Реферат: Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

         

          З Е Н О Н   Э Л Е Й С К И Й ,  Е Г О  П А Р А Д О К С Ы

                  И    П О Н Я Т И Е   Б Е С К О Н Ч Н О С Т И

Пифагорийская школа. Пифагоросновал братство религилзного, философского и научного характера с политическимуклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся не только клегендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 г. до н. э.

В  своейкосмологической концепции Пифагор отказался от монистической идеи первичнойсубстанции, породившей всю Вселенную. Его концепция дуалистична, и в напряжениимежду двумя противоположными принципами - ограниченное — неограниченное, нечетное — четное, единое — множественное, прямое — кривое, квадратное - продолговатое -  он видел причинувсякого развития.  Мало интересуясьматериальными  элементами, которые моглибы дать представление о  генезисеразличных составных частей Вселенной, Пифагор, увлеченный глубоким религиознымтечением, охватившим Грецию того времени, стремился дать глобальную картинукосмоса в целом. Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует егодевиз: “Все есть число”.

Наиболее  важным средиприписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виденесоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи сисследованием геометрического среднего а: в = в: с, величиной, котораяинтересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равногеометрическое среднее единицы и двойки, двух священных символов?  Это вело к изучению отношения сторон идиагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается “числом”,то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью),а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой. Другими словами, иррациональныечисла были открыты, когда стало ясно, что некоторые отношения нельзя выразить спомощью целых чисел. Это открытие ознаменовало крушение пифагорейской точкизрения о представимости мира с помощью целых чисел и вызвало первый кризис вистории математики.

Элеаты. Влияние Элейской школы (V в. дон.э.) на  формирование абстрактнойнаучной мысли огромно. Основатель этой школы, Парменид, был первым, кто строгоразличал чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтациимежду опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не принялипифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. еслидискретные объекты можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело вслучае непрерывных  величин, таких, какдлины, площади, объемы и.т.д., которые в общем случае можно интерпретироватькак дискретные наборы единиц, лишь если допускать существование бесконечногочисла очень малых элементов, из которых эти объекты состоят. В качестве реакциина эту последнюю концепцию Зенон Элейский (род. между 495 и 480 гг. до н.э.)сформулировал четыре парадокса, иллюстрирующих невозможность бесконечной делимостии всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимыхчастей. Общая цель его аргументов показать те нелепости, к которым приходят,когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятыхв бесконечном множестве. 

Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивногопредставления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, атакже от тех трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явноопределить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены  лишь в XIX в., когда математики захотелисистематизировать достижения  своейнауки, и им пришлось пересмотреть основания, чтобы подвести под математическоездание прочный фундамент.

Числа и геометрические величины.Мы видели,что пифагорейцы уподобляли числа геометрическим точкам: единицу — одной точке,некоторое другое число — группе точек, образующих некоторую геометрическую фигуру.Каждое число у них было дискретным набором единиц;  таким образом, пифагорейская  арифметика ограничивалась изучением положительныхцелых чисел и отношений целых чисел, которые не считались числами.

Всякая непрерывная величина — линия, поверхность, тело — могла быть отождествлена с некоторым соответствующим ей числом -  “количеством”(длина, площадь, объем).  Подобно тому как единица была общей меройцелых чисел,  величины должны были иметьобщую единицу измерения — быть  с о и з ме р и м ы м и — и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющихее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами,интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не привела ибыстро провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытиеиррациональных чисел.В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к сторонеравно<img src="/cache/referats/457/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/457/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">  вообще не имеет статуса в пифагорейскойарифметике. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения иназываются  н е с о и з м е р и м ы ми.  Взаимное соответствие между величинойи числом, знакомое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числусоответствует некая длина, то какие числа нужно сопоставить несоизмеримым величинам?

Парадоксы Зенона и понятие бесконечности. Именно в связи соткрытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятиебесконечности. В своих поисках общей единицы измерения для всех величин  греческие геометры могли бы рассмотретьбесконечно делимые величины, но идея бесконечности приводила их в глубокоесмятение. Если даже рассуждения о бесконечном проходили успешно, греки в своихматематических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затрудненияперед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и непрерывного, противоположныхпонятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах ЗенонаЭлейского.

Доводами Зенона были “апории” (тупики); они должны были продемонстрировать, что обапредположения заводят  в тупик.  Эти парадоксы известны под названием А х и лл е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированытак, чтобы<img src="/cache/referats/457/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> подчеркнутьпротиворечия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такиепротиворечия.

Апория “Ахилл и черепаха” противостоит идее бесконечной делимостипространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой иблагородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее егоот точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние междуАхиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество. Пока Ахиллпробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет ещенемного вперед, и т. д. Если пространство бесконечно делимо ,  Ахилл никогда не сможет догнать черепаху.Этот парадокс  построен на трудности суммированиябесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представитьсебе, что эта сумма равняется конечной величине.

Еще более явным этот момент становится в апории“Дихотомия”:  прежде чем пройти некоторыйотрезок, движущееся тело вначале должно пройти половину этого отрезка, затемполовину половины, и так далее до бесконечности. Зенон мысленно строит ряд 1/2+ (1/2)2 + (1/2)3 + ..., сумма которого равна  1, но ему не удается интуитивно постичьсодержание этого понятия. Современные представления о  пределе и сходимости  ряда позволяют утверждать, что начиная с некоторого момента расстояние междуАхиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа <img src="/cache/referats/457/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Парадокс “Стрела” основан на предположении, что пространствои время  составлены из неделимыхэлементов, скажем “точек” и “моментов”. В некий “момент” своего полета стрела находится в некоторой “точке” пространствав неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрелавообще не может находиться в движении.

Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значениеследует придать отношению <img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/457/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Таким образом, все эти парадоксы связаны с понятием предела;оно стало центральным понятием исчисления бесконечно малых.

Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю, который привелих в своей “Физике”, чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечностьотносительно сложения и бесконечность относительно деления и устанавливает, что континуум бесконечно делим.Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интервал времени можно пройтибесконечно делимое расстояние. Парадокс “Стрела”, который “является следствиемпредположения, что время составлено из моментов”, становится нелепым, если принять,что время бесконечно делимо.

                              Список литературы

1. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средниевека. М.-Л.,1932

2. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики.М., Наука,1978

3. Богомолов С.А. Актуальная бесконечность. М.-Л.,1934

<Орлов Святослав Григорьевич, РГГУ, 1 курс, предмет:“История матаматики”, 1996 г.>

еще рефераты
Еще работы по философии