Реферат: Анализ линейных стационарных объектов

Анализ стационарных и динамических объектов

 

1.Задание на контрольную работу

 

 Анализ линейныхстационарных объектов

 

Цель работы: исследовать параметры линейных стационарных  объектов, описываемых системамилинейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства матричнойалгебры и специальные функции системы математических расчетов  MathCAD.

 

Последовательностьвыполнения работы

 

1.               Согласнономеру варианта (две последние цифры номера зачетной книжки) выбрать изтабл.1.1. значения параметров для  линейного объекта.             

2.               По формулам

                               в1і=в1+h(і-1);

                              в2і= в2+h(і-1);

для   і=1,….5  определить значения коэффициентов, определяющихвыходные значения объекта  для пяти рассматриваемых случаев.

 3. Составить иотладить программу решения системы линейных уравнений   согласно Приложению 1.1и для полученных в пункте 2 значений выхода найти пять наборов значений входныхпеременных  х1их2.

 4.По результатам просчета на ПЭВМ построить таблицы значений входа (х1их2) при заданных значениях выхода (в1ив2).

 5. Построить графики изменениязначений х1их2  взависимости от значений

      в1ив2.

 

Номер

варианта

Задание

Коэффициенты системы уравнений

/>

   a11         a12              a21               a22          b1         b2                         h

5 2 1 1 2 3 2 0,1

 

2.Пояснительная записка

 

1)    Выбраливариант №5.

2)    Выполняемпункт №2.

Запускаемпрограмму “Mathcadv11.0a”.

Сохраняем созданныйпрограммой файл под именем 5_1zad_i1.mcd(File->SaveAs…), в котором будем создаватьлистинг программы для выполнения 1 задания, где i=1.

По формулам

                               в1і=в1+h(і-1);

                               в2і=в2+h(і-1);

для   і=1  определяем значения коэффициентов, определяющеговыходные значения объекта  для первого рассматриваемого случая.

/>

/>

3)    Выполняемпункт №3.

Чтобызадать расположение элемента (выражения, объекта) в нужном месте рабочейобласти программы с помощью манипулятора (мышь) задаёте нужное положениекурсора, который выглядит красным крестиком (смотрите п. 2 рис. 1). После чегоначинаете ввод информации с клавиатуры или (и) пользуетесь визуальным выбором спомощью мыши команд в главном меню программы.

Ориентируясь на образец(Приложение 1.1)  начинаем с клавиатуры вводитьнеобходимые выражения, а также пользуясь манипулятором (мышь) для визуальноговыбора команд в нашей программе “Mathcadv11.0a”.

Чтобы ввести нижниеиндексы в выражении

/>

надо нажать пиктограмму4 (см. рис. 1) и после в появившемся окне

/>

выбрать указанныйэлемент.

Чтобы ввести символ“=”, например, в выражении

/>

надо нажать пиктограмму7 (см. рис. 1) и после в окне

/>

выбрать указанныйэлемент.

Чтобы ввести выражениес матрицей, например, в выражении

/>

надо нажать пиктограмму4 (см. рис. 1) и после в окне

/>

выбрать указанныйэлемент.

Выражение

/>

— это матричная форма записи решения нашей системы линейных уравнений, где

/>

этообратная матрица для матрицы А.

Чтобыввести символы, текст выше буквы А надо нажать пиктограмму 4 (см. рис. 1) ипосле в окне

/>

выбрать указанныйэлемент.

То, что мы набрали(листинг программы) в рабочей области программы для i=1и сохранили в файле 5_1zad_i1.mcdможно просмотреть в файле 5_1zad_i1.rtf.

Аналогично, проводимрасчеты для других значениё переменной i.

Для этого создаём копиифайлов с разными именами, которые по содержанию отличаются лишь числовымизначениями параметров b1и b2.

То, что мы набрали врабочей области программы для i=2и сохранили в файле 5_1zad_i2.mcdможно просмотреть в файле 5_1zad_i2.rtf.

То, что мы набрали врабочей области программы для i=3и сохранили в файле 5_1zad_i3.mcdможно просмотреть в файле 5_1zad_i3.rtf.

То, что мы набрали врабочей области программы для i=4и сохранили в файле 5_1zad_i4.mcdможно просмотреть в файле 5_1zad_i4.rtf.

То, что мы набрали врабочей области программы для i=5и сохранили в файле 5_1zad_i5.mcdможно просмотреть в файле 5_1zad_i5.rtf.

При изменениисодержания листинга программа автоматически пересчитывает все промежуточныерезультаты и ответ. Чтобы задать пересчёт всех формул на странице листингавыбираем команду в программе (Tools->Calculate->Calculate Worksheet).

4)    Выполняемпункты №4 и №5.

В файле 5_1zad_tabl_graf.mcdсоздаём таблицу и графики (смотрите файл 5_1zad_tabl_graf.rtf).

Чтобы вставить таблицунадо нажать пиктограмму 15 (см. рис. 1). Задаём таблице имя А, вводим в неёполученные данные. Чтобы по таблице построить графики создаём таблицу (В)только с числовыми данными (без первой строки в таблице А).

         В выражении

/>

цифра в угловыхскобках означает массив даннях 2-го столбца таблицы (В).

Чтобы создатьобласть для отображения графиков нажимаем пиктограмму 3 (см. Рис. 1).

Слева вводимимена зависимых переменных через запятую, а снизу вводим независимуюпеременную. Также предусмотрено задание числового интервала по осям ОХ и OYдля отображения графиков.

Вывод: из полученныхрезультатов видим, что вышеупомянутые зависимости линейны, так как графическимы получили прямые линии.


Задание на контрольную работу

по дисциплине “Основы системного анализа объектов ипроцессов компьютеризации ”

Анализ стационарных и динамических объектов

 

Этапы выполнения работы

изучить теоретические положения,раскрывающие структуру линейных и нелинейных стационарных и динамическихобъектов, математическое описание и решение задачи анализа такого родаобъектов;

выполнить индивидуальное заданиесогласно предусмотренной последовательности выполнения работы;

оформить описание контрольнойработы.

Перечень документов,входящих в контрольную работу

1. Задание на контрольную работу

2. Пояснительная записка

3. Приложения

Содержаниепояснительной записки

Структуры исследуемых стационарныхлинейного, нелинейного и динамического объектов, их свойства, параметры иматематическое описание. Решение задачи анализа объектов. Методы и алгоритмырешения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, обыкновенныхдифференциальных уравнений и систем уравнений. Описания программ решения всистеме MathCAD. Выводы.

Примечание:объем пояснительной записки должен быть не менее 15 стр.

Состав приложений

Приложение 1. Листинг программырешения задачи анализа стационарного линейного объекта с графиками икомментариями, поясняющими использование в программе констант, переменных,массивов, векторов, матриц, функций и т.д.

Приложение 2. Листинг программырешения задачи анализа стационарного нелинейного объекта с графиками икомментариями, поясняющими использование в программе констант, переменных,массивов, векторов, матриц, функций и т.д.

Приложение 3. Листинг программырешения задачи анализа динамического объекта с графиками и комментариями,поясняющими использование в программе констант, переменных, массивов, векторов,матриц, функций и т.д.

1. Анализ линейных стационарных объектов

 

Цель работы:исследовать параметры линейных стационарных объектов, описываемых системамилинейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства матричнойалгебры и специальные функции системы математических расчетов MathCAD.

Содержание работы:

1) изучить теоретические положения(раздел 1.1), раскрывающие структуру линейных объектов, их математическоеописание и решение задачи анализа такого рода объектов;

2) выполнить индивидуальное заданиесогласно предусмотренной в разд.1.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание раздела поконтрольной работе согласно требованиям задания.

1.1. Краткие теоретические сведения

 

1.1.1. Иерархические уровни описанияобъектов

Описания технических объектовдолжны быть по сложности согласованы с возможностями восприятия человеком ивозможностями оперирования описаниями в процессе их преобразования с помощьюимеющихся средств проектирования. Однако выполнить это требование в рамкахнекоторого единого описания, не разделяя его на некоторые составные части,удается лишь для простых изделий. Как правило, требуется структурированиеописаний и соответствующее разделение представлений о проектируемых объектах наиерархические уровни и аспекты.

 Разделение описаний по степенидетализации отображаемых свойств и характеристик объекта лежит в основе блочно-иерархическогоподхода к проектированию и приводит к появлению иерархических уровней впредставлениях о проектируемом объекте.

 На каждом иерархическом уровнеиспользуются свои понятия системы и элементов.

На уровне 1 (верхнем уровне)подлежащий проектированию сложный объект S рассматривается как система S из nвзаимосвязанных и взаимодействующих элементов

Среди свойств объекта, отражаемых вописаниях на определенном иерархическом уровне, различают свойства систем,элементов систем и внешней среды, в которой должен функционировать объект.Количественное выражение этих свойств осуществляется с помощью величин,называемых параметрами. Величины, характеризирующие свойства системы,элементов системы и внешней среды, называют соответственно выходными,внутренними и внешними параметрами. Например, для электронного усилителявыходными параметрами являются полоса пропускания, коэффициент усиления;внутренними параметрами – сопротивления резисторов, емкости конденсаторов,параметры транзисторов; внешними параметрами – сопротивление и емкостьнагрузки, напряжение источников питания.

Обозначим количества выходных Si.Каждый из элементов в описании уровня 1 представляет собой сложный объект,который, в свою очередь, рассматривается как система Si на уровне 2.Элементами систем Si являются объекты Sij, где j=1,2…, mi(mi<sub/>– количество элементов в описании системы Si).Подобное разделение продолжается вплоть до получения на некотором уровнеэлементов, описания которых дальнейшему делению не подлежат. Такие элементы поотношению к объекту S называют базовыми элементами.

 

1.1.2. Классификация параметров объектов

Внутренних и внешних параметров черезm, n, l, а векторы этих параметров соответственно через Y=(y1,y2,…,ym),X=(x1,x2,…,xn), Q=(q1,q2,…,ql).Свойства системы зависят от внутренних и внешних параметров, т.е. имеет местофункциональная зависимость:

Y=F(X,Q).(1.1)

1.1.3. Структура и математическая модель объекта

Структура объекта– это перечень типов элементов, составляющих объект, и способа связи элементовмежду собой в составе объекта.

 Математическая модель (ММ)технического объекта – это система математических объектов (чисел,переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающаянекоторые свойства технического объекта. Наличие ММ позволяет легко оцениватьвыходные параметры по известным значениям векторов X и Q. Такаясистема соотношений (1) является примером математической модели объекта.Однако, существование зависимости (1.1) не означает, что она известнаразработчикам и может быть представлена именно в таком явном относительновектора Y виде. Как правило, ММ в виде (1.1) удается получить только дляочень простых объектов. Типичной является ситуация, когда математическоеописание процессов в проектируемом объекте задается моделью в форме системыуравнений.

Ряд технических объектов вустановившемся (стационарном) состоянии (режиме) может быть описан системамилинейных алгебраических уравнений.

Такого рода объекты (например,объект, показанный на рис 1.1) относятся к классу линейных стационарныхобъектов.

в2

 

х2

 

в1

 

S1

  />

Рис. 1.1. Структура линейного стационарного объекта

Структура данного объектаопределяется двумя сумматорами S1 и S2,четырьмя линейно– усилительными блоками а11<sub/>,а12<sub/>, а21<sub/>,а22<sub/>и системой связей междуними.

Математическая модель такого родаобъекта представляет собой систему линейных алгебраических уравнений и имеетвид:

/> а11х1+а12х2=в1;

 а21х1 +а22х2=в2;

1.1.4. Анализ объектов

Задача анализа объектов состоит вопределении свойств и исследовании работоспособности объекта по его описанию.

При одновариантном анализезадаются значения внутренних и внешних параметров, требуется определитьзначения выходных параметров объекта.

При одновариантном анализе задаетсятакже некоторая точка в пространстве внутренних параметров и требуется в этойточке определить значения выходных параметров. Подобная задача обычно сводитсяк однократному решению уравнений, составляющих математическую модель, что иобусловливает название этого вида анализа.

 Многовариантный анализзаключается в исследовании свойств объекта в некоторой области пространствавнутренних параметров. Такой анализ требует многократного решения системуравнений (многократного выполнения одновариантного анализа).

Задача, ставящаяся при анализе(исследовании) такого рода объектов (рис 1.1), может иметь следующий вид:необходимо определить значения входных воздействий х1их2<sub/>при заданной структуре объекта,определяемой системой связей, и заданных значениях внутренних параметров, прикоторых выход объекта имел бы требуемые выходные значения в1ив2 .

1.1.5. Решение систем линейных алгебраическихуравнений

1.1.5.1. Постановказадачи.Система n линейных алгебраическихуравнений (СЛАУ) с n неизвестными

имеет вид: 

/> /> (1.2)

/> –неизвестные числа, подлежащие определению;

/> – коэффициентысистемы;

/> – свободныечлены.

 Первыйиндекс коэффициента указывает номер уравнения, в котором фигурирует данныйкоэффициент (номер строки), а второй – номер неизвестного, при котором этоткоэффициент поставлен (номер столбца). Коэффициенты системы, как и свободныечлены, предполагаются известными.

 Решением системы (или ее корнями)называется всякая совокупность чисел, />,которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных />,обращает все уравнения системы в тождества. Отметим, что совокупность чисел /> составляетодно решение системы, а не n решений.

В матричной форме система можетбыть записана как

/>/> /> /> />       />      /> (1.3)

или в обобщенной форме:

 /> (1.4)

1.1.5.2. Классификацияметодов решения. На практике применяют два типаметодов:

прямые или точные;

– итерационные.

 Точные –это методы, которые дают решение задачи с помощью конечного числа элементарныхарифметических операций. Число необходимых для решения задач вычислительныхопераций зависит только от вида вычислительной схемы и от порядка матрицы. Кточным методам относится метод Гаусса.

 Решение СЛАУ итерационнымиметодами получается как предел последовательных приближений, вычисляемыхнекоторым единообразным процессом. Число арифметических операций в данном случаезависит от вычислительной схемы, порядка матрицы и от требуемой точности.Примером итерационных методов является метод простой итерации.

 На практике чаще всего применяютсяпрямые методы (метод Гаусса). Однако, при решении на ЭВМ систем высокого порядка(более 200 уравнений в системе), предпочтительными являются итерационныеметоды.

Реализация решения задачи анализалинейного стационарного объекта может быть осуществлена с помощью средствматричной алгебры пакета MathCAD.

1.2. Последовательность выполнения работы

 

1. Согласно номеру варианта (двепоследние цифры номера зачетной книжки) выбрать из табл.1.1. значенияпараметров для линейного объекта.

По формулам

в1і= в1+h(і-1);

в2і= в2+h(і-1);

2. Для і=1,….5определитьзначения коэффициентов, определяющих выходные значения объекта для пятирассматриваемых случаев.

3. Составить и отладить программурешения системы линейных уравнений согласно Приложению 1.1 и для полученных впункте 2 значений выхода найти пять наборов значений входных переменных х1их2.

4. По результатам просчета на ПЭВМпостроить таблицы значений входа (х1их2)при заданных значениях выхода (в1 ив2).

5. Построить графики изменениязначений х1их2<sub/>взависимости от значений в1 ив2.

Таблица 1.1

Номер

варианта

Задания

Коэффициенты системы уравнений

/>

a11 a12 a21 a22 b1 b2 h

1 1 2 3 4 1 2 0,1 2 2 1 4 3 2 1 3 1 1 3 2 3 1 4 3 2 1 1 3 1 5 2 1 1 2 3 2

6

1

2

2

1

2

3

7 4 3 1 2 3 3 8 1 3 3 5 2 2 9 2 3 1 4 1 1 10 2 3 3 2 4 1 11 1 2 2 5 4 3 12 6 3 4 7 4 2 13 1 5 2 3 4 4 14 1 2 3 4 1 4 15 2 3 4 1 2 4 16 3 2 1 4 3 4 17 2 3 1 4 5 1 18 3 1 4 2 5 2 19 1 4 2 3 5 3 20 2 3 2 5 5 4 21 3 2 5 3 4 5 22 4 1 6 2 3 5 23 5 3 4 1 2 5 24 1 4 5 2 1 5 25 1 4 6 2 3 1 26 2 4 5 3 3 2 27 3 4 3 5 1 6 28 3 5 2 1 2 6 29 4 5 1 3 3 6 30 5 4 3 2 6 1

2. Анализ нелинейных стационарных объектов

 

Цель работы:исследовать параметры нелинейных стационарных объектов, описываемых системаминелинейных алгебраических уравнений, используя для их решения средства пакета MathCAD.

Содержание работы:

1) изучить теоретические положения(раздел 2.1), раскрывающие структуру нелинейных стационарных объектов, ихматематическое описание и пример решения систем нелинейных алгебраическихуравнений средствами пакета MathCAD, используемый для анализа такого родаобъектов;

2) выполнить индивидуальное заданиесогласно предусмотренной в разд.2.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание раздела поконтрольной работе согласно требованиям задания.

2.1. Краткие теоретические сведения

 

Структура иматематическая модель объекта

Структурная схема нелинейногостационарного объекта имеет вид:

/> <td/>

S1

   

х2

 

х1

  />

Такой объект представляет собойсистему, которая имеет два входа х1их2<sub/>с<sub/>постоянными значениями в установившемся режиме и двавыхода в1 ив2. Структураобъекта определяется сумматором S1 , умножителем М1,двумя линейно– усилительными блоками а1<sub/>,а2<sub/>и системой связей между ними.

В отличие от линейных стационарныхобъектов нелинейные описываются системами нелинейных алгебраических уравнений.

Математическая модель, соответствующаятакой схеме, имеет вид:

/>а1х1+а2х2=в1;

х1х2=в2

 

2.1.2. Анализ объектов

Исследование такого рода объектовсостоит в определении значений входных воздействий х1 ,х2в зависимости от значений выходов в1<sub/>и<sub/>в2 при заданных параметрах объекта а1<sub/>и<sub/>а2<sub/>.

Реализация решения задачиисследования нелинейного стационарного объекта в такой постановке может бытьосуществлена с помощью средств системы символьной математики MathCAD 7.0 PRO .

2.1.3. Решение нелинейных алгебраических итрансцендентных уравнений

2.1.3.1. Постановказадачи.Пусть дано уравнение

/>, (2.1)

 где функция /> определенаи непрерывна на некотором интервале (А, В). Всякое значение />,обращающее функцию /> в нуль, то естьтакое, при котором />, называетсякорнем уравнения (2.1), а процесс нахождения /> называетсяего решением.

Если функция /> представляетсобой многочлен относительно />, то уравнениеназывается нелинейным алгебраическим (например, />);если в функцию /> входятэлементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.)функции, то такое уравнение называется трансцендентным (например, />).

2.1.3.2. Характеристикаметодов. Методы решения нелинейных алгебраических итрансцендентных уравнений (НАТУ) делятся на прямые и итерационные. Первыепозволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечиваютполучение точного решения. Однако прямые методы имеются только дляограниченного круга уравнений, поэтому на практике более широко используютсяитерационные методы.

В итерационных методах процедурарешения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма.Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодноблизким к точному.

В общем случае задача решается в 2этапа:

определение приближенных значенийкорней уравнения;

уточнение корней до заданной степениточности с помощью одного из итерационных методов.

Для определения приближенныхзначений корней уравнения используются:

1) Построение графика функций /> иприближенное определение точек, где кривая пересекает ось Х.

Запись уравнения /> ввиде /> ипостроение графиков двух функций: /> и/>.Точка их пересечения и есть корень исходного уравнения (5.1).

На втором этапе происходитуточнение корня с использованием критерия окончания итерационного процесса.

Итерационный процесс следуетоканчивать, когда /> < />,т.е. при близости двух последовательных приближений к корню.

Одним из итерационных методов дляуточнения корня является метод Ньютона.

2.1.3.3.МетодНьютона

2.1.3.3.1.Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Приняв в качестве начальногоприближения к корню />некотороезначение /> , восстанавливаем перпендикуляр вточке /> коси Х. В точке пересечения перпендикуляра с графиком функции />,для которой отыскивается нуль, проводим касательную к кривой. Точка пересечениякасательной с осью Х дает новое приближение /> ккорню. После этого процесс повторяем для точки />,получаем точку /> и т.д.

2.1.3.3.2. Получениеформулы Ньютона. Определим рекуррентное соотношение длянахождения корня методом Ньютона.

Уравнение касательной в точке /> можнополучить как уравнение прямой, проходящей через заданную точку /> иимеющей угловой коэффициент />:

/>

 В точке /> пересечениякасательной с осью Х, величина /> равняется нулю:

/>

Отсюда

/>

 В общем случае для вычисленияпоследующего приближения /> к корню поизвестному предыдущему /> формула Ньютонаимеет вид:

/>

 К такому же результату можнопридти, используя разложение в ряд Тейлора:

/>

Члены, содержащие /> вовторой и более высоких степенях, отбрасываются; используется соотношение /> .Предполагается, что переход от /> к /> приближаетзначение функции к нулю так, что /> т.е.точка /> выбираетсятакой, что значение функции в ней равняется нулю:

/>

Полученная точка /> являетсяточкой пересечения касательной в точке /> сосью Х. Поскольку кривая /> отлична отпрямой, то значение функции /> скорее всего небудет в точности равно нулю (это результат отбрасывания членов высшего порядкав ряде Тейлора). Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо /> используется/>.

Одно из преимуществ метода Ньютона– это то, что его можно распространить на решение систем нелинейных уравненийсо многими переменными.

2.1.4. Решение систем нелинейных алгебраических итрансцендентных уравнений

2.1.4.1. Постановказадачи. Система n нелинейных уравнений с n неизвестнымиимеет вид:

/> (2.2)

где /> –неизвестные;

/>– заданныефункции n переменных.

Решением системы НАТУ называетсясовокупность чисел />, которые,будучи поставлены на место неизвестных /> , обращаюткаждое уравнение системы в тождество. Система (2.2) может иметь несколькорешений. Нахождение решения системы уравнений является значительно болеесложной задачей, чем решение одного уравнения. Для систем НАТУ не существуеткаких–либо приемов, используя которые получали бы приближенные значения корней.В некоторых случаях в результате построения графиков с последующим определениемкоординат точек пересечения можно получить приближенные значения корней. Дляуточнения корней всегда применяются итерационные методы, чаще всего методНьютона.

2.1.4.2. Метод Ньютонадля решения систем НАТУ. Представим все n уравнений ввиде рядов Тейлора:

/>(2.3)

Задача сводится к отысканию такойсовокупности приращений />, при которой /> близкик корню, т.е. левые части уравнений (2.3) обращаются в нули. Отбросив членыболее высоких порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) относительно />:

/>(2.4)

Систему линейных уравнений (5.4)можно записать в матричном виде:

/> (2.5),

где матрица коэффициентов (А)состоит из частных производных функций по всем переменным, а вектор свободныхчленов (В) – из функций с противоположным знаком. Матрица в левой части (2.5)называется матрицей Якоби или якобианом.

Найденные из системы (2.5) значения/> используютсякак поправки для получения очередного />–го приближения к решению:

/> (2.6)

Таким образом, для выполнения однойитерации методом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок />.Получив значение вектора поправок /> (/>),получим очередное приближение к корням /> (/>)(2.6) и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки /> небудут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному/>(/>).

Следует обратить внимание на то,что проверку поправок /> на каждом шагеитерации на условие /></> (/>)необходимо выполнять для значений поправок всех корней (/>.

Пример:Найти методом Ньютона решение системы уравнений

/>/>

Решение.Очевидно, />

Для формирования матрицы Якобиполучим частные производные:

/>

Подставив в (2.5) в качестве:матрицы коэффициентов (А) – частные производные функций и вектора свободныхчленов (В) – функции с противоположным знаком, получим запись СЛАУ в виде:

/> (2.7)

Задавшись некоторым начальнымприближением /> (/>)и, подставив его вместо />(/>)в систему (2.7), решим полученную систему линейных уравнений (например,матричным способом />) и получимзначение поправок />. Если поправкине будут достаточно малы (т.е. условие /></> невыполняется), то вычисляется очередное приближение к корням: /> 

С полученным /> затемповторяют те же операции, что и с /> дляполучения /> и, если необходимо, /> ит.д. до тех пор, пока все получаемые поправки /> небудут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения кистинному.

2.2. Последовательность выполнения работы

 

Согласно номеру по списку группывыбрать из табл.2.1 значения параметров для нелинейного объекта. По формулам

в1і= в1–h(і-1);

в2і= в2–h(і-1);

для і=1,2,...5определитьзначения коэффициентов, определяющих выход для пяти рассматриваемых случаев.

2. Составить и отладить программурешения системы нелинейных уравнений согласно Приложению 2.1 и для полученных впункте 1 значений выхода найти пять наборов значений входных переменных х1их2.

3. По результатам просчета на ПЭВМполучить таблицы значений входа (х1их2 )при заданных значениях выхода (в1 ив2).

4. Построить графики изменениязначений х1их2<sub/>взависимости от значений в1 ив2..

Таблица 2.1

Номер

по списку

Задания

Коэффициенты системы уравнений

а1 х1+ а2 х2=в1;

 х1 х2=в2;

 а1 а2 в1 в2 h<sub/>

1 1 2 4 2 0.1 2 2 1 3 1 3 1 2 3 1 4 2 2 4 1

5

 2 1 4 2

6

 1 3 4 1

7 1 1 5 3 8 1 3 5 2

9

 3 3 6 1

10 2 3 7 2 11 3 3 9 2 12 2 2 9 2 13 1 1 9 2 14 1 3 5 2 15 1 1 7 3 16 2 2 7 3 17 2 3 5 1 18 3 1 5 2 19 5 5 10 1 20 6 2 10 2 21 2 2 10 2 22 1 1 10 2 23 1 1 11 2 24 2 2 11 2 25 2 2 11 3 26 2 2 11 4 27 2 2 11 5 28 2 2 11 6 29 2 2 11 7 30 1 1 11 8

3.Анализ динамических объектов

 

Цель работы:исследовать свойства и поведение динамических объектов, описываемых системамиобыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, используя для их решениясредства пакета MathCAD.

Содержание работы:

1) изучить теоретические положения(раздел 3.1), определяющие структуру динамических объектов, их математическоеописание и решение задачи анализа объектов, методы решения обыкновенныхдифференциальных уравнений и систем уравнений;

2) выполнить индивидуальное заданиесогласно предусмотренной в разд.3.2 последовательности выполнения работы;

3) оформить описание контрольнойработы согласно требованиям задания.

3.1. Краткие теоретические положения

 

3.1.1. Структура и математическая модель объекта

В общем случае под динамическими(нестационарными) объектами понимают такие объекты, состояние и поведениекоторых определяется временными характеристиками, т.е. является функциейвремени.

Такого рода объекты могут бытьописаны системами нелинейных дифференциальных уравнений вида /> 

 где /> –функционал, определяющий конкретный вид системы уравнений, которая описываетструктуру объекта; /> – векторпеременных, описывающий выходы объекта; />/>векторпроизводных; /> – вектор внутренних параметровуравнения, определяющий конкретную реализацию объекта при заданной егоструктуре; /> –внешние (входные) воздействия на объект.

Системе уравнений вида:

/>/>
/> 

будет соответствовать структураобъекта, изображенного на рис 3.1.

Структура объекта определяетсяинтеграторами И1и И2,сумматорами S1, S2, S3, иS4, линейно– усилительными блоками а11<sub/>,а12<sub/>,а21<sub/>,а22<sub/>и системой связеймежду ними.

 

/>

Рис 3.1. Структура динамического объекта.

3.1.2. Анализ динамических объектов

Задача анализа динамическихобъектов состоит в исследовании зависимости выходных значений объекта х1(t)и х2(t) как функции времени при заданныхвнешних (входных) воздействиях на объект f1(t) и f2(t) и внутренних параметрах объекта а11<sub/>,а12<sub/>,а21<sub/>,а22.<sub/>

Решение задачи анализа состоит вдинамическом моделировании объекта, который описывается системой обыкновенныхдифференциальных уравнений, и заключается в решении (интегрировании) системыуравнений на интервале времени. Этот интервал времени (от /> –начального до />– конечного) называется интерваломинтегрирования. В большинстве практических случаев /> равнонулю, то есть моделирование начинается в нулевой момент времени. В описаниитакого рода систем переменная /> называетсянезависимой, а все остальные переменные – зависимыми.

3.1.3. Решение обыкновенных дифференциальныхуравнений

Дифференциальными называютсяуравнения, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числанезависимых переменных, и, следовательно, типа входящих в них производных,дифференциальные уравнения делятся на две категории:

обыкновенные дифференциальныеуравнения (ОДУ), содержащие одну независимую переменную и производные по ней;

дифференциальные уравнения вчастных производных (ДУЧП), содержащие несколько независимых переменных ипроизводных по ним, которые называются частными производными.

Для решения дифференциальныхуравнений могут применяться различного рода аналитические и численные методы.Аналитические методы основаны на прямых преобразованиях системы уравнений,приводящих к точному аналитическому решению. Однако такие методы сложны, неуниверсальны с точки зрения системы уравнений и приводят к решениям только всамых простых случаях. Поэтому они малоприемлемы при решении практическихзадач.

В последнее время в связи с бурнымразвитием вычислительной техники широкое применение получили численные методырешения дифференциальных уравнений. В основе этих методов лежит итерационноеповторение однотипных вычислительных операций и поэтому они достаточно простореализуются на ПЭВМ. Эти методы позволяют с заданной точностью находить наинтервале интегрирования требуемое количество точек по времени для всехпеременных, входящих в систему уравнений.

Среди этих методов можно выделитьявные методы (метод Эйлера, метод Рунге–Кутта), простые в реализации.Количество проводимых вычислений для них зависит только от количествапеременных и заданного количества точек определения значений переменных наинтервале интегрирования. Точность вычисления результатов для этих методовзначительно уменьшается при увеличении интервала интегрирования. Лишенной этогонедостатка является группа неявных методов (методы прогноза и коррекции), ноони обычно превосходят явные по количеству вычислений.

3.1.3.1. Численныеметоды решения обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1.3.1.1. Решениезадачи Коши. Дано обыкновенное дифференциальноеуравнение первого порядка

/>

Требуется найти решение /> этогоуравнения, удовлетворяющее начальному условию /> наинтервале />.

Численное решениезадачи Коши состоит в нахождении значений /> вточках /> отрезка />,где />– шаг интегрирования.Число разработанных методов решения задачи Коши очень велико. Можно выделитьдве группы методов:

Одношаговые методы, в которых длянахождения следующей точки на кривой /> требуетсяинформация лишь об одном предыдущем шаге.

Одношаговыми являются метод Эйлераи методы Рунге–Кутта.

2. Многошаговые методы (методыпрогноза и коррекции), в которых для отыскания следующей точки кривой /> требуетсяинформация более чем об одной из предыдущих точек. К числу таких методовотносятся методы Милна, Хемминга, Адамса-Башфорта.

3.1.3.1.2. МетодЭйлера. Метод Эйлера – это простейший метод, позволяющийинтегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Однако на основеэтого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Метод Эйлера основан на разложении /> вряд Тейлора в окрестности />.

Запишем ряд Тейлора:

/>

 При малом /> членамивысоких порядков можно пренебречь. Тогда:

/>

Таким образом, получим значениезависимой переменной /> при маломсмещении /> от начальной точки />.Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

/>

или

/> 

3.1.3.1.3.Модифицированный метод Эйлера (метод Эйлера – Коши). Тангенсугла наклона касательной к кривой /> известенв /> иравен />,но он меняется с изменением независимой переменной, и в точке /> наклонкасательной уже не такой, как в/>, т.е. наинтервале /> вносится погрешность.

Точность метода Эйлера можносущественно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Это можно сделать,использовав среднее значение производной в начале и конце интервала.

В модифицированном методе Эйлерасначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера.

/>,

которое используется дляприближенного вычисления значения производной в конце интервала, т.е.

 />.

Вычислив среднее значениепроизводной между полученным в начале и в конце интервала, найдем более точноезначение /> :

 />

Принцип, на котором основанмодифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Вернемся к разложению вряд Тейлора:

 /> 

Попытаемся сохранить член с />;для этого />аппроксимируем конечной разностью:

 />

Подставив это выражение в рядТейлора, получим:

/>

Это выражение совпадает с ранееполученным.

Данный метод является методомвторого порядка, поскольку в нем используется член ряда Тейлора, содержащий />.

3.1.3.1.4 Метод Рунге –Кутта. Точность одношаговых методов можно повысить, еслиосуществить более точную аппроксимацию производной на интервале />,т.е. использовать члены более высоких порядков в разложении Тейлора.

Чтобы удержать в ряде Тейлора член />–го порядка, необходимо вычислять />–ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного методаЭйлера для получения второй производной в конечно – разностной форме достаточнобыло знать наклоны кривой на концах рассматриваемого интервала. Чтобы вычислитьтретью производную в конечно– разностном виде, необходимо иметь значения второйпроизводной по меньшей мере в двух точках. Для этого необходимо дополнительноопределить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала />,т.е. между /> и /> .Очевидно, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительныхвычислений потребуется внутри интервала.

Метод Рунге-Кутта дает набор формулдля расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации этой цели.

Алгоритм Рунге-Кутта первогопорядка является методом Эйлера.

Алгоритм Рунге-Кутта второго порядкаявляется модифицированным методом Эйлера (методом Эйлера – Коши). Длявычисления /> получаем формулы:

/>

Наиболее распространенный вариантметода – метод четвертого порядка точности. Для вычисления /> получаем формулы:

/>

3.1.3.1.5Автоматический выбор шага. В приведенных выше методах величинашага изменения /> предполагаласьпостоянной. Очевидно, что при интегрировании с малой величиной шага мы будемполучать более точное решение.

Однако, указать заранее приемлемуювеличину шага сложно. Если шаг выбрать большой, то будет недостаточной точностьрезультатов. Если же шаг выбрать очень малый, то это увеличивает число шагов ивремя решения.

Поэтому некоторые программыинтегрирования, применяемые на практике, снабжены процедурой автоматическоговыбора шага. В результате этого на участках плавного изменения интегральнойкривой шаг автоматически увеличивается, а при резких изменениях функции шагуменьшается.

3.1.3.1.6. Общаяхарактеристика одношаговых методов. Чтобы получитьинформацию в новой точке, нужно иметь данные о предыдущей точке.

В основе всех одношаговых методовлежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащиестепени до /> включительно. Целое число /> называютпорядком метода. Погрешность на шаге имеет порядок />.

Все одношаговые методы не требуютдействительного вычисления производных – вычисляется лишь сама функция (праваячасть уравнения). Могут потребоваться значения функции в промежуточных точках,что влечет дополнительные затраты времени.

еще рефераты
Еще работы по информатике, программированию