением цифры называют замену еёследующей по величине.
Продвинуть цифру 1 значитзаменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижениестаршей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0.В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.
Для образования целогочисла, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правуюцифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужнопродвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило,запишем первые десять целых чисел
· в двоичнойсистеме: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
· в троичнойсистеме: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
· в пятеричнойсистеме: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
· в восьмеричнойсистеме: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Кроме десятичной широкоиспользуются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
Двоичная система Четверичная система Восьмеричная система Десятичная система Шестнадцатиричная система 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 11 3 3 3 3 100 10 4 4 4 101 11 5 5 5 110 12 6 6 6 111 13 7 7 7 1000 20 10 8 8 1001 21 11 9 9 1010 22 12 10 A 1011 23 13 11 B 1100 30 14 12 C 1101 31 15 13 D 1110 32 16 14 E 1111 33 17 15 F 10000 40 20 16 10 Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры —двоичной?Люди предпочитаютдесятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам,а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде людипользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое времяпользовались пятеричной системой счисления. />
А компьютеры используютдвоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другимисистемами:
· для ее реализациинужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток —нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — какв десятичной;
· представлениеинформации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
· возможно применениеаппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразованийинформации;
· двоичнаяарифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичнойсистемы — быстрыйрост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричнаясистемы счисления?
Двоичная система, удобнаядля компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычнойзаписи.
Перевод чисел издесятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобыпрофессионально использовать компьютер, следует научиться понимать словомашины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системахчитаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три(восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем вдвоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертаястепени числа 2).
Перевод чисел из одной системы счисления в другуюКоличество pразличных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системысчисления и называется основанием системы счисления – "p".Любое число N в позиционной системе счисления с основанием pможет быть представлено в виде полинома от основания p:
N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ... (1.1)
здесь N –число, aj – коэффициенты (цифры числа), p– основание системы счисления (p>1). Принятопредставлять числа в виде последовательности цифр:
N = anan-1 ... a1a . a-1a-2 ...
Перевод чисел вдесятичную системуосуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см.формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значениесуммы.
/>
/>
/>
Перевод целыхдесятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делениемдесятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до техпор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системезаписывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Пример: Переведем число 75 из десятичнойсистемы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
/>
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Перевод правильныхдробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичнойдроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание тойсистемы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части.Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная спервого.
Пример. Переведем число 0,36 из десятичнойсистемы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
/>
Для переводанеправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целуючасть и отдельно дробную. Перевести 23.12510/>2 с.с.
1. Переведем целую часть: 2. Переведем дробную часть: 3. Таким образом:/>
/>
2310 = 101112;
0.12510 = 0.0012.
Результат:
23.12510 = 10111.0012.
Системы счисленияназываются кратными, если выполняется соотношение: S = RN,где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).
Для перевода числа изсистемы счисления Rв кратную ей систему счисления Sпоступают следующим образом: двигаясь от точки влево ивправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайниелевую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системысчисления S.
Таблица
Перевести 1101111001.11012/>«8» с.с.
Перевести 11111111011.1001112/>«16» с.c.
/>
/>
Для перевода числа изсистемы счисления Sв кратную ей систему счисления Rдостаточно заменить каждую цифру этого числасоответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512)и младших (15,124000) разрядах.
Перевести 305.48/>«2» с.с.
Перевести 7B2.E16/>«2» с.с.
/>
/>
Если требуется выполнитьперевод из системы счисления Sв R, при условии что они не являются кратными,тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = KN и R= KN.
Перевести 175.248/>«16»с.с.
/>
Результат: 175.248 = 7D.516.
Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следуетвыполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную системусчисления.
Для всего этогопримеры
Перевод восьмеричных ишестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменитьэквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
Например:
/>
Чтобы перевести числоиз двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо отзапятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (дляшестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующейвосьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:
/>
/> Сложение в различных системах счисленияТаблицы сложения легкосоставить, используя Правило Счета.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вычитание в различных системах счисления
/>
Умножение в различных системах счисленияВыполняя умножениемногозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можноиспользовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этомрезультаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать изсоответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
/>
/>
/>
Деление в различных системахсчисленияДеление в любойпозиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и делениеуглом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особеннопросто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
/>