Реферат: Економіко математичне моделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів

--PAGE_BREAK--Вивчення зарубіжного та вітчизняного досвіду економіко-математичного моделювання привело до висновку, що в умовах ринкової економіки для моделювання цінових процесів переважно використовуються методи фінансової математики, що ґрунтуються на теорії випадкових процесів. Одним з напрямків фінансової математики є дослідження процесу формування цін на деривативи. На підставі дифузійної моделі ринку Ф. Блеком та М. Шоулзом була розроблена модель визначення ціни опціону. Використання отриманих цими вченими результатів при формуванні стратегій хеджування набуло значного поширення серед учасників ринку, що спричинило зворотній вплив на процес ціноутворення опціону.
У розділі 2 “Побудова та дослідження динамічних моделей визначення ціни опціону з урахуванням особливостей програмної торгівлі” досліджені сучасні моделі прогнозування ціни опціону (біноміальна, лог-нормальна, мартингальна, Блека-Шоулза). На підставі проведеного аналізу побудовані моделі, що дозволяють визначити ціну опціону при наявності програмної торгівлі на ринку та операційних витрат, пов’язаних з реалізацією хедж-стратегій продавцем опціону. В процесі дослідження економічних властивостей ціни опціону автором була систематизована, математично сформульована та економічно обґрунтована система обмежень, що накладається на функцію ціни опціону. Зокрема, для ціни європейського опціону на купівлю у випадку, коли за базовим активом не сплачуються дивіденди, мають місце наступні обмеження:
" x≥0, "tÎ [0,T] х − Ke−r(T−t) ≤ C (x,t) ≤ x
де х − ціна базового активу; t − час, що пройшов з моменту укладення опціонної угоди; C (x,t) − функція залежності ціни опціону на купівлю від ціни базового активуx та часу t; T − час дії опціонної угоди, вимірюється в роках; K − ціна реалізації опціону; r − безризикова ставка, що неперервно нараховується.
В основі всіх існуючих моделей визначення ціни опціону лежать припущення щодо відсутності умов для укладання арбітражних угод та можливості формування нейтрального до ризику портфелю, який відображає виплати за опціоном й зміни цін на активи та опціони.
В результаті проведеного порівняльного аналізу сучасних підходів до прогнозування ціни опціону з’ясувалось, що найбільш загальним є підхід, заснований на теорії мартингалів, на основі якого можливо визначати ціну опціону будь-якого типу з будь-якою функцією виплат. На практиці широкого застосування набули модель Блека-Шоулза та її дискретний по часу випадок — біноміальна модель.
Визначення справедливої ціни має важливе значення в опціонній торгівлі. Це пов’язано з багатьма чинниками, в першу чергу з необхідністю виконання ринком строкових контрактів інформативної та координуючої функцій. Крім того, формування стратегій хеджування продажу опціону базується на інформації про майбутню ціну. Особливого значення в сучасних умовах набуло врахування додаткових чинників, які суттєво впливають на адекватність моделі. Тому предметом нашого дослідження стала методологія визначення справедливої ціни опціону із урахуванням особливостей програмної торгівлі.
При дослідженні запропонованих М. Блеком та Ф. Шоулзом методів прогнозування ціни опціону було з’ясовано, що в основі побудови моделі лежало припущення щодо можливості формування хедж-портфелю із базового активу та безризикових облігацій. Зауважимо, що на цьому припущенні базується побудова більшості моделей визначення ціни опціону. При застосування цієї моделі за таких припущень було виявлено, що кількість облігацій в хедж-портфелі завжди є від’ємною величиною. Економічно, від’ємна кількість облігацій в портфелі означає, що в початковий момент треба продати (а не купити) необхідну кількість облігацій, щоб за отримані кошти і опціонну премію купити базовий актив. Оскільки у продавця опціону облігацій для продажу може і не бути, то еквівалентом цієї операції пропонується розглядати отримання банківського кредиту.
Щоб усунути виявлений недолік, автором запропоновано скорегувати базові припущення щодо структури ринку і, відповідно, хедж-портфелю таким чином:
Як і в інших моделях припускається, що на ринку обертаються акції з ціновим процесом {Xt, t≥0}, який підпорядковується рівнянню
dXt =μXt dt +σXt dWt (1)
де {Wt, t≥0} − стандартний броунівський рух; μ,σ = const,μ − коефіцієнт росту,σ − коефіцієнт волатильності ціни базового активу. Припускається, що Х0>0 і за акціями не виплачуються ніякі дивіденди при 0 ≤ t ≤ T.
Замість того щоб припускати обіг на ринку безризикових облігацій, автором припускається, що у банку в момент укладання угоди можна отримати довільну кількість кредитів на суму B0>0 кожний під безризикову ставкуr, що неперервно нараховується і є сталою величиною. Позичену суму разом з нарахованими відсотками необхідно повернути наприкінці дії опціонного контракту. Обсяг кредитного боргу Bt в момент часу t становить B0ert.
У відповідності з цією корекцією припускається, що в момент часу t=0 укладається опціонний контракт європейського типу на купівлю однієї акції з ціною реалізації К та строком дії Т; при цьому покупцем опціону виплачується премія С0, що становить вартість опціону в початковий момент часу. Продавець опціону бере β0 кредитів на суму B0 кожний і інвестує отримані за кредитом кошти і премію за опціоном в γ0акцій. Таким чином, в початковий момент часу формується портфель π0= (β0, γ0), такий, що його вартість становить Π0 = γ0X0 − β0B0і дорівнює С0. Перед продавцем опціону постають два питання: якою має бути премія С0; якої стратегії хеджування слід дотримуватись при торгівлі цінними паперами, тобто якими мають бути коефіцієнти βt і γt в кожний момент часу дії опціонного контракту, щоб вартість портфеля πt, сформованого на основі цієї премії та з цими траекторіями коефіцієнтів хеджування, в момент часу Т дорівнювала виплатам по опціону, тобто ΠT≡ γTXT — βTBT= max{0, x− K}.
На підставі запропонованих автором припущень та з урахуванням обмежень на ціну опціонну отримана модель, яка співпадає з моделлю Блека-Шоулза:
<shapetype id="_x0000_t75" coordsize=«21600,21600» o:spt=«75» o:divferrelative=«t» path=«m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe» filled=«f» stroked=«f»><path o:extrusionok=«f» gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image001.wmz» o:><img width=«477» height=«159» src=«dopb309864.zip» v:shapes="_x0000_i1025"> (2)
Її точний розв’язок має вигляд:
<shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image003.wmz» o:><img width=«448» height=«52» src=«dopb309865.zip» v:shapes="_x0000_i1026"> (3)
де <shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image005.wmz» o:><img width=«568» height=«63» src=«dopb309866.zip» v:shapes="_x0000_i1027">
Проте структура хедж-портфелю у відповідності із зробленою корекцією змінюється таким чином: в кожний момент часу t необхідно тримати портфель, у якому буде β(Хt,t) кредитів та γ(Хt, t) акцій, де Хt − ціна акції в момент часу t, і функції β та γ визначаються за формулами:
<shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image007.wmz» o:><img width=«222» height=«48» src=«dopb309867.zip» v:shapes="_x0000_i1028"> <shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image009.wmz» o:><img width=«242» height=«51» src=«dopb309868.zip» v:shapes="_x0000_i1029"> (4)
Легкість та ефективність застосування на практиці результатів, отриманих Ф. Блеком та М. Шоулзом, обумовило появу на ринку програмної торгівлі, тобто торгівлі деривативами, хеджування яких відбувається за допомогою формування портфелю із структурою, що розраховується за формулами, аналогічними формулам (4).
Аналіз особливостей ведення програмної торгівлі показує, що існують деякі проблеми, які не враховані в класичній моделі Блека-Шоулза — проблема операційних витрат та наявності ефекту зворотнього зв’язку. Перша проблема пов’язана з тим, що при реалізації стратегій хеджування, тобто при динамічній зміні кількості базового активу у хедж-портфелі, продавець опціону має певні операційні витрати (маржа, комісійні, податки). На основі аналізу характеру їх оплати зроблено висновок, що найбільш впливовими є комісійні, які сплачуються посередникам за операції купівлі-продажу базового активу на ринку і становлять певний відсоток від суми транзакції. З урахуванням умови сплати комісійних у розмірі λ відсотків, автором отримано наступну модель визначення ціни опціону:
<shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image011.wmz» o:><img width=«566» height=«160» src=«dopb309869.zip» v:shapes="_x0000_i1030"> (5)
та знайдено її точний розв’язок:
<shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image013.wmz» o:><img width=«236» height=«38» src=«dopb309870.zip» v:shapes="_x0000_i1031"> (6)
тобто
<shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image015.wmz» o:><img width=«509» height=«56» src=«dopb309871.zip» v:shapes="_x0000_i1032"> (7)
де <shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image017.wmz» o:><img width=«352» height=«67» src=«dopb309872.zip» v:shapes="_x0000_i1033">
Відповідні стратегії хеджування обчислюються за формулами, аналогічними формулам (4).
Проведене в роботі дослідження характеру впливу операційних витрат на вартість опціону дозволило зробити наступні висновки. Було з’ясовано, що при відсутності операційних витрат, тобто при λ= 0, ціна опціону може розраховуватись за формулою Блека-Шоулза (3). Врахування майбутніх операційних витрат призводить до збільшення початкової премії за опціон і, як наслідок, зростає ціна опціону в кожний момент часу. Чим більшими є операційні витрати, тим більшою є ціна опціону.
Також досліджувалось питання, настільки суттєвим є вплив операційних виплат на ціну опціону. Це питання зводиться до оцінки функції Δ (x,t) =Cλ (x,t) −CBS (x,t) та характеру її залежності від параметрів. Максимальне значення по t функція Δ (x,t) набуває при t=0 при будь-яких фіксованих значеннях параметрів T, K, r,σ,λ:
max{Δ (x,t), tÎ [0, Т] }=Δ (x,0)
Тому замість оцінки функції Δ (x,t) оцінювалась функція δλ (x): =Δ (x,0).
В результаті автором були встановлені, математично доведені і економічно обґрунтовані наступні закономірності:
Зростання волатильності базового активу σ спричиняє збільшення впливу операційних витрат на ціну опціону, тобто
<shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image019.wmz» o:><img width=«351» height=«36» src=«dopb309873.zip» v:shapes="_x0000_i1034">
для будь-яких фіксованих значень Т, K, r,λ.
Зростання самих операційних витрат λ призводить до збільшення їх впливу на ціну опціону, тобто
<shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image021.wmz» o:><img width=«343» height=«37» src=«dopb309874.zip» v:shapes="_x0000_i1035">
для будь-яких фіксованих значень Т, K, r,σ. Зменшення безризикової ставки спричиняє зростання впливу операційних втрат і вплив операційних втрат є найбільшим, коли ставка дорівнює нулю, тобто
<shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image023.wmz» o:><img width=«324» height=«36» src=«dopb309875.zip» v:shapes="_x0000_i1036">
<shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image025.wmz» o:><img width=«303» height=«36» src=«dopb309876.zip» v:shapes="_x0000_i1037">
для будь-яких фіксованих значень Т, K,σ,λ.
Збільшення ціни реалізації K приводить до збільшення впливу операційних витрат, тобто
<shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image027.wmz» o:><img width=«357» height=«36» src=«dopb309877.zip» v:shapes="_x0000_i1038">
для будь-яких фіксованих значень Т, r,σ,λ.
При збільшенні строку дії Т опціонного контракту при невеликих значеннях безризикової ставки r вплив операційних витрат зростає, тобто
<shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image029.wmz» o:><img width=«334» height=«36» src=«dopb309878.zip» v:shapes="_x0000_i1039">
для будь-яких фіксованих значень K, σ,λ.
Виявлені закономірності свідчать, що вплив операційних витрат є вагомим і їм не можна нехтувати, особливо враховуючи те, що при великих обсягах торгівлі навіть невеликі значення корекцій Cλ −CBS суттєво впливають на кінцевий результат. Тому запропонована автором модель має важливе значення для правильної оцінки опціону, оскільки враховує ціну виконання продавцем опціону хеджуючих стратегій і, таким чином, дозволяє знизити ризики, пов’язані з продажем опціону.
Інша проблема, пов’язана з програмною торгівлею, викликана появою ефекту зворотнього зв’язку. Модель, що враховує наявність на ринку програмної торгівлі, була отримана К. Сіркаром та Дж. Папаніколау:
<shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image031.wmz» o:><img width=«532» height=«245» src=«dopb309879.zip» v:shapes="_x0000_i1040">
де ρ — питома вага програмних торговців на ринку, ε — коефіцієнт згладжування, що знаходиться з наступного рівняння:
<shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image033.wmz» o:><img width=«277» height=«56» src=«dopb309880.zip» v:shapes="_x0000_i1041">
Наведена нелінійна кінцево-крайова задача немає точного розв’язку.
В дисертації запропоновано метод знаходження наближеного аналітичного розв’язку при довільному значенні питомої ваги програмної торгівлі, який базується на комбінації методів Роте та Бубнова-Гальоркіна.
Ідея методу знаходження наближеного аналітичного розв’язку полягає в розбитті часу дії опціону на n рівних частин.
На кожному і-ому часовому шарі наближений розв’язок шукається у вигляді:
<shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image035.wmz» o:><img width=«588» height=«33» src=«dopb309881.zip» v:shapes="_x0000_i1042">
а відповідні коефіцієнти Аі з умови, щоб нев’язка
<shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image037.wmz» o:><img width=«564» height=«110» src=«dopb309882.zip» v:shapes="_x0000_i1043">
задовольняла наступну умову:
<shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«91408.files/image039.wmz» o:><img width=«118» height=«63» src=«dopb309883.zip» v:shapes="_x0000_i1044">
M>0 — деяке достатньо велике число, яке залежить від К, і таке, що C (x,t) =CBS (x,t) = x-Ke-r(T-t) прих ≥ М.
Отримані формули для знаходження коефіцієнтів Аі дозволяють знаходити значення ціни опціону на будь-якому часовому шарі.
В результаті проведеного дослідження було з’ясовано, що наявність на ринку програмної торгівлі спричиняє зростання ціни опціону і чим більшою є питома вага програмних торгівців, тим більший ефект зворотнього зв’язку. Зауважимо, що оскільки в нашій країні ринок строкових контрактів лише формується, на ньому ще немає торговців цінними паперами, які б вели програмну торгівлю, тобто ρ=0. В розвинених країнах відсоток цих торговців є значним і тому, як показують отримані результанти, їм не можна нехтувати.
У розділі 3 “Реалізація розроблених моделей ціноутворення з використанням сучасних інформаційних технологій” проілюстровані закономірності, властиві процесу ціноутворення для опціонів з різними параметрами, та проведена числова апробація запропонованих моделей на прикладі фондових і валютних опціонів, які використовуються на фінансовому ринку України.
Побудовані графіки відображають основні властивості функції ціни опціону та дозволяють проводити якісний аналіз цінових процесів, які відбуваються на ринку опціонів. Отримані емпіричні результати підтверджують теоретичні висновки, зроблені у розділі 2, надають уявлення про характер впливу параметрів опціону на процес ціноутворення і на формування хедж-портфелю та дозволяють використовувати при розрахунках метод номограми.
В основу дослідження покладено європейський опціон на купівлю однієї акції з наступними параметрами: Ks= 5, rs= 0.04, Тs = 0.5, σs = 0.4. На рис.1 представлений графік функції CBS та γBS для опціону Ōs = {σs, rs, Ks, Ts}.
Рис.1. Графіки функцій CBS та γBS для опціону Ōs
Цей рисунок ілюструє, що функція CBS є монотонно зростаючою по х. При t = Т графік ціни опціону є ламаною лінією − графіком функції max{0, x − K}; з наближенням до t = 0 графік згладжується, проте його характер не змінюється. Аналіз впливу зміни параметрів опціону на функцію CBS свідчить, що загальна поведінка функції не змінюється. Графіки функцій Cλ та Ĉ і подібні до графіка CBS і лежать вище нього. Рис.2 та рис.3 ілюструють вплив операційних витрат та програмної торгівлі на ціну опціону.
Рис.2. Графік різниці функцій Cλ і CBS при λ =0,01(2.1) та його перетини при t1=Т/4, t2=Т/2, t3=3Т/4 (2.2)
Аналіз рис.2 підтверджує властивості, аналітично отримані у розділі 2:
ціна опціону, яка враховує майбутні витрати, завжди більша за ціну опціону, розраховану за формулою Блека-Шоулза.
операційні витрати спричиняють найбільший вплив на зростання ціни опціону в момент укладання угоди. З часом вплив операційних витрат зменшується.
Аналогічним чином на ціну опціону впливає наявність на ринку програмної торгівлі, про що свідчить рис.3.
Рис.3. Графіки різниці функцій Ĉ і CBS при ρ =0,01та при t1=Т/4 (3.1), t2=Т/2 (3.2), t3=3Т/4 (3.3)
Результати отримані за допомогою програмного комплексу, розробленого автором в математичному редакторі Mathematica3.0.
З метою з’ясування можливості використання на фінансовому ринку України моделей прогнозування ціни опціону в роботі проведена числова апробація отриманих результатів.
У якості прикладу були розглянуті два типи опціонів:
фондовий опціон: базовий актив — акції Центренерго, ціна базового активу — найкраща ціна акції за день;
валютний опціон: базовий актив — американський долар, ціна базового активу — курс гривні щодо долара США.
У якості ціни реалізації приймалось майбутнє значення ціни базового активу, спрогнозоване на основі попередніх даних. На рис.4 наведені графіки, які ілюструють динаміку цін на базовий актив і опціон і визначаються за допомогою формули (7) при λ = 5% для одного з валютних опціонів.
Рис.4. Динаміка курсу гривні щодо долара США та ціни валютного опціону.
При дослідженні впливу операційних витрат, були проведені підрахунки суми комісійних, які повинен сплачувати продавець опціону. З’ясувалось, що початкова премія за опціон, яка була розрахована на підставі скорегованої моделі, перевищує суму сплачених комісійних та премії, розрахованої за формулою Блека-Шоулза, тобто вона з незначним перебільшенням враховує майбутні комісійні.
З метою виявлення характеру впливу програмної торгівлі були побудовані порівняльні графіки функцій, розрахованих за існуючими формулами Блека-Шоулза і Сіркара-Папаніколау та за формулою, запропонованою автором. Отримані результати ілюструють, що врахування ефекту зворотнього зв’язку приводить до значного збільшення ціни опціону. Причому, чим більше значення параметра ρ, тим більш відчутним є цей вплив. З наближенням дати реалізації опціону цей вплив стає менш відчутним і наприкінці дії опціону він зникає.

ВИСНОВКИ В дисертації проведено комплексне дослідження процесу формування ціни на ринку опціонів, що базується на поєднанні фінансового та економіко-математичного аналізу. Розроблені методи дозволяють визначати ціну опціону і, відповідно, стратегію хеджування ризиків за наявності операційних витрат та програмної торгівлі. Результати вирішення поставлених у дисертації завдань дозволяють зробити наступні висновки:
    продолжение
--PAGE_BREAK--