Реферат: Плоская задача теории упругости

Нижегородский государственный

архитектурно-строительный университет.

Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.

Расчетно-проектировочная работа

Плоская задача теории упругости

Выполнил: Студент гр. 163 А.В.Троханов

Проверила: Т.П. Виноградова

Н.Новгород 2002 г.

Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.

Схема закрепления пластины.

Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х, у)=а1 х3 у+а2 х3 +а3 х2 у+а4 х2 +а5 ху+а6 у2 +а7 ху2 +а8 у3 +а9 ху3

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений sх, sу, tху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.

Расчет.

Дано: а3 =1/3, а4 = 1

Е=0,69*106 кг/см2

n=0,33

Решение :

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф(х, у)=

Поскольку производные

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.

sх =

sу =

tху =

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.

4.Проверяем равновесие пластины

Уравненения равновесия:

Sх=0 -Т5 +Т6 =0 > 0=0

Sy=0 Т4 +Т3 +Т2 -Т1 -N2 +N1 =0 > 0=0

SM=0 M (T4 T3 )=-M(T2 T1 ) > 0=0

удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.

5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. sх =0, sу =-1,33, tху =3,33,

Найдем главное напряжение по формуле:

=-0,665±3,396 кгс/см2

smax =sI =2,731 МПа

smin =sII = -4,061 МПа

Находим направление главных осей.

aI =39,36o

aII =-50,64o

6.Определяем компоненты деформации

7.Находим компоненты перемещений

Интегрируем полученные выражения

j(у), y(х) –некоторые функции интегрирования

или

После интегрирования получим

где с1 и с2 – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид

Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:

1) v =0 или


2) v =0 или

3) u =0 или

Окончательные выражения для функций перемещений u и v

Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
координаты Х(см) -10 10 10 10 -10 -10
У(см) 10 10 10 -10 -10 -10
V*10-4 3,8 0,77 0,58 -0,19 0,19 3,2 3,1
U*10-4 -3,1 -3,5 -3,9 -1,9 -0,23 -0,45 -1,8 -1,9

Масштаб

— длин: в 1см – 2см

— перемещений: в 1см — 1*10-4 см

еще рефераты
Еще работы по физике