Реферат: Уравнения Максвелла. Граничные условия

Министерство науки и образования Украины

ДнепропетровскийНациональный Университет

Радиофизический факультет

Кафедра физики СВЧ

Реферат по курсу

электродинамики:

“Система уравненийМаксвелла в сплошной среде. Граничные условия”

Выполнил:

Студент

группы РЭ–01-1 sankoff

/sankoff@ukr.net/

Проверил:

Доцент

Кафедрыоптоэлектроники

физическогоф-та: В.Д. Гладуш

Днепропетровск 2003

СодержаниеУравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме. Граничные условия. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики. Пример. Приложение. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Список используемой литературы.

1. УравненияМаксвелла в дифференциальной и интегральной формах

Система уравнений, состоящая изуравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц,представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления,обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учёта релятивистских иквантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходимо решать совместно взадачах электродинамики. Однако в такой наиболее общей постановке решать задачио взаимодействии электромагнитного поля с веществом чрезвычайно трудно.Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоит из громадногоколичества частиц, движение которых каждой в отдельности невозможно описать. Стакой проблемой сталкиваются в классической механике при попытках описатьмеханическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобы обойти этутрудность физикам приходилось строить определённые модели механических систем:модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды и др. При изучениивзаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем также приходитсявводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых, является модельсплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет оченьважную роль в физике, так как атомы и молекулы представляют собой системызаряженных частиц, которые в целом нейтральны, но могут обладать отличным отнуля дипольным моментом и поэтому создавать электрическое поле.

Открытие тока смещения позволилоМаксвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теорияобъяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала рядновых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основнымследствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн,распространяющихся со скоростью света.

Основу теории образуют уравненияМаксвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль,как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классической электродинамики в сплошнойсреде.

Первую пару уравнений Максвелла образуютуравнения:

<img src="/cache/referats/17407/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> (1)

<img src="/cache/referats/17407/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> (2)

Здесь вектор <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> — вектор напряжённостиэлектрического поля, <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> — вектор индукциимагнитного поля.

Первое из этих уравнений связываетзначение <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> с изменениями вектора <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> во времени и являетсяпо существу выражением закона электромагнитной индукции. Оно показывает, чтоисточником вихревого поля вектора <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> является меняющееся современем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает на отсутствиеисточников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов, как в вакууме, так и в намагниченномвеществе.

Вторую пару уравнений Максвеллаобразуют уравнения:

<img src="/cache/referats/17407/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> (3)

<img src="/cache/referats/17407/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> (4)

Где <img src="/cache/referats/17407/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/17407/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/17407/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/17407/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> — поляризованность, <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> — объёмная плотностьзаряда.

Первое уравнение устанавливает связьмежду токами проводимости и токами смещения, и порождаемым ими магнитным полем.Второе показывает, что источниками вектора <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> служат сторонниезаряды.

Вышеперечисленные уравненияпредставляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можно отметить,что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля — <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> и <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1042"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> и <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

Можно отметить, что вид уравнений (2)и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> и <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1046"><img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> и <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1048"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1049"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1050"><img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> и <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> следует определять,исходя из электрических и магнитных свойств вещества.

Выводя формулу (1), Максвеллпредположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливаетпоявление в пространстве поля <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

Рассмотрим случай электромагнитнойиндукции, когда проволочный контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, аизменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля.Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменения магнитногополя вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока.Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами впроводе; они также не могут быть магнитными силами, потому что такие силы надзарядами работы не совершают. Остаётся заключить, что индукционный токобусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряжённостьэтого поля <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> (это обозначениеявляется вспомогательным так же как и<img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

<img src="/cache/referats/17407/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> (1.1)

Подстановка в формулу <img src="/cache/referats/17407/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> выражения (1.1) для <img src="/cache/referats/17407/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/17407/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> для <img src="/cache/referats/17407/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> приводит к соотношению

(интегралв правой части берётся по произвольной поверхности, опирающейся на контур).Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования повремени и по поверхности можно поменять местами:

<img src="/cache/referats/17407/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> (1.2)

В связи с тем, что вектор <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> зависит, вообщеговоря, как от времени, так и от координат, то можно написать под знакоминтеграла символ частной производной по времени (интеграл <img src="/cache/referats/17407/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> является функциейтолько времени).

Левуючасть равенства (1.2) преобразуем по теореме Стокса. В результате получится:

Ввиду произвольности выбора поверхностиинтегрирования должно выполняться равенство

Ротор поля <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

Это поле <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1074"><img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> его линии начинаются и заканчиваютсяна зарядах. Ротор вектора <img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> в любой

точке равен нулю:

Согласно (1.2) ротор вектора <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> отличен от нуля.Следовательно, поле <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> так же, как имагнитное является вихревым. Линии напряжённости <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> замкнуты.

Таким образом, электрическое полеможет быть как потенциальным (<img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1081"><img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> В общем случаеэлектрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе <img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> и <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

<img src="/cache/referats/17407/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> (1.3)

Существованиевзаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, чтораздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишьотносительный смысл. Действительно, электростатическое поле создаётся системойнеподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигатьсяотносительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второйсистеме подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле. Такимобразом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается«чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчётабудет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей,образующих единое электромагнитное поле.

Выводяформулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> для случаястационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где роторвектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> равен в каждой точкеплотности тока проводимости:

<img src="/cache/referats/17407/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> (3.1)

где вектор <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> связан с плотностьюзаряда в той же точке уравнением непрерывности:

<img src="/cache/referats/17407/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> (3.2)

Электромагнитное поле может бытьстационарным лишь при условии, что плотность заряда <img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> и плотность тока <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> не зависят от времени.В этом случае согласно (3.2) дивергенция <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> равна нулю.

Поэтому можно выяснить, является лисправедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временемполей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядкеконденсатора от источника постоянного напряжения U(рис. 1).

<img src="/cache/referats/17407/image073.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1070"> <img src="/cache/referats/17407/image075.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1071">U,ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке междуобкладками конденсатора.

Возьмём круговой контур Г,охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируемсоотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляциювектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1096">

<img src="/cache/referats/17407/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1097"> (3.3)

(I– силатока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности S2, придём кявно неверному соотношению:

<img src="/cache/referats/17407/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1098"> (3.4)

Полученный результат указывает на то, что в случаеизменяющихся со временем полей уравнение (3.1) перестаёт быть справедливым.Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее отпроизвольных полей во времени. Для стационарных полей это слагаемое обращаетсяв нуль.

На неправомерность уравнения (3.1) вслучае нестационарных полей указывает также, следующие соображения. Возьмёмдивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):

Дивергенция ротора должна бытьобязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенциявектора <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> также должна бытьвсегда равной нулю. Однако этот вывод

противоречит уравнениюнепрерывности, где <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> отлична от нуля.

Чтобы согласовать уравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую частьуравнения (3.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должноиметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью токасмещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметьвид:

<img src="/cache/referats/17407/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> (3.5)

Сумму токапроводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полноготока равна:

<img src="/cache/referats/17407/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> (3.6)

Если положитьдивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой собратным знаком,

<img src="/cache/referats/17407/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> (3.7)

то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как идивергенция левой части, всегда будет равна нулю.

Заменив в (3.7) <img src="/cache/referats/17407/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> согласно (3.2) через <img src="/cache/referats/17407/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1089">

<img src="/cache/referats/17407/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> (3.8)

Чтобысвязать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрическогополя со временем, воспользуемся соотношением:

Продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Теперьпоменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там.В результате придём к следующему выражения для производной <img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> по <img src="/cache/referats/17407/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1106">

Подстановкаэтого выражения в формулу (3.8) даёт:

Отсюда

<img src="/cache/referats/17407/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> (3.9)

Подставиввыражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению

Каждое из векторных уравнений (1) и(3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов,стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальныхоператоров, можно записать их в следующем виде:

<img src="/cache/referats/17407/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1111"> <img src="/cache/referats/17407/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1112"> <img src="/cache/referats/17407/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> (5)

<img src="/cache/referats/17407/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> (6)

для первой пары уравнений, и:

<img src="/cache/referats/17407/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> <img src="/cache/referats/17407/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> <img src="/cache/referats/17407/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> (7)

<img src="/cache/referats/17407/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> (8)

для второй.

Всего получилось 8 уравнений, в которых входят12 функций (по три компоненты векторов <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1119"><img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1120"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1121"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1122"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1123"> и <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> с <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1125"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> с <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1127">

<img src="/cache/referats/17407/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> (9)

<img src="/cache/referats/17407/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> (10)

<img src="/cache/referats/17407/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1130"> (11)

Совокупность уравнений (1) – (11)образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения:

<img src="/cache/referats/17407/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> (12)

<img src="/cache/referats/17407/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1132"> (13)
(первая пара) и

<img src="/cache/referats/17407/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1133"> (14)

<img src="/cache/referats/17407/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> (15)

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла винтегральной форме.

Уравнение (12) получается путёминтегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованиемлевой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающемуповерхность S.Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3). Уравнения (13)и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования попроизвольному объёму Vс последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса винтеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объём V.

2. Граничныеусловия

При решении задач электродинамики,учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. Припереходе через эти поверхности физические свойства макроскопических телизменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитныеполя, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> и <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1136"> являются кусочно-непрерывнымифункциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутрикаждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах разделадвух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1)- (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, азатем полученные решения объединять с помощью граничных условий.

При нахождении граничных условийудобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению(4) и теореме Остроградского-Гаусса:

<img src="/cache/referats/17407/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> (16)

где Q– полный заряд внутри объёма интегрирования.

Рассмотримбесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах1 и 2 (рис. 2).

<img src="/cache/referats/17407/image147.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1072"> Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

<img src="/cache/referats/17407/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> (17)

здесь <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> — нормаль к границераздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» во втором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1140"> поверхностиинтегрирования в среде 2 направленапротивоположно нормали <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1141"> в среде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двухсред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то <img src="/cache/referats/17407/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1142">

<img src="/cache/referats/17407/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1143"> (18)

где <img src="/cache/referats/17407/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1144"> и <img src="/cache/referats/17407/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1145"> — значения нормальныхсоставляющих вектора <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1146"> по разные стороныповерхности раздела; <img src="/cache/referats/17407/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><img src="/cache/referats/17407/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1148">d, а полерассматривается на расстояниях отповерхности r>>d. Тогда из определенияобъёмной плотности заряда <img src="/cache/referats/17407/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> следует:

Если учесть, что <img src="/cache/referats/17407/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1153"><img src="/cache/referats/17407/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> — поверхностнаяплотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

где <img src="/cache/referats/17407/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1156"><img src="/cache/referats/17407/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1157">

Используя уравнение (2) и проводяаналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1158">

<img src="/cache/referats/17407/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1159"> (19)

Выражения (18) и (19) – граничныеусловия для нормальных составляющих векторов <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> и <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1161"> получить условия для тангенциальныхсоставляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль <img src="/cache/referats/17407/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1162"> к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим видпрямоугольника (рис. 3).

Используя теорему Стокса, получим:

Перепишем это уравнение в виде:

<img src="/cache/referats/17407/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> (20)

Здесь <img src="/cache/referats/17407/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1166"> и <img src="/cache/referats/17407/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1167"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> соответственно всредах 1 и 2, <img src="/cache/referats/17407/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> — единичный вектор,касательный к поверхности раздела, <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1170"> — нормаль кповерхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

Пусть теперь <img src="/cache/referats/17407/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1171"> при малом, но фиксированномl. Тогда <img src="/cache/referats/17407/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1172"><img src="/cache/referats/17407/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1173"> и соотношение (20)примет вид:

и после сокращения на l имеем:

здесь <img src="/cache/referats/17407/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1176"><img src="/cache/referats/17407/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1177"><img src="/cache/referats/17407/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1178">

предыдущее выражение можнозаписать, как

Поскольку эта формуласправедлива для любой ориентации поверхности, а следовательно, и

вектора <img src="/cache/referats/17407/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1180">

<img src="/cache/referats/17407/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1181"> (21)

В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока,избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, тоследует положить <img src="/cache/referats/17407/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1182"><img src="/cache/referats/17407/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1183"><img src="/cache/referats/17407/image219.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> есть поверхностнаяплотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где <img src="/cache/referats/17407/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1186">

Используя уравнение (1) и проводяаналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1187">

<img src="/cache/referats/17407/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1188"> (22)

Таким образом, уравнения Максвелла(1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22).Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1189"> (22) и нормальнойсоставляющей вектора <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1190"> (19) при переходечерез границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1191"> при переходе черезграницу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1192">

Ещё одно граничное условие можнополучить, используя уравнение непрерывности (<img src="/cache/referats/17407/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1193">

Так как граничноеусловие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:

<img src="/cache/referats/17407/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1196"> (23)

Если же наповерхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит отвремени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющихплотности тока:

Итак, граничные условияна поверхности раздела двух сред имеют вид:

(24)

где <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1202"> — нормаль к границераздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой моментвремени и в каждой точке поверхности раздела.

3.Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегдаприходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах,то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую частьуравнений Максвелла (1) – (4).

В случае стационарных электрических имагнитных полей (<img src="/cache/referats/17407/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1203"> и<img src="/cache/referats/17407/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1204"> система уравненийМаксвелла (1) – (4) распадается на систему

уравненийэлектр

еще рефераты

Еще работы по физике

Реферат по физике

Фотогальванометрический веберметр

26 Июня 2015

Реферат по физике

Синтез лёгких ядер (дефект массы) и Парадокс моделей вселенной

26 Июня 2015

Реферат по физике

Атомная энергетика. Использование и перспективы развития

29 Августа 2013

Реферат по физике

Скорость звука в различных средах. Эффект Доплера в акустике

29 Августа 2013