Реферат: Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики

Mосковскийфизико-технический институт

Кафедрафилософии

В.Р.Медведев,аспирант 1-го года

ХАОС, НЕОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ И БРЮССЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯКВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. КОНЦЕПЦИЯ И.ПРИГОЖИНА

Реферат ккандидатскому экзамену по философии

Содержание

0. ВВЕДЕНИЕ

1. ХАОС

   1.1Классический динамический хаос: неустойчивость по начальным условиям

   1.2Классический хаос: неинтегрируемые системы Пуанкаре

   1.3Статистическое описание. Диссипативный хаос

2. НЕОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ

   2.1Обратимость времени в классической и квантовой механике

   2.2 Рольнеобратимости в статистической механике. Потоки корреляций

   2.3 Проблеманесводимого описания

3. БРЮССЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

   3.1Альтернативные интерпретации квантовой механики

   3.2 Неунитарная эволюция и несводимоеописание

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

МФТИ

1997

0. ВВЕДЕНИЕ

Начинаяс времён Галилея и Ньютона современная физика проделала огромный путь понакоплению, систематизации, описанию  иосмыслению фактов об окружающем мире. Описание обычно делалось на языкематематики, и сама структура этого языка зачастую позволяла совершать новыеоткрытия в реальном мире (что само по себе достаточно удивительно). Занесколько столетий предсказательная роль физики стала настолько большой, что внастоящее время нерешаемых «счётных» задач практически не осталось –по крайней мере, с точки зрения принципиального понимания происходящих явлений– ни в механике, ни в классической электродинамике, ни в квантовой теории.

Физикапродолжает развиваться, и за последние десятилетия возрос интерес к таким еёновым областям, как синергетика, динамический хаос и самоорганизация. В этихветвях физики зачастую используется оригинальный математический аппарат, а всочетании с возрастающей мощностью компьютеров и возможностей «численногоэксперимента» предсказательная сила их оказывается вполне «науровне», наряду с традиционными физическими теориями.

Вто же время возникли некоторые проблемы, лежащие скорее в области нематематики, а философии физики. Различные физические теории – старые и новые –«не стыкуются» друг с другом в отношении определённых фундаментальныхпонятий и явлений – в частности, детерминизма и необратимости времени.

Намакроскопическом уровне необратимость времени входит не только в «новуюфизику», но, например, и в разработанную в прошлом веке термодинамику.Трудности возникают при перекидывании моста с классических механических моделей,основанных на обратимых во времени гамильтоновых уравнениях, к явнодиссипативному, необратимому, поведению реальных физических систем и теориям,их описывающим. Это один пример.

Другойпример физической проблемы философского плана – возникновение хаотическогоповедения у простых систем, описываемых детерминистскими уравнениями движения.И вновь – существующие теории хаоса вполне эффективно работают и описываюттакие системы, но «моста» к классической части физики нет. Откудаберётся хаос в детерминированных системах?

Даннаяработа посвящена взглядам на эти вопросы, развиваемым так называемой«брюссельской школой», идейным руководителем которой является известныйбиофизик, синергетик, лауреат Нобелевской премии по химии за 1977 г. ИльяПригожин.

Основнаяособенность научной концепции, развиваемой И.Пригожиным – необратимость временина микроскопическом уровне. Не отрицая ни законов, ни результатов традиционнойфизики, Пригожин предлагает новую интерпретациюэтих результатов. Технически это выражается как поиск решений всё тех жеуравнений (уравнений Гамильтона, Лиувилля, Шрёдингера и т.д.) – но в новом классе функций, в новом функциональном пространстве.

Вразделе 1 настоящей работы рассматриваются примеры классического динамическогохаоса в простейших математических моделях сдвига Бернулли и преобразованияпекаря (неустойчивость по начальным условиям), а также фундаментальное свойствонеинтегрируемости многих динамических систем (теорема Пуанкаре), такжеприводящее к хаотическому поведению.

Раздел2 посвящён проблемам сводимости «макроскопического» хаоса к«микроскопическому» и проблеме обратимости времени. Существенно, чтои в классической механике, и в копенгагенской интерпретации квантовой механикиописание необратимого  поведениямакроскопических систем исходя из обратимых микроскопических законовнаталкивается на существенные трудности.

Вразделе 3 вкратце описаны основные интерпретации квантовой механики:копенгагенская, статистическая, многомировая интерпретация Эверетта. Основноеже внимание уделяется брюссельской интерпретации квантовой механики, развиваемойИ.Пригожиным. Особенности её математического аппарата поясняются на простыхпримерах динамических систем, уже рассмотренных в предыдущих разделах. Общаяконцепция неунитарной эволюции приводит к тому, что единственно адекватнымстановится статистическое описание систем – как классических, так и квантовых.Для случая последних проясняются некоторые известные парадоксы известныхинтерпретаций квантовой механики, связанные с ролью внешнего наблюдателя.

Ксожалению, идеи И.Пригожина требуют для своего изложения (даже в популярномвиде) существенного использования математического аппарата, что привело кнекоторой перегруженности текста формулами. Автор, однако, надеется, что«лес» за «деревьями» не скрылся, и основные положенияфизической концепции Брюссельской школы нашли отражение в настоящей работе.

1. ХАОС

Их либе жизнь и обожаю хаос...

И.Бродский, «Два часа в резервуаре»

   1.1 Классический динамический хаос:неустойчивость по начальным условиям

Хаотическоеповедение может возникать даже в очень простых системах, например, изфизических моделей  – в колебанияхсферического маятника с двумя степенями свободы. Мы для начала рассмотрим дажеещё более простые математические модели с дискретным временем – сдвиг Бернуллии преобразование пекаря.

СдвигБернулли представляет собой отображение в одномерном пространстве на интервале (0,1) по закону

xn+1=2xn(mod1).

Этоуравнение движения детерминистично: по заданному xn однозначно вычисляется xn+1. При этом, однако, сдвиг Бернулли не являетсяобратимым отображением. Симметрия во времени нарушена ещё на уровне уравнениядвижения. Этим сдвиг Бернулли отличается от динамических систем с обратимымиуравнениями движения.

СдвигБернулли представляет собой пример детерминистического хаоса. Можно представитьпримеры последовательностей, начинающихся с какого-нибудь произвольного числа,например:

{0.13;  0.26; 0.52;  0.04;  0.08; 0.16;  0.32;  0.64; 0.28...   }

и

{0.14;  0.28; 0.56;  0.12;  0.24; 0.48;  0.96;  0.92; 0.84… } –

как видим,незначительное отличие в начальных условиях уже на 4-м шаге порождаетсущественное различие траекторий, а в дальнейшем их поведение совершенноразлично.

Легкопоказать, что со временем разойдутся траектории любых двух сколь угодно близкихточек. Запишем число x в виде двоичной дроби:

x=0.u–1u–2u–3...u–k...=u–1/2+ u–2/22 + u–3/23 +… + u–k/2k+ ...

Описанноевыше отображение соответствует сдвигу u–k'=u–(k+1), откуда становится понятным название «сдвиг Бернулли». Видно, чтонулевой разряд числа при этом теряется, что соответствуетне-взаимооднозначности отображения.

Описаниеэволюции динамической системы типа сдвига Бернулли в терминах траектории неадекватно,так как для адекватности траектория должна оставаться «почти одной и тойже» при незначительном изменении начальных условий.

Вданном же случае имеет смысл обратиться к статистическому описанию, введяплотность вероятности <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r

(x)пребывания системы в каждой точке x интервала (0,1).Отображение представляет собой оператор U,действующий на эту функцию:

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">r

n+1=U<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">rn(x)= ( <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">rn(x/2)+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">rn((x+1)/2) )/ 2.

 

Оказывается,что при многократном применении оператора отображения к произвольному распределениюплотности вероятности оно стремится к константе:

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">r

n=Un<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r0(x)<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">µ(x)=const.

 В дальнейшем мы ещё вернемся к отображениюБернулли и свойствам его оператора, а пока рассмотрим другую простую динамическуюсистему, теперь уже двумерную, называемую преобразованием пекаря:

<img src="/cache/referats/2637/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

Правило,определяющее преобразование пекаря, очень просто. Сначала квадрат со стороной,равной 1, сплющивается впрямоугольник длиной 2 и высотой 1/2, затем правая половина полученногопрямоугольника накладывается на левую, образуя новый квадрат. Процесс в чём-тоаналогичен размешиванию теста, отсюда и название.

Вотличие от сдвига Бернулли преобразование пекаря обратимо во времени. Однакооно точно так же порождает хаотическое движение, связанное с неустойчивостью поначальным условиям.

Преобразованиепекаря сводится к сдвигу в двусторонней двоичной последовательности:

x0y = ....u–k...u–3u-2u–1u0u1u2...uk....,

uk' = u–(k+1).

Видно,что при этом никакие двоичные разряды не теряются, что и соответствуетобратимости преобразования пекаря во времени.

Аналогичносдвигу Бернулли, преобразование пекаря порождает динамический хаос, и описаниедвижения точки в терминах траекторий также неадекватно.

Вслучае преобразования пекаря описание эволюции системы в статистическихтерминах даже более «физически осмысленно», чем для сдвига Бернулли.Дело в том, что теперь, в двумерном случае, можно рассматривать координатнуюплоскость как фазовое пространство некоторой динамической системы с однойстепенью свободы: ось x соответствуеткоординате, а ось y – импульсу.Аналогия с «физическими» динамическими системами усиливается ещё итем, что выполняется теорема Лиувилля: сохраняется объём в фазовомпространстве. Другими словами, взяв ансамбль точек внутри некоторой области ипроделав произвольное количество преобразований пекаря, мы обнаружим тоже самоеколичество точек внутри некоторой другой области (форма её при этом оченьсильно изменится и станет крайне замысловатой). Объём этой области (в нашемдвумерном случае ему соответствует площадь) останется неизменным.

Несмотряна обратимость преобразования пекаря во времени, эволюция при t <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®

+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">µи при t <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">®–<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">µоказывается различной [1,c.114].

Кромеописанных выше, существует ещё много сравнительно простых моделей динамическогохаоса. Однако мы воздержимся от их подробного рассмотрения, и перейдём теперь кпричинам, лежащим в основе непредсказуемого поведения физических систем.

1.2Классический хаос: неинтегрируемые системы Пуанкаре

Чемпростое отличается от сложного? Традиционный ответ содержит ссылку на иерархию.На одном конце шкалы мы находим такие объекты, как маятник, подчиняющийсяпростым детерминистским законам. На другом конце шкалы находятся люди и ихсообщества. Между этими полюсами можно мысленно вписать целую иерархию«комплексификации» – возникновения сложного из простого. Вдействительности же дело обстоит даже более тонко: простое и сложное могутсосуществовать вместе, не будучи связаны между собой иерархически.

Чтокасается человеческих сообществ, теория их поведения крайне трудно поддаётсяхоть какой-нибудь математизации и заслуживает отдельного рассмотрения, внерамок настоящей работы. Пример же хаотического поведения простейших физическихсистем типа маятника будет рассмотрен ниже.

Приисследовании того, как простое относится к сложному, обычно широко используетсяпонятие аттрактора, то есть конечного состояния или хода эволюции диссипативнойсистемы. Смысл этого понятия был глубоко преобразован современной физикой иматематикой. В прошлом считалось, что все системы, эволюция которых связана ссуществованием аттрактора, одинаковы. Ныне понятие аттрактора связывают сразнообразием диссипативных систем.

Идеальныймаятник без трения не имеет аттрактора и колеблется бесконечно. С другойстороны, движение реального маятника – диссипативной системы, движение которойвключает трение, – постепенно останавливается в положении равновесия. Этоположение является аттрактором. Аналогичным образом, аттрактором является исостояние термодинамического равновесия: ансамбль из миллиардов и миллиардовчастиц, образующих изолированную систему, эволюционирует к состояниюравновесия, описание которого зависит лишь от немногих параметров, таких кактемпература и давление.

Идеальныймаятник служит примером так называемой структурной неустойчивости: в отсутствиетрения аттрактор не существует, но введение даже самого незначительного тренияизменяет движение маятника и вводит аттрактор.

Чтобыпредставить аттрактор геометрически, обычно вводят пространство, размерностькоторого совпадает с числом переменных, необходимых для описания системы. Этомогут быть координаты, импульсы, различные термодинамические переменные. Вовведённом пространстве равновесное состояние диссипативных систем соответствуетточечному аттрактору. То же относится и к стационарным состояниям систем,близких к термодинамическому равновесию и удовлетворяющим теореме о минимальномпроизводстве энтропии. Во всех случаях, каково бы ни было первоначальноеприготовление системы, её эволюция может быть описана траекторией, ведущей източки, которая представляет начальное состояние, к аттрактору. Таким образом,конечная точка – аттрактор – представляет собой финальное состояние всехтраекторий.

Невсе диссипативные системы приводят к одной-единственной конечной точке.Например, сильно неравновесная диссипативная структура, известная под названием«химические часы», эволюционирует не к какому-нибудь состоянию, а кустойчивому периодическому режиму. Такая ситуация приводит к необходимостиобобщения идеи аттрактора: аттрактор более не точка, а линия, описывающая периодическоево времени изменение концентрации химических веществ. Примеры подобныхаттракторов легко найти, например, и в радиофизике – ими являются предельныециклы автогенераторов, – и во многих других разделах естествознания.

Системас предельным циклом остаётся предсказуемой и потому допускает простое описание.Но за этой простотой кроются неожиданные свойства. Нетрудно представить себехимическое равновесие – множество химических процессов, компенсирующих другдруга подобно тому, как в состоянии демографического равновесия рождаемостькомпенсирует смертность. Но воображение бессильно представить себе, как огромныеколичества молекул, взаимодействующих только через столкновения, начинают вдругдействовать «дружно» – так, что среда периодически изменяет свойцвет.

Вдругих случаях, пытаясь построить изображение аттрактора, мы получим не точкуили замкнутую линию, а поверхность или объём. Поворотным же событием сталооткрытие аттракторов, не относящихся к столь простым геометрическим объектам –так называемым странных аттракторов. В отличие от линии или поверхности,странные аттракторы представляют собой фрактальные объекты, характеризующиесядробной размерностью.

Странныеаттракторы были обнаружены в поведении многих динамических систем, описываемыхдетерминистическими уравнениями движения. Например, они возникают для такназываемого сферического маятника – обыкновенного грузика на нитке, которыйсовершает колебания не в плоскости, а по поверхности полусферы. При внесениивозмущений в виде колебаний точки подвеса в некоторый критический момент(зависящий от частоты возмущения) движение маятника становится хаотическим, аего траектория описывается странным аттрактором [1, с.83].

Корреляционныйанализ временны'х последовательностей, характеризующих работу человеческогомозга, изменения климата на планете за миллионы лет и курса акций на биржетакже приводит к обнаружению странных аттракторов. Впрочем, при наличииогромного количества внешних причин, влияющих на поведение всех этих систем,случайность их поведения вроде бы удивления не вызывает, поэтому пока обратимвнимание на более загадочное явление. Откуда возникает хаотическое поведение вслучае сферического маятника?

Какбыло показано выше, хаотическое поведение отображений типа сдвига Бернуллисвязано с неустойчивостью по начальным условиям, а необратимость их во времени– с потерей информации при сдвиге двоичной записи числа. Можно, однако,возразить, что приведённые примеры отображений несколько искусственны, так какв природе не встречается подобных дискретных процессов, да и«вычислительной мощности» природы не хватит на выполнение стольмудрёной операций, как модульная арифметика.

Оказывается,однако, что и на уровне решения обычных уравнений движений (вытекающих из законовНьютона) для того же маятника возможно получение неустойчивых решений,связанных с так называемой неинтегрируемостью системы по Пуанкаре.

Основнаяпроблема классической механики состоит в расчёте движения взаимодействующих телна основе их уравнений движения (в частном случае, например, это может бытьзакон Ньютона F=ma). Обобщение ньютоновской механики наболее сложные системы показало, что более удобной формой описания является независимость от времени пространственной траектории системы (в нашем примере –координаты), а движение точки, изображающей систему, в пространстве вдвоебольшей размерности, чем обычное «физическое». В общем случаесостояние динамической системы описывается координатами q1, ..., qs, которые являются независимымипеременными, и соответствующими им импульсами p1, ..., ps. Преимуществом такого подходаявляется существенное упрощение уравнений движения.

Центральнаявеличина всей гамильтоновой механики – функция Гамильтона, или гамильтониан –это, в простейшем случае, выраженнаячерез координаты и импульсы энергия системы (Строгое изложениегамильтоновой механики – см. [3]). В гамильтоновском описании число независимыхпеременных удваивается, но уравнения движения существенно упрощаются.Рассмотрим систему N точек. Каждой из3N координат N точек соответствует каноническое уравнение движения <img src="/cache/referats/2637/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">  <img src="/cache/referats/2637/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> рассмотрим свободные, то есть невзаимодействующие, частицы. Гамильтониандля них зависит только от импульсов (потенциальной энергии нет). Тогда изканонических уравнений следует, что импульсы постоянны во времени (<img src="/cache/referats/2637/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Чтобыввести понятие интегрируемой системы, обратимся к другому простому примеру –маятнику на пружинке, одномерному гармоническому осциллятору. Гамильтониан длянего имеет вид <img src="/cache/referats/2637/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">k – жёсткостьпружины, q – смещение груза отположения равновесия. Чтобы упростить уравнения движения, введём новыепеременные <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a

и J вместо старых q и p:

<img src="/cache/referats/2637/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

<img src="/cache/referats/2637/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

где <img src="/cache/referats/2637/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">a

называетсяугловой переменной, J – переменнойдействия. В переменных угол–действие гамильтониан принимает простой вид: H=<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">wJ. Он теперь зависит только от нового импульса –переменной действия. В результате, как и в случае свободных частиц, <img src="/cache/referats/2637/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/2637/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

Переходот переменных p, q к переменным J, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a

называетсяканоническим преобразованием. Вданном случае оно позволило исключить из гамильтониана член, ответственный запотенциальную энергию. Аналогичное преобразование можно иногда проделать и вслучае системы со многими степенями свободы, исключив из гамильтонианамежчастичное взаимодействие, и выразить движение в циклических переменных. Их название относится к периодическомухарактеру движения, который делается явным в таких переменных.

Особуюважную роль играют частоты системы <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">w

1, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w2, ..., <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">wn. Именночерез эти частоты мы приходим к понятию резонанса, имеющего решающее значениедля теоремы Пуанкаре.

Движениеинтегрируемой системы с двумя степенями свободы можно представить на торе.Возможны две ситуации. Если для некоторых целых n1 и n2выполняется условие  n1<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w

1+ n2<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">w2=0, то есть частоты соизмеримы, мы имеем резонанс, идвижение на торе периодическое – траектория замкнутая. Если же эта сумма ни прикаких комбинациях n1 и n2 не равна нулю, тотраектория навивается на поверхность тора и никогда не замыкается. В концеконцов, как показано Пуанкаре, такая траектория проходит сколь угодно близко кпроизвольной точке на поверхности тора. Траектория при этом называется всюдуплотной, а движение – квазипериодическим. Квазипериодическое движение оченьсложно выглядит, но на самом деле является вполне детерминированным.

ДоПуанкаре полагалось, что все динамические системы являются интегрируемыми.Однако в 1889 г. Пуанкаре показал, что в общем случае невозможно получитканоническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, котороеприводило бы к циклическим переменным. Например, система двух тел (Земля –Солнце) интегрируема, а вот система трёх тел (Земля – Солнце – Юпитер)неинтегрируема. Короче говоря, подавляющее большинство динамических системнеинтегрируемы.

Даннаяработа не посвящена анализу математических методов, которыми Пуанкаре доказывалсвою теорему. Отметим только, что он сформулировал свой вопрос в терминахтеории возмущений, то есть пытался для гамильтониана вида

H(J,<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a

) = H0(J)+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">lV(J,<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a)

определитьновые переменные действия J' вида J' = J + <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

J1 + <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l2J2+ ..., аналитически переходящие висходные при стремлении константы связи <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l(параметра, определяющего интенсивностьвзаимодействия) к нулю. Если такая замена возможна, то мы можем исключитьпотенциальную энергию возмущённой системы и ввести новый гамильтониан,зависящий только от J'.Интегрирование возмущённой системы было бы в этом случае столь ж простым, таккак новые переменные действия были бы постоянными движения. Однако Пуанкарепоказал, что такая замена возможна далеко не всегда.

Предположим,что Пуанкаре удалось бы доказать интегрируемость всех динамических систем. Этоозначало бы, что все динамические движения изоморфны движению свободных (невзаимодействующих) частиц. Разумеется, такая модель не оставляет никакого местадля возможности макропроцессов, которые мы наблюдаем ежеминутно. Винтегрируемом мире не нашлось бы места ни для самоорганизации, ни для когерентности(в случае, например, диссипативного хаоса).

Пуанкарене только доказал неинтегрируемость, но и указал на её причину, а именно – насуществование резонансов между степенями свободы системы. Именно резонансысильно связывают степени свободы и не дают возможность исключитьвзаимодействие. В качестве примера рассмотрим систему с двумя степенямисвободы, гамильтониан которой имеет вид

H = H0(J1,J2)+<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">l

V(J1,J2,<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">a1,<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a2),

представимыйв виде суммы невозмущённого интегрируемого гамильтониана и малого возмущения <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">l

V. Как показал Пуанкаре, теория возмущений неизбежноприводит к появлению членов с «оласными» знаменателями вида 1/(n1<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">w1+n2<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w2). Если частоты соизмеримы и существуют резонансы, точлены ряда теории возмущений расходятся, и им приходится приписывать значение,равное бесконечности. Но это означает, что в физике описания что-то «нетак»!

Проблемамалых знаменателей была известна ещё астрономам в XIX в. Теорема Пуанкарепоказала, что основная трудность – появление расходимостей в решении задачдинамики – не может быть устранена и делает невозможным введение циклическихпеременных для большинства динамических проблем, начиная с проблемы трёх тел.

Открытиенеинтегрируемости вызвало определённый пессимизм и недоумение в рядах многихфизиков. Макс Борн, например, заметил: «Было бы весьма странно, если быПрирода укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическимитрудностями проблемы многих тел». Только с появлением работ Колмогорова,продолженных Арнольдом и Мозером (так называемой теории КАМ), проблему неинтегрируемостиперестали оценивать как сопротивление Природы прогрессу знания, а началирассматривать как новый отправной пункт дальнейшего развития динамики.

ТеорияКАМ рассматривает влияние резонансов на траектории. Простой случайгармонического осциллятора с постоянной частотой, не зависящей от переменныхдействия J, является исключением: частоты, вообще говоря, зависят от значений,принимаемых переменными действия. А посему в одних точках фазового пространствадинамической системы резонанс может существовать, а в других – нет. Резонансысоответствуют рациональным соотношениям между частотами, классический жерезультат теории чисел говорит, что мера рациональных чисел по сравнению смерой иррациональных равна нулю. Это означает, что резонансы встречаются крайнередко. Кроме того, в отсутствие возмущений, как было сказано выше, резонансыприводят к периодическому движению, а в общем случае мы имеемквазипериодическое движение (нерезонансные торы). Резюмируя, можно сказать, чтопериодические движения – не правило, а исключение.

(Интереснобыло бы предположить, какими путями развивалась бы эволюция жизни на Земле,если бы движение Земли вокруг Солнца не носило периодического характера.Возможна ли, например, жизнь в условиях планетной системы двойной звезды? Авторреферата полагает, что если «крайние» условия, в которые попадала бытакая планета, не были слишком уж жёсткими, то жизнь нашла бы возможностьприспособиться и эволюция была бы всё-таки возможна. Однако все эти рассужденияоснованы лишь на оптимизме автора и его вере в глубокую приспособляемость всегоживого к внешним условиям, и имеют крайне мало отношения к объявленной взаглавии теме работы).

Привведении возмущений характер движения на резонансных торах резко изменяется (потеореме Пуанкаре), в то время как квазипериодическое движение изменяетсянезначительно, по крайней мере, при малом параметре возмущения <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">l

. Основнойрезультат теории КАМ состоит в том, что теперь мы имеем два совершенноразличных типа траекторий: слегка изменившиеся квазипериодические траектории истохастические траектории, возникшие при разрушении резонансных торов.Появление стохастических траекторий подтверждается численными экспериментами[1, c.127].

ТеорияКАМ не приводит к динамической теории хаоса. Её главный вклад в другом: онапоказала, что при малых значениях параметра <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

мы имеемпромежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярныеи стохастические. В дальнейшем нас будет в основном интересовать то, что происходитв предельном случае, когда снова останется только один тип траекторий. Этаситуация соответствует так называемым большимсистемам Пуанкаре (БСП), к рассмотрению которых мы и переходим.

Прирассмотрении предложенной Пуанкаре классификации динамических систем наинтегрируемые и неинтегрируемы мы отметили, что резонансы встречаются редко.При переходе к БСП ситуация радикально изменяется: в БСП резонансы играютглавную роль.

Рассмотримв качестве примера взаимодействие между какой-нибудь частицей и полем. Полеможно рассматривать как суперпозицию осцилляторов с континуумом частот. Вотличие от поля, частица совершает колебания с одной фиксированной частотой <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">w

1. Переднами – пример неинтегрируемой системы Пуанкаре. Резонансы будут возникатьвсякий раз, когда <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w1=<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">wk.Испускание излучения обусловлено именно такими резонансными взаимодействиямимежду заряженной частицей и полем. Испускание излучения представляет собойнеобратимый процесс, связанный с резонансами Пуанкаре.

Новаяособенность состоит в том, что частота <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w

kестьнепрерывная функция  индекса k, соответствующая длинам волносциллятора поля. Такова специфическая особенность больших систем Пуанкаре, тоесть хаотических систем, у которых нет регулярных траекторий, сосуществующих схаотическими траекториями. БСП соответствуют в действительности большинствуфизических ситуаций, с которыми мы сталкиваемся в природе. Но БСП позволяюттакже исключить расходимости Пуанкаре, то есть устранить основное препятствиена пути к интегрированию уравнений движения. Этот результат, заметноприумножающий мощь динамического описания, разрушает отождествлениеньютоновской или гамильтоновой механики и обратимого по времени детерминизма вдухе Лапласа. Уравнения для больших систем Пуанкаре в общем случае приводят кпринципиально вероятностной эволюции с нарушенной симметрией во времени. Болееподробно вопросы необратимости времени рассмотрим в следующем разделе.

1.3Статистическое описание. Диссипативный хаос

Можноописывать мир в терминах траекторий (в классической физике) или волновыхфункций (в квантовой механике). Почти сто лет назад Гиббс и Эйнштейн ввели ещёодин тип описания – статистическое описание в терминах ансамблей. Описаниеотдельной динамической системы заменяется описанием ансамбля систем, которыевсе соответствуют одному и тому же гамильтониану и различаются только начальнымиусловиями эволюции. Для введения ансамблевой точки зрения были две основныепричины. Во-первых, описание в терминах ансамбля позволило удобно вычислятьсредние значения. Во-вторых, понятие ансамбля стало необходимым для описаниясистемы, достигшей термодинамического равновесия. Оказалось, чтотермодинамические свойства можно понять только в терминах ансамблей, но отнюдьне в терминах отдельных траекторий или волновых функций. Ансамблевый подходприменим ко всем динамическим системам, интегрируемым и неинтегрируемым,устойчивым и неустойчивым.

Основнойвеличиной в ансамблевом подходе становится распределение вероятностей. Однаконичто не мешает вернуться как к предельному случаю. Подход Гиббса–Эйнштейна –альтернативный, но эквивалентныйспособ представления законов физики, он является сводимым статистическим описанием.

Концепциюнесводимых статистических описаний, развиваемую школой И.Пригожина, мы подробнеерассмотрим в третьем разделе. Пока что вкратце обратимся к классическомудиссипативному хаосу, для которого статистическое описание является единственновозможным подходом. Введём также некоторые понятия, необходимые для дальнейшихрассуждений о статистическом описании. (Подробнее –

еще рефераты
Еще работы по физике