Реферат: Теория массового обслуживания с ожиданием
содержание<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-style:normal"> TOCo «1-1» «Тема;1; Подзаголовок 1;1»
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-style:normal">Введение в теориюмассового обслуживания с ожиданием_________________ <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-style:normal">GOTOBUTTON _Toc374500017 PAGEREF _Toc374500017 2<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-style:normal"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">1. Постановка задачи.____________________________________________________
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-style:normal">GOTOBUTTON _Toc374500019 PAGEREF _Toc374500019 3<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-style:normal"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">2. Составление уравнений._______________________________________________ 4
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">3. Определение стационарного решения.__________________________________ 5
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">4. Некоторые подготовительные результаты.______________________________ 6
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">5. определение функции распределениядлительности ожидания.___________ 7
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">6. Средняя длительность ожидания.______________________________________ 8
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">Заключение. Приложение теории к движениювоздушного транспорта______ 10
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;font-style:normal">Список используемой литературы_______________________________________ 13
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Введение
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Судьбутребований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборызанятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типовсистем является система с ожиданием.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Системы с ожиданием — возможно ожиданиедля любого числа требований, которые не могут быть обслужены сразу. Онисоставляют очередь, и с помощью некоторой дисциплиныобслуживания определяются, в каком порядке ожидающие требования выбираютсяиз очереди для обслуживания.<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">[1]
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Изобразимданную систему графически (рис. 1). Здесь кружочек 1 — обслуживающий прибор,треугольник — накопитель, кружочек О — источник требований. Требование,возникающее в источнике в момент окончания фиктивной операции “ожидания требований”,поступает в накопитель. Если в этот момент прибор 1 свободен, то требованиенемедленно поступает на обслуживание. Если же прибор занят, то требованиеостается в накопителе, становясь в конец имеющейся очереди
.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Как только прибор 1 заканчивает производимую им операцию,немедленно принимается к обслуживанию требование из очереди т.е. из накопителя,и начинается новая операция обслуживания. Если требований в накопителе нет, тоновая операция не начинается, стрелкой а показанпоток требований от источника к накопителю, стрелкой b — поток обслуженных требований.<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">[2]
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Система массового обслуживания сожиданием
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1. Постановка задачи.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Мы изучим здесь классическую задачу теории массовогообслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена Эрлангом. Наm одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Еслив момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, ононемедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновьпоступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которыепоступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся приборнемедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеетсяочередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый приборобслуживает в каждый момент не более одного требования. Длительностьобслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем жераспределением вероятностей F(x). Предполагается, что при<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">x
³<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> 0<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">F(x) = 1 — e-
m<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">x<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, (1)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">где
m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> > 0 — постоянная.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Эрланг решилэту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени втелефонном деле.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Выборраспределения (1) для описания деятельности обслуживания произведен неслучайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простоерешение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ходинтересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение (1) играет в теориимассового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызванаследующим свойством:
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> При показательном распределениидлительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы пообслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Действительно,пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое ужепродолжается время a, продлится еще не менее чем t. В предположении, чтодлительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e-
m<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">t<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Далее ясно, что f0(a)= e-m<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> и f0(a+t)= e-m<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(a+1)<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. А так как всегда f0(a+t)=f0(a)fa(t), то e-m<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(a+t)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">= e-m<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">a<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> f0(t) и, следовательно,<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">fa(t) = e-
m<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">t<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">= fo(t).<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Требуемое доказано.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Несомненно,что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, какправило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко времяобслуживания не может быть меньше чем, чем некоторая определенная величина.Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требованийнуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникаетзадача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением(1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делалусилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. Вчастности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого даетсяформулой
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">где,
m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> > 0, а k — целое положительноечисло.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> РаспределениеЭрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждоеиз которых имеет распределение (1).
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Обозначим дляслучая распределения (1) через
h<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> время обслуживания требования. Тогдасредняя длительность обслуживания равна<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Это равенстводает нам способ оценки параметра
m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> по опытным данным. Как легковычислить, дисперсия длительности обслуживания равна<div v:shape="_x0000_s1026">
при t£0,
при t>0,
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">2. Составлениеуравнений.
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">система с ожиданием в случае простейшего потока ипоказательного времени обслуживания представляют собой случайный процессМаркова.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Найдём теуравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно изуравнений очевидно, а именно для каждого t
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. (2)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Найдем сначалавероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойтиследующими способами:
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> в момент t всеприборы были свободны и за время h новых требований не поступало;
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> в момент t одинприбор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; завремя h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Остальныевозможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на нихбыла закончена — имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Вероятностьпервого из указанных событий равна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">вероятностьвторого события
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Таким образом,
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Отсюда очевидным образом приходим куравнению
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> (3)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Перейдемтеперь к составлению уравнений для Pk(t) при k
³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 £<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> k <<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> m и k ³<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> m. Пусть вначале 1 £<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">k <<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> m. Перечислим только существенные состояния, из которыхможно прийти в состояние Ek в момент t+h. Эти состояния таковы:<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> В момент tсистема находилась в состоянии Ek, за время h новых требований непоступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого событияравна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> В момент tсистема находилась в состоянии Ek-1, за время h поступило новоетребование, но ни одно ранее находившееся требование не было законченообслуживанием. Вероятность этого события равна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> В момент tсистема находилась в состоянии Ek+1, за время h новых требований непоступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Все остальныемыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени hимеют вероятность, равную 0(h).
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Собрав воединонайденные вероятности, получаем следующее равенство:
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Несложныепреобразования приводят нас к такому уравнению для 1
£<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">k <<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> m:<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> (4)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Подобные жерассуждения для k
³<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> m приводят к уравнению<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">` (5)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Для определения вероятностей Pk(t) мы получили бесконечнуюсистему дифференциальных уравнений (2)-(5). Ее решение представляет несомненныетехнические трудности.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">3. Определение стационарного решения.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> В теориимассового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для t
®<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> ¥<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Существование таких решений устанавливаетсятак называемыми эргодическимитеоремами, некоторые из них позднеебудут нами установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельныеили, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для нихобозначения Pk. Заметим дополнительно, (этого мы также сейчас не станем доказывать),что <img src="/cache/referats/6138/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> при t®¥<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Сказанноепозволяет заключить, что уравнения (3), (4) и (5) для стационарных вероятностейпринимают следующий вид:
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> (6)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">при 1
£<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">k <<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> (7)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">при k
³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> (8)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> К этим уравнениям добавляется нормирующее условие
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> (9)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Для решенияполученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения: при 1
£<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">k<<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">при k
³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m <img src="/cache/referats/6138/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Системауравнений (6)-(8) в этих обозначенияхпринемает такой вид:
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">z1=0, zk-zk+1=0 при k
³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Отсюда заключается, что при всех k
³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1 zk =0<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">т.е. при 1
£<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">k <<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">k
m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Pk=l<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Pk-1 <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(10)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и приk
³<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">mm<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Pk=l<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Pk-1 <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">(11)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Введем для удобства записи обозначение
r<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=
l<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">/m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Уравнение (10)позволяет заключить, что при 1
£<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> k <<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> (12)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">При k
³<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> m из уравнения (11) находим, что<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">иследовательно, при k
³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> (13)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Остается найтиP0. Для этого в (9) подставляем выражения Pk из (12) и(13). В результате
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1049">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Такбесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии,что
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m (14)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">то приэтом положении находим равенство
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> (15)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Если условие(14) не выполнено, т.е. если
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> ³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m, то ряд, стоящий в квадратной скобкеуравнения для определения P0, расходится и, значит, P0 должнобыть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех k ³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">1 оказывается Pk =0.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Методы теориицепей Маркова позволяют заключить, что при
r<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> ³<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> m с течением времени очередь стремитсяк ¥<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> по вероятности.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">4. Некоторые подготовительныерезультаты.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Во введении мыуже говорили, что для задачи с ожиданием основной характеристикой качестваобслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания.Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначимбуквой
g<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">. Рассмотрим сейчас только задачу определения распределениявероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания.Обозначим далее через P{g<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> ><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">t}<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk{g<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> ><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> t}<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> вероятность неравенства, указанного вскобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уженаходится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> P
{g<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> ><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">t}<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">=<img src="/cache/referats/6138/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> (16)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Прежде чемпреобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовимнекоторые необходимые нам для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулыдля P0. несложные преобразования приводят к таким равенствам: приm=1
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">P0=1-
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, (17)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">а приm=2
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> (18)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Вычислимтеперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятыймомент. Очевидно, что эта вероятность равна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> (19)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Эта формула для m=1 принимает особеннопростой вид:
p<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, (20)<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">приm=2
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> (21)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Напомним, чтов формуле (19)
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> может принимать любое значение от 0 до m (включительно).Так что в формуле (20) r<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> 1<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">, а в (21) r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">2.<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">5. определениефункции распределения длительности ожидания.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Если в моментпоступления требования в очереди уже находились k-m требований, то поскольку обслуживание происходит впорядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m+1 требований. Пусть qs(t)означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t послепоступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровнотребований. Ясно, что k
³<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">m имеет место равенство<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Так какраспределение длительности обслуживания предположено показательным инезависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительностиобслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ниодного обслуживания (т.е. вероятностьтого, что не освободится ни один из приборов) равна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1056">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Если всеприборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований,которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим.Действительно, в этом случае все триусловия — стационарность, отсутствиепоследействия и ординарность — выполнены. Вероятность освобождения запромежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простымподсчетом)
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1057">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Итак,
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1058">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">и,следовательно,
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1059">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Новероятности Pk известны:
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1060">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">поэтому
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1061">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> очевиднымипреобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Из формул (13) и (19) следует, что <img src="/cache/referats/6138/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1063">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> (22)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Самособой разумеется, что при t<0 <img src="/cache/referats/6138/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1065">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Функция <img src="/cache/referats/6138/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> равный вероятности застать все приборызанятыми.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">6. Средняя длительность ожидания.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Формула (22)позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительностиожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания началаобслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожиданияравна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1067">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Несложныевычисления приводят к формуле
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> (23)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> Дисперсия величины
g<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> равна<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1069">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Формула (23)дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшимив систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в системупоступает
l<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">T требований в среднем; общая потеря ими времени на ожиданиев среднем равна<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> <img src="/cache/referats/6138/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> (24)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Приведемнебольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстровозрастают суммарные потери времени на ожидание с изменением величины
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">. Приэтом мы ограничиваемся случаем T=1 и рассматриваем лишь самые малые значения m:m=1 и m=2.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> При m=1 в силу (20)
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1071">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> При
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=0.1;0.3; 0.5; 0.9; значение al<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">приблизительно равно 0.011; 0.267; 0.500; 1.633; 8.100.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> При m=2 в силу(21)
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1072">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> При
r<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">=0.1;1.0; 1.5; 1.9 значение al<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">приблизительно равно 0.0003; 0.333; 1.350; 17.587.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Приведенныеданные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительностисистем обслуживания, уже достаточносильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущаетзначительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следуетучитывать при расчете загрузки оборудования в системах массового обслуживания.<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">[3]
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Приложение теории к движению воздушноготранспорта
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> С некоторымипонятиями, связанными с управлением движением воздушного транспорта, мыпознакомились в иллюстративном приложении первой главы. Пирси рассмотрелприложения некоторых идей теории массового обслуживания к организации посадкисамолетов. В данном случае обычнопредставляет интерес сокращение времени посадки. Вычислим вначале вероятностьтого, что один за другим n-1 самолетов ожидают приземления.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"> Допустим, чтосамолеты приближаются к зоне управления со случайных направлений черезслучайные промежутки времени, распределенные по экспоненциальному закону, спостоянной интенсивностью прибытия, которая принимается равной одной единице.Следовательно, e-t — распределение промежутков времени междумоментами прибытия. Самолет, которыйприбывает через промежуток времени, меньший минимального времени, необходимо для безопасного предыдущегосамолета, задерживается на минимальное время. Отношение минимального времени,необходимого для безопасной посадки, к средней длительности промежутка временимежду прибывающими самолетами обозначается T (для простоты будем считать, чтодля данного аэропорта эта величина постоянна). Обычно представляет интересслучай T<1. Вероятность того, чтоприбывший самолет не задерживается, равна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> (14.54)
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Вероятность того, чтобудет задержан один самолет, найдем, рассмотрев все задержки одиночныхсамолетов между двумя незадерживаемыми самолетами. Самолет, который будетзадержан, должен прибыть через промежуток времени t1<T послеприбытия незадерживаемого самолета, непосредственно предшествующего ему, анезадерживаемый самолет, непосредственно следующий за ним, должен прибыть черезпромежуток времени t>2T-t1. Таким образом, искомая вероятностьсовместного появления этих двух событий равна
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><img src="/cache/referats/6138/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1074">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Вероятность того, что будет задержано два самолета,находится аналогично (рассматривается два задерживаемых самолета между двумя незадерживаемыми) путемвычисления вероятно