Реферат: Разработка теории радиогеохимического эффекта

--PAGE_BREAK--Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим
<shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image070.wmz» o:><img width=«117» height=«41» src=«dopb143126.zip» v:shapes="_x0000_i1071">
(2.7)
где
<shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image072.wmz» o:><img width=«204» height=«53» src=«dopb143127.zip» v:shapes="_x0000_i1072">
Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим
<shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image074.wmz» o:><img width=«144» height=«52» src=«dopb143128.zip» v:shapes="_x0000_i1073">
(2.8)
Учитывая в (2.8) произвольность объема <shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image076.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb143097.zip» v:shapes="_x0000_i1074">, получаем
<shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image077.wmz» o:><img width=«92» height=«48» src=«dopb143129.zip» v:shapes="_x0000_i1075">
(2.9)
Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференциальной форме.
2.2. Закон Фика Закон Фика необходим для описания диффузии растворенного(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического потенциала <shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image079.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143130.zip» v:shapes="_x0000_i1076"> 
В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид
<shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image081.wmz» o:><img width=«101» height=«32» src=«dopb143131.zip» v:shapes="_x0000_i1077">
(*)
где <shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image083.wmz» o:><img width=«31» height=«29» src=«dopb143132.zip» v:shapes="_x0000_i1078"> – конвекционная компонента вектора потока, связанная с потоком вещества (массы). Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде
<shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image085.wmz» o:><img width=«104» height=«28» src=«dopb143133.zip» v:shapes="_x0000_i1079">
(2.10)
<shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image087.wmz» o:><img width=«28» height=«32» src=«dopb143134.zip» v:shapes="_x0000_i1080">– диффузионная компонента, возникает при наличии в системе градиента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика:
<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image089.wmz» o:><img width=«104» height=«32» src=«dopb143135.zip» v:shapes="_x0000_i1081">
(2.10*)
<shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image091.wmz» o:><img width=«25» height=«27» src=«dopb143136.zip» v:shapes="_x0000_i1082"> – коэффициент концентрационной диффузии, (далее <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image007.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143099.zip» v:shapes="_x0000_i1083"> будем опускать).
Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком.
Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим
<shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image093.wmz» o:><img width=«107» height=«29» src=«dopb143137.zip» v:shapes="_x0000_i1084">
(2.11)
Подставим (2.11) в (2.9), получим
<shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image095.wmz» o:><img width=«199» height=«48» src=«dopb143138.zip» v:shapes="_x0000_i1085">
(2.12)
В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно:
<shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image097.wmz» o:><img width=«635» height=«113» src=«dopb143139.zip» v:shapes="_x0000_i1086">
Преобразуем второе слагаемое в (2.12):
<shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image099.wmz» o:><img width=«192» height=«27» src=«dopb143140.zip» v:shapes="_x0000_i1087">
(2.13)
Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение).
Из выражения (2.13), получим
<shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image101.wmz» o:><img width=«155» height=«24» src=«dopb143141.zip» v:shapes="_x0000_i1088">
(2.14)
Преобразуем второе слагаемое в (2.12):
<shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image103.wmz» o:><img width=«577» height=«55» src=«dopb143142.zip» v:shapes="_x0000_i1089">
Условие не сжимаемости жидкости:
<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image105.wmz» o:><img width=«56» height=«21» src=«dopb143143.zip» v:shapes="_x0000_i1090">
(2.15)
Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим
<shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image107.wmz» o:><img width=«209» height=«48» src=«dopb143144.zip» v:shapes="_x0000_i1091">
(2.16)
Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон Фика):
<shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image109.wmz» o:><img width=«107» height=«48» src=«dopb143145.zip» v:shapes="_x0000_i1092">
(2.17)
2.3. Уравнение конвективной диффузии Пусть имеется раствор с плотностью растворителя <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image111.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143146.zip» v:shapes="_x0000_i1093"> и плотностью растворенного вещества –<shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image007.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143099.zip» v:shapes="_x0000_i1094">, тогда плотность раствора запишется в виде
<shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image113.wmz» o:><img width=«86» height=«25» src=«dopb143147.zip» v:shapes="_x0000_i1095">
(2.18)
 Запишем уравнение неразрывности для растворителя:
<shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image115.wmz» o:><img width=«133» height=«48» src=«dopb143148.zip» v:shapes="_x0000_i1096">
(2.19)
Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диффузии мал.
Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е. <shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image117.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143146.zip» v:shapes="_x0000_i1097"> не зависит от пространственных координат и
<shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image118.wmz» o:><img width=«63» height=«48» src=«dopb143149.zip» v:shapes="_x0000_i1098">
(2.20)
Тогда из выражения (2.19), получим
<shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image120.wmz» o:><img width=«60» height=«24» src=«dopb143150.zip» v:shapes="_x0000_i1099">
(2.21)
Запишем уравнение неразрывности для раствора:
<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image122.wmz» o:><img width=«217» height=«48» src=«dopb143151.zip» v:shapes="_x0000_i1100">
(2.22)
В (2.22) подставим (2.18), получим
<shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image124.wmz» o:><img width=«452» height=«100» src=«dopb143152.zip» v:shapes="_x0000_i1101">
Учитывая (2.20), (2.21) и независимость <shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image126.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143146.zip» v:shapes="_x0000_i1102"> от пространственных координат, получим
<shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image127.wmz» o:><img width=«176» height=«48» src=«dopb143153.zip» v:shapes="_x0000_i1103">
(2.23)
Опустим штрих, предполагая в дальнейшем <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image007.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143099.zip» v:shapes="_x0000_i1104"> – плотность примеси.
<shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image129.wmz» o:><img width=«163» height=«48» src=«dopb143154.zip» v:shapes="_x0000_i1105">
(2.24)
Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое:
Первое слагаемое <shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image131.wmz» o:><img width=«26» height=«46» src=«dopb143155.zip» v:shapes="_x0000_i1106"> описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке;
Второе слагаемое <shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image133.wmz» o:><img width=«40» height=«26» src=«dopb143156.zip» v:shapes="_x0000_i1107"> отвечает за конвекцию;
Третье слагаемое <shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image135.wmz» o:><img width=«40» height=«23» src=«dopb143157.zip» v:shapes="_x0000_i1108"> отвечает за диффузию.
Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии.
На практике в (2.24) слагаемым <shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image137.wmz» o:><img width=«40» height=«23» src=«dopb143157.zip» v:shapes="_x0000_i1109"> можно пренебречь, в силу его малости.
2.4. Метод характеристик Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси<shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image138.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143158.zip» v:shapes="_x0000_i1110">, тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется
<shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image140.wmz» o:><img width=«109» height=«48» src=«dopb143159.zip» v:shapes="_x0000_i1111">.
(1)
Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение).
Задача Коши для уравнения (1).
Требуется найти функцию <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image142.wmz» o:><img width=«123» height=«24» src=«dopb143160.zip» v:shapes="_x0000_i1112">, где <shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image144.wmz» o:><img width=«269» height=«28» src=«dopb143161.zip» v:shapes="_x0000_i1113"> и удовлетворяющую условиям:
<shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image146.wmz» o:><img width=«176» height=«55» src=«dopb143162.zip» v:shapes="_x0000_i1114">
(2)
Получим решение задачи методом характеристик.
Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image148.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143158.zip» v:shapes="_x0000_i1115"> и <shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image149.wmz» o:><img width=«11» height=«19» src=«dopb143124.zip» v:shapes="_x0000_i1116"> к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:
<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image150.wmz» o:><img width=«131» height=«48» src=«dopb143163.zip» v:shapes="_x0000_i1117">.
(3)
Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:
<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image152.wmz» o:><img width=«63» height=«97» src=«dopb143164.zip» v:shapes="_x0000_i1118">
(4)
(5)
где уравнение (4) – уравнение для характеристик.
Из (5) следует, что <shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image154.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb143165.zip» v:shapes="_x0000_i1119">, где <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image156.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143166.zip» v:shapes="_x0000_i1120"> некоторая постоянная. Но т.к. <shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image158.wmz» o:><img width=«95» height=«29» src=«dopb143167.zip» v:shapes="_x0000_i1121">, то <shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image160.wmz» o:><img width=«84» height=«25» src=«dopb143168.zip» v:shapes="_x0000_i1122">.
Из (4) получаем
<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image162.wmz» o:><img width=«84» height=«20» src=«dopb143169.zip» v:shapes="_x0000_i1123">.
(6)
Равенство (6) – решение уравнений характеристик.
Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости <shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image164.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143158.zip» v:shapes="_x0000_i1124">,<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image165.wmz» o:><img width=«11» height=«19» src=«dopb143124.zip» v:shapes="_x0000_i1125">, т.е. графики движения частиц при заданной скорости <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image166.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb143097.zip» v:shapes="_x0000_i1126">, называются характеристиками уравнения (1).
Пусть при <shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image167.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb143170.zip» v:shapes="_x0000_i1127">, <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image169.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb143171.zip» v:shapes="_x0000_i1128">, т.е.
<shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image171.wmz» o:><img width=«132» height=«25» src=«dopb143172.zip» v:shapes="_x0000_i1129">;
<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image173.wmz» o:><img width=«135» height=«25» src=«dopb143173.zip» v:shapes="_x0000_i1130">.
(7)
Подставляя (7) в (2), получим
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image175.wmz» o:><img width=«148» height=«29» src=«dopb143174.zip» v:shapes="_x0000_i1131">.
(8)
Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:
<shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image177.wmz» o:><img width=«124» height=«25» src=«dopb143175.zip» v:shapes="_x0000_i1132">,
(9)
<shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image179.wmz» o:><img width=«132» height=«25» src=«dopb143172.zip» v:shapes="_x0000_i1133">.
(10)
Подставим уравнение (10) в (9), получим
<shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image180.wmz» o:><img width=«112» height=«25» src=«dopb143176.zip» v:shapes="_x0000_i1134">.
(11)
Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).
Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image182.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb143097.zip» v:shapes="_x0000_i1135">.
Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)
<shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image183.wmz» o:><img width=«109» height=«48» src=«dopb143159.zip» v:shapes="_x0000_i1136">,<shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image184.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb143177.zip» v:shapes="_x0000_i1137">,<shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image186.wmz» o:><img width=«39» height=«20» src=«dopb143178.zip» v:shapes="_x0000_i1138">,
(1)
<shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image188.wmz» o:><img width=«85» height=«29» src=«dopb143179.zip» v:shapes="_x0000_i1139">.
(2)
<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image190.wmz» o:><img width=«92» height=«29» src=«dopb143180.zip» v:shapes="_x0000_i1140">.
(3)
<imagedata src=«31219.files/image192.png» o:><img width=«229» height=«190» src=«dopb143181.zip» v:shapes="_x0000_i1141">
Рис.4.
На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при <shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image194.wmz» o:><img width=«133» height=«23» src=«dopb143182.zip» v:shapes="_x0000_i1142"> начальное условие, а при <shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image196.wmz» o:><img width=«136» height=«23» src=«dopb143183.zip» v:shapes="_x0000_i1143"> граничное условие, <shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image198.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb143184.zip» v:shapes="_x0000_i1144"> граничная характеристика.
Для задачи Коши решенной ранее,
<img width=«2» height=«74» src=«dopb143185.zip» v:shapes="_x0000_s1026"> <shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image201.wmz» o:><img width=«45» height=«48» src=«dopb143186.zip» v:shapes="_x0000_i1145"><img width=«135» height=«12» src=«dopb143187.zip» v:shapes="_x0000_s1027"> <shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image204.wmz» o:><img width=«21» height=«48» src=«dopb143188.zip» v:shapes="_x0000_i1146"> 
<img width=«133» height=«5» src=«dopb143189.zip» v:shapes="_x0000_s1028">О <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bullet=«t»><imagedata src=«31219.files/image207.wmz» o:><img width=«11» height=«19» src=«dopb143124.zip» alt="*" v:shapes="_x0000_i1147">
 а)
<img width=«2» height=«74» src=«dopb143190.zip» v:shapes="_x0000_s1029"> <shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image209.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb143191.zip» v:shapes="_x0000_i1148">
<img width=«70» height=«2» src=«dopb143192.zip» v:shapes="_x0000_s1030"><img width=«195» height=«12» src=«dopb143193.zip» v:shapes="_x0000_s1031"><img width=«172» height=«4» src=«dopb143194.zip» v:shapes="_x0000_s1032">О <shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image214.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143158.zip» v:shapes="_x0000_i1149">
 б) <shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image215.wmz» o:><img width=«24» height=«20» src=«dopb143195.zip» v:shapes="_x0000_i1150">
 Рис. 5
<shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bullet=«t»><imagedata src=«31219.files/image217.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb143191.zip» alt="*" v:shapes="_x0000_i1151"> (или <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image201.wmz» o:><img width=«45» height=«48» src=«dopb143186.zip» v:shapes="_x0000_i1152">) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие <shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image218.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143146.zip» v:shapes="_x0000_i1153">.
 Если <shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image219.wmz» o:><img width=«80» height=«20» src=«dopb143196.zip» v:shapes="_x0000_i1154"> (<shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image221.wmz» o:><img width=«47» height=«48» src=«dopb143197.zip» v:shapes="_x0000_i1155">), то будет влиять только граничное условие <shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image223.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb143198.zip» v:shapes="_x0000_i1156">.
Получим решение для граничного решения.
<shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image225.wmz» o:><img width=«125» height=«48» src=«dopb143199.zip» v:shapes="_x0000_i1157">
(5)
Запишем уравнения (1) в виде
<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image227.wmz» o:><img width=«73» height=«100» src=«dopb143200.zip» v:shapes="_x0000_i1158">
(6)
(7)
Из (6) следует, что <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image229.wmz» o:><img width=«69» height=«25» src=«dopb143201.zip» v:shapes="_x0000_i1159">, где <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image231.wmz» o:><img width=«83» height=«25» src=«dopb143202.zip» v:shapes="_x0000_i1160">.
Учитывая (3) получим <shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image233.wmz» o:><img width=«76» height=«25» src=«dopb143203.zip» v:shapes="_x0000_i1161">.
Интегрируя (7) получаем
<shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image235.wmz» o:><img width=«84» height=«20» src=«dopb143169.zip» v:shapes="_x0000_i1162">.
(8)
Пусть при <shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image236.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb143171.zip» v:shapes="_x0000_i1163">, <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image237.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb143204.zip» v:shapes="_x0000_i1164"> тогда
<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image239.wmz» o:><img width=«127» height=«25» src=«dopb143205.zip» v:shapes="_x0000_i1165">
(9)
Разделим обе части (9) на <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image241.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb143206.zip» v:shapes="_x0000_i1166"> получим
<shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image243.wmz» o:><img width=«111» height=«48» src=«dopb143207.zip» v:shapes="_x0000_i1167">.
(10)
При <shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image245.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb143208.zip» v:shapes="_x0000_i1168">,
<shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image247.wmz» o:><img width=«81» height=«48» src=«dopb143209.zip» v:shapes="_x0000_i1169">.
(11)
Подставляя (11) в (3) получаем
<shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image249.wmz» o:><img width=«140» height=«52» src=«dopb143210.zip» v:shapes="_x0000_i1170">.
Тогда решая систему
<shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image251.wmz» o:><img width=«121» height=«103» src=«dopb143211.zip» v:shapes="_x0000_i1171">
получаем решение граничной задачи в виде
<shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image253.wmz» o:><img width=«104» height=«52» src=«dopb143212.zip» v:shapes="_x0000_i1172">.
(12)
В (12) <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image255.wmz» o:><img width=«44» height=«48» src=«dopb143213.zip» v:shapes="_x0000_i1173">.
Решение начально-краевой задачи будет иметь вид
<shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image257.wmz» o:><img width=«329» height=«25» src=«dopb143214.zip» v:shapes="_x0000_i1174">,
где <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image259.wmz» o:><img width=«121» height=«55» src=«dopb143215.zip» v:shapes="_x0000_i1175">, единичная функция Хевисайда.
Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения
Построим формулу Даламбера для уравнения
<shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image261.wmz» o:><img width=«147» height=«48» src=«dopb143216.zip» v:shapes="_x0000_i1176">, <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image263.wmz» o:><img width=«40» height=«20» src=«dopb143217.zip» v:shapes="_x0000_i1177">, <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image265.wmz» o:><img width=«105» height=«16» src=«dopb143218.zip» v:shapes="_x0000_i1178">
(1)
Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.
<shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image267.wmz» o:><img width=«95» height=«29» src=«dopb143167.zip» v:shapes="_x0000_i1179">.
(2)
Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:
<shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image268.wmz» o:><img width=«115» height=«97» src=«dopb143219.zip» v:shapes="_x0000_i1180">
(3)
(4)
Интегрируя (4), получим
<shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image270.wmz» o:><img width=«84» height=«20» src=«dopb143169.zip» v:shapes="_x0000_i1181">
(5)
Пусть при <shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image271.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb143171.zip» v:shapes="_x0000_i1182">, <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image272.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb143204.zip» v:shapes="_x0000_i1183">, тогда
<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image273.wmz» o:><img width=«127» height=«25» src=«dopb143205.zip» v:shapes="_x0000_i1184">.
Подставим (5) в (3), получим
<shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image274.wmz» o:><img width=«128» height=«48» src=«dopb143220.zip» v:shapes="_x0000_i1185">.
<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image276.wmz» o:><img width=«179» height=«49» src=«dopb143221.zip» v:shapes="_x0000_i1186">,
(6)
<shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image278.wmz» o:><img width=«141» height=«29» src=«dopb143222.zip» v:shapes="_x0000_i1187">,
(7)
<shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image280.wmz» o:><img width=«127» height=«25» src=«dopb143205.zip» v:shapes="_x0000_i1188">.
(8)
Исключим в (6) <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image281.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143166.zip» v:shapes="_x0000_i1189"> для этого учтем начальное условие (7).
<shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image282.wmz» o:><img width=«315» height=«49» src=«dopb143223.zip» v:shapes="_x0000_i1190">,
<shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image284.wmz» o:><img width=«267» height=«49» src=«dopb143224.zip» v:shapes="_x0000_i1191">.
(9)
Подставим (9) в (6), получим
<shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image286.wmz» o:><img width=«381» height=«49» src=«dopb143225.zip» v:shapes="_x0000_i1192">,
<shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image288.wmz» o:><img width=«252» height=«49» src=«dopb143226.zip» v:shapes="_x0000_i1193">.
(10)
Исключим в (10) <shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image290.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143227.zip» v:shapes="_x0000_i1194"> и <shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image292.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb143228.zip» v:shapes="_x0000_i1195">, потом <shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image294.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb143229.zip» v:shapes="_x0000_i1196">:
<shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image296.wmz» o:><img width=«269» height=«49» src=«dopb143230.zip» v:shapes="_x0000_i1197">.
(11)
Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения).
Покажем что (11) является решением (1).
Продифференцируем формулу (11) по <shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image298.wmz» o:><img width=«11» height=«19» src=«dopb143124.zip» v:shapes="_x0000_i1198">, получим
<shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image299.wmz» o:><img width=«421» height=«49» src=«dopb143231.zip» v:shapes="_x0000_i1199">.
(12)
Продифференцируем формулу (11) по <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image301.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143158.zip» v:shapes="_x0000_i1200">, получим
<shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image302.wmz» o:><img width=«288» height=«49» src=«dopb143232.zip» v:shapes="_x0000_i1201">.
(13)
Подставляя (13) и (12) в (1), получаем
<shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image304.wmz» o:><img width=«353» height=«103» src=«dopb143233.zip» v:shapes="_x0000_i1202">.
Откуда получаем тождество: <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image306.wmz» o:><img width=«111» height=«25» src=«dopb143234.zip» v:shapes="_x0000_i1203">. Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1).
Начально-краевая задача для неоднородного конвективного уравнения <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image308.wmz» o:><img width=«147» height=«48» src=«dopb143216.zip» v:shapes="_x0000_i1204">, <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image309.wmz» o:><img width=«40» height=«20» src=«dopb143217.zip» v:shapes="_x0000_i1205">, <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image310.wmz» o:><img width=«105» height=«16» src=«dopb143218.zip» v:shapes="_x0000_i1206">
(1)
<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image311.wmz» o:><img width=«95» height=«29» src=«dopb143167.zip» v:shapes="_x0000_i1207">.
(2)
<shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image312.wmz» o:><img width=«95» height=«29» src=«dopb143235.zip» v:shapes="_x0000_i1208">.
(3)
Найдем решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).
Решение будем искать в виде <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image314.wmz» o:><img width=«104» height=«24» src=«dopb143236.zip» v:shapes="_x0000_i1209">дифференцируя которое по<shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image316.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143158.zip» v:shapes="_x0000_i1210"> , получим
<shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image317.wmz» o:><img width=«125» height=«48» src=«dopb143199.zip» v:shapes="_x0000_i1211">.
Умножая правую и левую части на <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image318.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb143097.zip» v:shapes="_x0000_i1212">, приходим к выражению
<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image319.wmz» o:><img width=«139» height=«48» src=«dopb143237.zip» v:shapes="_x0000_i1213">.
(4)
Перепишем уравнение (1) в виде двух уравнений:
<shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image321.wmz» o:><img width=«112» height=«97» src=«dopb143238.zip» v:shapes="_x0000_i1214">
(5)
(6)
Из (6) следует, что <shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image323.wmz» o:><img width=«84» height=«20» src=«dopb143169.zip» v:shapes="_x0000_i1215">. Пусть при <shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image324.wmz» o:><img width=«51» height=«25» src=«dopb143171.zip» v:shapes="_x0000_i1216">, <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image325.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb143204.zip» v:shapes="_x0000_i1217">, тогда <shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image326.wmz» o:><img width=«132» height=«25» src=«dopb143172.zip» v:shapes="_x0000_i1218">.
Откуда получим
<shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image327.wmz» o:><img width=«115» height=«48» src=«dopb143239.zip» v:shapes="_x0000_i1219">.
(7)
Подставим уравнение (7) в уравнение (5), получим
<shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image329.wmz» o:><img width=«152» height=«48» src=«dopb143240.zip» v:shapes="_x0000_i1220">.
<shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image331.wmz» o:><img width=«205» height=«155» src=«dopb143241.zip» v:shapes="_x0000_i1221">
(8)
(9)
(10)
Исключим в (8) <shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image333.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb143166.zip» v:shapes="_x0000_i1222"> , для этого учтем граничное условие (9).
<shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image334.wmz» o:><img width=«332» height=«52» src=«dopb143242.zip» v:shapes="_x0000_i1223">
<shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image336.wmz» o:><img width=«277» height=«52» src=«dopb143243.zip» v:shapes="_x0000_i1224">.
Подставим (11) в (8), получим
<shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image338.wmz» o:><img width=«417» height=«108» src=«dopb143244.zip» v:shapes="_x0000_i1225">
(12)
Исключим в (12) <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image340.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb143227.zip» v:shapes="_x0000_i1226">, <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image341.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb143228.zip» v:shapes="_x0000_i1227"> и <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image342.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb143229.zip» v:shapes="_x0000_i1228"> получим
<shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image343.wmz» o:><img width=«272» height=«52» src=«dopb143245.zip» v:shapes="_x0000_i1229">.
<shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image345.wmz» o:><img width=«291» height=«52» src=«dopb143246.zip» v:shapes="_x0000_i1230">,
(13)
Выражение (13) – формула Даламбера (решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1)).
Покажем, что (13) является решением (1). Для этого продифференцируем формулу (13) по <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image347.wmz» o:><img width=«11» height=«19» src=«dopb143124.zip» v:shapes="_x0000_i1231">, получим
<shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image348.wmz» o:><img width=«309» height=«52» src=«dopb143247.zip» v:shapes="_x0000_i1232">.
(14)
Продифференцируем формулу (13) по <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image350.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143158.zip» v:shapes="_x0000_i1233">, получим
<shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image351.wmz» o:><img width=«437» height=«52» src=«dopb143248.zip» v:shapes="_x0000_i1234">.
(15)
Умножая (15) на <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image241.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb143206.zip» v:shapes="_x0000_i1235"> и складывая с (14), получим, после сокращений, что
<shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image353.wmz» o:><img width=«117» height=«24» src=«dopb143249.zip» v:shapes="_x0000_i1236">
то есть, (13) является решением граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).
Решение смешанной задачи запишем, в виде
<shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image355.wmz» o:><img width=«352» height=«106» src=«dopb143250.zip» v:shapes="_x0000_i1237">.
2.5 Слабые растворы Рассмотрим термодинамические свойства слабых растворов, т. е. таких растворов, в которых число молекул растворенных веществ значительно меньше числа молекул растворителя. Рассмотрим сначала случай раствора с одним растворенным веществом; обобщение для раствора нескольких веществ можно будет произвести непосредственно [1].
Пусть <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image357.wmz» o:><img width=«20» height=«20» src=«dopb143251.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> – число молекул растворителя в растворе, а <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image359.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143252.zip» v:shapes="_x0000_i1239">– число молекул растворяемого вещества. Концентрацией раствора назовем отношение <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image361.wmz» o:><img width=«49» height=«48» src=«dopb143253.zip» v:shapes="_x0000_i1240">; согласно сделанному предложению <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image363.wmz» o:><img width=«48» height=«20» src=«dopb143254.zip» v:shapes="_x0000_i1241">.
Найдем выражение для термодинамического потенциала раствора. Пусть <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image365.wmz» o:><img width=«89» height=«25» src=«dopb143255.zip» v:shapes="_x0000_i1242"> есть термодинамический потенциал чистого растворителя (в котором ничего не растворено). Согласно формуле <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image367.wmz» o:><img width=«64» height=«23» src=«dopb143256.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> (справедливой для чистых веществ) его можно написать в виде,
<shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image369.wmz» o:><img width=«123» height=«25» src=«dopb143257.zip» v:shapes="_x0000_i1244">.
(1)
где <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image371.wmz» o:><img width=«65» height=«25» src=«dopb143258.zip» v:shapes="_x0000_i1245"> – химический потенциал чистого растворителя. Обозначим посредством <shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image373.wmz» o:><img width=«112» height=«24» src=«dopb143259.zip» v:shapes="_x0000_i1246"> малое изменение, которое испытал бы термодинамический потенциал при введении в растворитель одной молекулы растворяемого вещества. В силу предполагаемой слабости раствора молекулы растворенного вещества в нем находятся на сравнительно больших расстояниях друг от друга, и поэтому их взаимодействие слабо. Пренебрегая этим взаимодействием, можно утверждать, что изменение термодинамического потенциала при введении в растворитель <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image375.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143252.zip» v:shapes="_x0000_i1247"> молекул растворяемого вещества равно <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image376.wmz» o:><img width=«27» height=«16» src=«dopb143260.zip» v:shapes="_x0000_i1248">. Однако в получаемом таким путем выражении <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image378.wmz» o:><img width=«67» height=«25» src=«dopb143261.zip» v:shapes="_x0000_i1249">еще не учтена должным образом одинаковость всех молекул растворенного вещества. Это есть выражение, которое получилось бы по формуле (2), если бы при вычислении статического интеграла все частицы растворенного вещества считались отличными друг от друга. Вычисленный таким образом статический интеграл должен в действительности еще быть поделен на <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image380.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb143262.zip» v:shapes="_x0000_i1250">.
<shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image382.wmz» o:><img width=«160» height=«36» src=«dopb143263.zip» v:shapes="_x0000_i1251">.
(2)
где <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image384.wmz» o:><img width=«25» height=«20» src=«dopb143264.zip» v:shapes="_x0000_i1252">– элемент объема фазового пространства, деленный на <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image386.wmz» o:><img width=«51» height=«27» src=«dopb143265.zip» v:shapes="_x0000_i1253">:
<shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image388.wmz» o:><img width=«97» height=«51» src=«dopb143266.zip» v:shapes="_x0000_i1254">.
(3)
         Это приводит к появлению в свободной энергии, а потому и в потенциале <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image390.wmz» o:><img width=«20» height=«19» src=«dopb143267.zip» v:shapes="_x0000_i1255"> дополнительного члена <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image392.wmz» o:><img width=«48» height=«20» src=«dopb143268.zip» v:shapes="_x0000_i1256">. Таким образом,
<shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image394.wmz» o:><img width=«273» height=«25» src=«dopb143269.zip» v:shapes="_x0000_i1257">.
(3)
Далее, поскольку <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image396.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143252.zip» v:shapes="_x0000_i1258">– само по себе очень большое число, хотя и малое по сравнению с <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image397.wmz» o:><img width=«20» height=«20» src=«dopb143251.zip» v:shapes="_x0000_i1259">, в последнем члене можно заменить <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image398.wmz» o:><img width=«115» height=«25» src=«dopb143270.zip» v:shapes="_x0000_i1260">. Тогда
<shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image400.wmz» o:><img width=«357» height=«52» src=«dopb143271.zip» v:shapes="_x0000_i1261">.
(3)
Учтем теперь, что <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image390.wmz» o:><img width=«20» height=«19» src=«dopb143267.zip» v:shapes="_x0000_i1262"> должно быть однородной функцией первого порядка по отношению к <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image402.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143252.zip» v:shapes="_x0000_i1263"> и <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image403.wmz» o:><img width=«20» height=«20» src=«dopb143251.zip» v:shapes="_x0000_i1264">. Для этого, очевидно, стоящая под знаком логарифма функция <shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image404.wmz» o:><img width=«73» height=«25» src=«dopb143272.zip» v:shapes="_x0000_i1265"> должна иметь вид <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image406.wmz» o:><img width=«77» height=«25» src=«dopb143273.zip» v:shapes="_x0000_i1266">. Таким образом,
<shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image408.wmz» o:><img width=«220» height=«52» src=«dopb143274.zip» v:shapes="_x0000_i1267">.
(3)
Вводя новую функцию от <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image410.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb143275.zip» v:shapes="_x0000_i1268"> и <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image412.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb143276.zip» v:shapes="_x0000_i1269">:
<shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image414.wmz» o:><img width=«160» height=«24» src=«dopb143277.zip» v:shapes="_x0000_i1270">,
(3)
находим окончательно для термодинамического потенциала раствора выражение
<shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image416.wmz» o:><img width=«275» height=«48» src=«dopb143278.zip» v:shapes="_x0000_i1271">.
(8)
Сделанное в начале этого параграфа предположение относительно прибавления члена вида <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image418.wmz» o:><img width=«27» height=«16» src=«dopb143260.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> к потенциалу чистого растворителя есть в сущности не что иное, как разложение в ряд по степеням <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image419.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143252.zip» v:shapes="_x0000_i1273"> с оставлением только первых членов. Член следующего порядка по <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image420.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143252.zip» v:shapes="_x0000_i1274">пропорционален <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image421.wmz» o:><img width=«21» height=«21» src=«dopb143279.zip» v:shapes="_x0000_i1275">, а с учетом однородности по переменным <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image423.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb143252.zip» v:shapes="_x0000_i1276"> и <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image424.wmz» o:><img width=«20» height=«20» src=«dopb143251.zip» v:shapes="_x0000_i1277"> должен иметь вид <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image425.wmz» o:><img width=«104» height=«27» src=«dopb143280.zip» v:shapes="_x0000_i1278">, где <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image427.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb143281.zip» v:shapes="_x0000_i1279"> – функция только от <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image429.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb143275.zip» v:shapes="_x0000_i1280"> и <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image430.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb143276.zip» v:shapes="_x0000_i1281">. Таким образом, с точностью до членов второго порядка термодинамический потенциал слабого раствора имеет вид
<shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image431.wmz» o:><img width=«371» height=«49» src=«dopb143282.zip» v:shapes="_x0000_i1282">.
(3)
Обобщение этого выражения на случай раствора нескольких веществ очевидно:
<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image433.wmz» o:><img width=«385» height=«49» src=«dopb143283.zip» v:shapes="_x0000_i1283">.
(3)
где <shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image435.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb143284.zip» v:shapes="_x0000_i1284">– число молекул различных растворенных веществ.
Из (8) легко найти химические потенциалы для растворителя (<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image079.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb143130.zip» v:shapes="_x0000_i1285">) и растворенного вещества (<shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image437.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb143285.zip» v:shapes="_x0000_i1286">) в растворе:
<shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image439.wmz» o:><img width=«220» height=«48» src=«dopb143286.zip» v:shapes="_x0000_i1287">,
(3)
<shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image441.wmz» o:><img width=«249» height=«48» src=«dopb143287.zip» v:shapes="_x0000_i1288">.
(12)
2.6. Равновесие по отношению к радиактивному веществу веществу Рассмотрим систему, состоящую из двух соприкасающихся растворов одного и того вещества в различных растворителях (например, в двух несмешивающихся жидкостях). Их концентрации обозначим буквами <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image443.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb143288.zip» v:shapes="_x0000_i1289"> и <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image445.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb143289.zip» v:shapes="_x0000_i1290">.
Условием равновесия этой системы является равенство химических потенциалов растворенного вещества в обоих растворах. С помощью (12, см. 2.5) это условие можно написать в виде
<shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image447.wmz» o:><img width=«273» height=«25» src=«dopb143290.zip» v:shapes="_x0000_i1291">.
(1)
Функции <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image449.wmz» o:><img width=«23» height=«25» src=«dopb143291.zip» v:shapes="_x0000_i1292"> и <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image451.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb143292.zip» v:shapes="_x0000_i1293"> для различных растворителей, конечно, различны. Отсюда находим
<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image453.wmz» o:><img width=«176» height=«53» src=«dopb143293.zip» v:shapes="_x0000_i1294">.
(2)
Коэффициент равновесия растворенного вещества между растворами <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image427.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb143281.zip» v:shapes="_x0000_i1295"> есть функция только от <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image410.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb143275.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> и <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«31219.files/image455.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb143276.zip» v:shapes="_x0000_i1297">. Таким образом, растворенное вещество распределяется между двумя растворителями так, чтобы отношение концентраций было (при заданных давлении и температуре) всегда одинаково, независимо от полного количества растворенного вещества и растворителей (закон распределения). Этот же закон относится, очевидно, и к растворению одного вещества в двух соприкасающихся фазах одного и того же растворителя.
    продолжение
--PAGE_BREAK--