Реферат: Математическое моделирование экономических систем

Математическоемоделирование экономических систем

Лекция 1.

ВВЕДЕНИЕ В КУРС. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Цельюматематического моделирования экономических систем является использованиеметодов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в всфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительнойтехники.

Процессрешения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

1.Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознатьзадачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которыеотносятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать врезультате ее решения. Это — этап содержательной постановки задачи. Для того,чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решениивычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализобъектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты,разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, ихсвойства, количественные и качественные значения свойств, количественные илогические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств ит.п. Это — этап системного анализа задачи, в результате которого объектоказывается представленным в виде системы. Следующим этапом являетсяматематическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построениематематической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получениярешения задачи. Это — этап системного синтеза (математической постановки)задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранеепроведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств исоотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результатеприходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые вэкономической практике задачи стандартизованы, системный анализ производится врасчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблемасостоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующимэтапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложныхобъектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числомсвойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней,методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задачосуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ исистемы управления базами данных.

Назаключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Такимобразом, решение задачи включает следующие этапы:

1.Содержательная постановка задачи.

2.Системный анализ.

3.Системный синтез (математическая постановка задачи)

4.Разработка или выбор програмного обеспечения.

5.Решение задачи.

Последовательноеиспользование методов исследования операций и их реализация на современнойинформационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм,исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точномучете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личнойзаинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могутсогласовать эти свои волевые решения.

Системныйанализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию обуправляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зренияобъективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить навычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании привыстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляетуправленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека,представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системныйподход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как методисследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, атолько учит, как их лучше использовать.

1.1.Основные системные понятия

Кибернетическаясистема — это множество взаимосвязанных объектов — элементов системы,способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а такжеобмениваться информацией. Система включает также связи между элементами.Элементы и связи между ними могут обладать свойствами (показателями), каждое изкоторых может принимать некоторое множество значений. Примеры кибернетическихсистем: автопилот, регулятор температуры в холодильнике, ЭВМ, человеческиймозг, живой организм, биологическая популяция, человеческое общество.

Каждыйэлемент системы, в свою очередь, может быть системой, которая по отношению кисходной системе является подсистемой. В свою очередь, любая системаможет быть подсистемой другой системы, которая по отношению к ней является надсистемой.

Средойданной системы называется система, состоящая из элементов, не принадлежащихэтой системе.

Объединениедвух систем есть система, составленная из элементов объединяемых систем.

Пересечениедвух систем есть система, состоящая из элементов, принадлежащих одновременнообоим этим системам.

Объединениесистемы и ее среды называется система-универсум.

Пересечениесистемы и ее среды называется пустой системой. Она не содержит ни одногоэлемента.

Длятого, чтобы элементы системы могли воспринимать, запоминать и перерабатыватьинформацию, они должны обладать изменчивостью, т.е. менять свои свойства.Говорят, что элемент может находиться в разных состояниях. Каждыйэлемент характеризуется набором показателей. При изменении значения хотя быодного из показателей элемент переходит в другое состояние, т.е. состояниеэлемента определяется совокупностью конкретных значений показателей элемента.Система в целом также может рассматриваться как элемент, она характеризуетсясвоими показателями и может переходить из одного состояния в другое.

Показателимогут быть числовыми и нечисловыми. Числовые показатели могут быть непрерывнымии дискретными. Нечисловые показатели обычно выражают в виде числовых, например- интеллект (коэффициент интеллекта), уровень знаний студента (оценка вбаллах), отношение одного человека к другому (социологические индексы).

Элементможет осуществлять воздействие на другие элементы системы, изменяя ихсостояние. Для перехода элемента из одного состояния в другое требуетсяопределенная энергия. Если физический процесс воздействия одного элемента надругой дает также энергию для перевода в другое состояние, то на второй элементосуществляется энергетическое воздействие. Если же указанный процессдает только сведения о состоянии воздействующего элемента, а энергия дляперевода в другое состояние элемента, на который направлено воздействие,берется из иного источника, то на элемент осуществляется информационноевоздействие. Говорят, что первый элемент передает сигнал второмуэлементу.

Сигналесть сообщение о состоянии элемента.

Вдальнейшем мы будем употреблять термин «передача сигнала» вместо«информационное воздействие» и «воздействие» вместо«энергетическое воздействие».

Состояниеэлемента может меняться самопроизвольно, или в результате сигналов ивоздействий, поступающих извне системы.

Сообщение- это совокупность сигналов.

Сигналы,вырабатываемые элементами системы, могут поступать за пределы системы, в этомслучае они называются выходными сигналами системы. В свою очередь, наэлементы могут поступать сигналы извне системы, они называются входными.Аналогичным образом определяются входные и выходные воздействия.

Структурасистемы — это совокупность ее элементов и связей между ними, по которым могутпроходить сигналы и воздействия.

Входаминазываются элементы системы, к которым приложены входные воздействия или накоторые поступают входные сигналы.

Входнымипоказателями называются те показатели системы, которые изменяются врезультате входного воздействия или сигнала.

Выходаминазываются элементы системы, которые осуществляют воздействие или передаютсигнал в другую систему.

Выходнымипоказателями называются те показатели системы, изменения которых вызываютвыходное воздействие или выходной сигнал, либо сами являются таким воздействиемили сигналом.

1.2.Классификация систем.

Классификациюкибернетических систем мы проведем по двум критериям: степень сложности системыи ее детерминированность.

Постепени сложности системы бывают:

1.Простые.

2.Сложные.

3.Сверхсложные.

Кпростым относятся системы, имеющие простую структуру и легко поддающиесяматематическому описанию, они могут быть реализованы без использования ЭВМ.

Сложнымиявляются системы, имеющие много внутренних связей и сложное математическоеописание, реализуемое на ЭВМ.

Сверхсложныесистемы не поддаются математическому описанию.

Границымежду указанными классами размыты и могут со временем смещаться, например,совершенствование математического аппарата и вычислительной техники позволяетдать описание систем, для которых это раньше было невозможно, или сложноеописание сделать простым.

Повторому критерию системы делятся на детерминированные и вероятностные.

Всевозможные случаи получаются комбинированием указанных классов:

1.Простые детерминированные системы:

— холодильник с регулятором;

— система размещения станков в цехе;

— система автобусных маршрутов;

— семейный бюджет;

— расписание занятий факультета;

2.Сложные детерминированные системы:

— ЭВМ;

— цветной телевизор;

— сборочный автоконвейер;

3.Сверхсложные детерминированные системы:

— шахматы.

4.Простые вероятностные системы:

— лотерея;

— система статистического контроля продукции на предприятии;

5.Сложные вероятностные системы:

— система материально-технического снабжения на предприятии;

— система диспетчирования движения самолетов вблизи крупного аэропорта;

— система диспетчирования энергетической системы России;

6.Сверхсложные вероятностные системы:

— предприятие в целом, включая все его технические, экономические,административные, социальные характеристики;

— общество;

— человеческий мозг.

Внашем курсе мы будем интересоваться, главным образом, простыми и сложнымисистемами, вероятностными и детерминированными.

1.3.Динамика системы

Состояниесистемы — это совокупность значений ее показателей.

Всевозможные состояния системы образуют ее множество состояний. Если в этоммножестве определено понятие близости элементов, то оно называется пространствомсостояний.

Движение(поведение) системы — это процесс перехода системы из одного состояния вдругое, из него в третье и т.д.

Еслипереход системы из одного состояния в другое происходит без прохождениякаких-либо промежуточных состояний, то система называется дискретной.

Еслипри переходе между любыми двумя состояниями система обязательно проходит черезпромежуточное состояние, то она называется динамической (непрерывной).

Возможныследующие режимы движения системы:

1)равновесный, когда система находится все время в одном и том же состоянии;

2)периодический, когда система через равные промежутки времени проходит одни и теже состояния;

Еслисистема находится в равновесном или периодическом режиме, то говорят, что онанаходится в установившемся или стационарном режиме.

3)переходный режим — движение системы между двумя периодами времени, в каждом изкоторых система находилась в стационарном режиме;

4)апериодический режим — система проходит некоторое множество состояний, однакозакономерность прохождения этих состояний является более сложной, чемпериодические, например, переменный период;

5)эргодический режим — система проходит все пространство состояний таким образом,что с течением времени проходит сколько угодно близко к любому заданномусостоянию.

Свойстваобъекта и его поведение зависят от того, каким образом мы его представляем ввиде системы. Например, если воздух, находящийся в этой комнате, представить ввиде системы молекул, каждая из которых характеризуется своими координатами искоростью, то поведение такой системы будет эргодично, если же определить егокак систему, состоящую из одного элемента, показателями которого являютсядавление и температура, то такая система находится в равновесном режиме.

Длявсех практических задач второй способ определения системы предпочтительнее. Мыполучаем простую детерминированную систему, а в первом случае — сверхсложнуювероятностную, которую мы не сможем исследовать, а если бы даже смогли, тонигде бы не использовали полученные результаты. Необходимо правильноеопределение системы и при исследовании экономических объектов, которыми мыжелаем управлять. Инструментом исследования объектов для целей выбора оптимальныхспособов управления является кибернетическое моделирование.

1.5.Кибернетическое моделирование

Впроцессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможноиметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другимобъектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании.Например, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того,чтобы испытывать настоящий самолет — это дешевле. При теоретическомисследовании атомного ядра физики представляют его в виде капли жидкости,имеющей поверхностное натяжение, вязкость и т.п. Управляемые объекты являются,как правило, очень сложными, поэтому процесс управления неотделим от процессаизучения этих объектов.

Модель- это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая,отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, чтоее изучение дает новую информацию об этом объекте.

Примоделировании используется аналогия между объектом — оригиналом и его моделью.Аналогии бывают следующими:

1)внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка);

2)структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощьюграфов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельныхтрубопроводов);

3)динамическая аналогия (по поведению системы) — маятник моделирует электрическийколебательный контур;

4)кибернетические модели относятся ко второму и третьему типу. Для нихсвойственно то, что они реализуются с помощью ЭВМ. Смысл кибернетическогомоделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальнойфизической моделью объекта, а с его описанием, которое помещается в память ЭВМвместе с программами, реализующими изменения показателей объекта, предусмотренныеэтим описанием.

Сописанием производят машинные эксперименты: меняют те или иные показатели, т.е.изменяют состояние объекта и регистрируют его поведение в этих условиях. Частоповедение объекта имитируется во много раз быстрее, чем на самом деле, благодарябыстродействию ЭВМ. Кибернетическую модель часто называют имитационной моделью.

Формированиеописания объекта (его системный анализ) является важнейшим звеномкибернетического моделирования. Вначале исследуемый объект разбивается наотдельные части и элементы, определяются их показатели, связи между ними ивзаимодействия (энергетические и информационные). В результате объектоказывается представленным в виде системы. При этом очень важно учесть все, чтоимеет значение для той практической задачи, в которой возникла потребность вкибернетическом моделировании, и вместе с тем не переусложнить систему.

Следующимэтапом является составление математических моделей эффективногофункционирования объекта и его системной модели. Затем производитсяпрограммирование описания и моделей его функционирования.

Лекция 2.

УПРАВЛЕНИЕ

2.1.Понятие управления

Управление- это такое входное воздействие или сигнал, в результате которого система ведетсебя заданным образом. Обычно управление направлено на то, чтобы системанаходилась в стационарном режиме (равновесном или периодическом).

Управлениеразвитием системы — это воздействия или сигналы, направленные на изменениеструктуры или множества состояний системы. Например, план реконструкциипредприятия. В этом случае осуществляется управление поведением системы,которая реализует развитие данной системы.

Такимобразом, управление всегда имеет определенную цель. Обычно она формулируетсякак ограничение на множество возможных состояний системы, или какой-либопоказатель системы, который нужно поддерживать в заданных пределах, либомаксимизировать. Если известна зависимость указанного показателя от входныхвоздействий на систему, или ее состояния, то он называется целевой функцией.

Частоцель не может быть достигнута сразу, а необходимо пройти несколько этапов, накаждом из которых имеется локальная цель, не совпадающая с главной целью. Этилокальные цели называются задачами управления. Пример: автобус идет помаршруту. Цель — конечный пункт. Задача — проехать по данной улице. Можетоказаться, что направление движения по улице сильно отличается от направленияна конечный пункт.

Дляосуществления процесса управления нужно наличие трех элементов:

— управляемый объект;

— орган управления;

— исполнительный орган.

Органуправления — это система, на вход которой поступают сигналы о состоянииуправляемого объекта и среды, а на выходе — сигнал о необходимом в даннойситуации управлении.

Исполнительныйорган — это система, на вход которой поступает сигнал о необходимом управлении,а на выходе вырабатывается управляющее воздействие на управляемый объект.

Системауправления объединяет орган управления и исполнительный орган.

Системыуправления бывают следующими:

1)ручные — без использования вычислительной техники;

2)автоматизированные — используется вычислительная техника, которая принимает насебя основной поток информации, однако человек остается важнейшим звеномсистемы управления, функцией которого является принятие решений либоутверждение решений, выработанных ЭВМ;

3)автоматические — человек не участвует в процессе управления и не входит вданную систему управления. Обычно он осуществляет контроль за правильностьюфункционирования объекта управления и вмешивается только при возникновенииособых (например, аварийных) ситуаций. В автоматических системах управлениячеловек является звеном другой системы управления, для которой управляемымобъектом является данная автоматическая СУ с ее управляемым ею объектом.

<img src="/cache/referats/2648/image001.gif" v:shapes="_x0000_s1048"> 2.2.Схема управления

z B

ОУ

УО

ИЭ

x y

ИО

УО- управляемый объект;

ОУ- орган управления;

ИО- исполнительный орган;

ИЭ- источник энергии управляющих воздействий;

x — управление (вход УО);

y — выход УО, характеризующий его состояние (результатуправления);

u — управляющий сигнал;

В — возмущения среды;

z — информация, поступающая в ОУ.

Исполнительныйорган изображен в виде вентиля, что отражает процесс, происходящий в нем:маломощное воздействие приводит в движение большой поток энергии, который идетв УО в качестве управляющего воздействия (выключатель, кран и т.п.), т.е. ОУсам является исполнительным органом по отношению к ИО.

2.3.Способы управления

Различаюттри способа управления, в зависимости от того, на основании какой информации ОУформирует управляющий сигнал.

1)Управление по отклонению — используются сведения об изменениях выхода УО, егоповедения. Этот способ реализует замкнутая схема управления.

ОУ

УО

ИЭ

x y

ИО

Здесьимеется замкнутый контур y -> u -> x -> y, поэтому такая схемауправления называется замкнутой. Связь ОУ -> УО называется прямой, УО ->ОУ — обратной связью.

Обратнаясвязь может быть положительной и отрицательной. Положительная обратная связьтакая, при которой увеличение y приводит к таким значениям x, которые влекутдальнейший рост y, при отрицательной — рост y приводит к значениям x,вызывающим уменьшение y.

Примерыположительной обратной связи: цепные реакции, взрыв, система аварийнойсигнализации. Во всех подобных случаях небольшое отклонение должно вызвать какможно более энергичную реакцию управляемого объекта.

Отрицательнаяобратная связь осуществляется, например, при управлении запасом товаров наскладе: при возникновении существенного отклонения запаса от нормативногопредпринимаются меры по устранению этого отклонения — завоз товаров, либореализация излишка.

2)Управление по возмущению или нагрузке — используются сведения о возмущающихвоздействиях на управляемый объект со стороны окружающей среды. Этот способуправления реализует разомкнутая схема управления.

+-------+ ¦

¦ ОУ ¦<-------------------¦

+-------+ ¦B

¦ ¦

¦u ¦/

+-------+ ¦ +-------+

¦ ИЭ ¦_____________¦¦/¦__________________¦ УО ¦____________

+-------+ ¦/ ¦ x +-------+ y

3) Комбинированноеуправление является сочетанием двух предыдущих способов управления.

+-------+ ¦

¦ ¦<-------------------¦---------+

¦ ОУ ¦<-------------------¦ ¦

+-------+ ¦B ¦

¦ ¦ ¦

¦u ¦/ ¦

+-------+ ¦ +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+ ¦/ ¦ x +-------+ y

Замкнутаясистема управления позволяет быстро реагировать на нежелательные отклонения вповедении объекта, с целью устранить эти отклонения. Однако она не следит запричинами, вызвавшими отклонения. В результате объект может выйти из-подконтроля, а управление только замедлит его нежелательное поведение. Пример:лечение рака аспирином. Замкнутая система поддерживает равновесие, она обеспечиваетдостижение цели управления, когда возмущающих воздействий много и не все онимогут быть измерены, а также когда заранее не известно влияние возмущений науправляемые величины.

Разомкнутаясистема управления учитывает причины (возмущения среды), которые вызывают тоили иное поведение объекта. Она позволяет лечить болезнь, а не симптомы. Однакорезультат управления проявляется медленно, может оказаться, что объект ужепришел в нужное состояние, однако продолжаются управляющие воздействия, которыевыводят его из этого состояния.

ЕслиСУ реагирует на каждое, даже случайное, отклонение, то может возникать«рысканье» системы, ее неустойчивость.

КомбинированнаяСУ позволяет осуществлять учет длительно действующих, запаздывающих по своемудействию причин (возмущения среды) и фактических результатов управления(поведения объекта). Вначале происходит грубая настройка объекта на условия егоработы, затем точное регулирование в соответствии с фактическим поведениемобъекта.

2.4.Задачи управления

Имеютсячетыре основных задачи управления:

1)стабилизация;

2)программное управление;

3)слежение;

4)оптимальное управление.

Стабилизациясистемы — это поддержание ее выходных показателей вблизи заданных значений у0.

+----------------+ y

¦ ¦<-----------------------------+

¦ |y-y0|< eps ¦ ¦

+----------------+ ¦B ¦

¦ ¦ ¦

¦u ¦/ ¦

+-------+ ¦ +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+ ¦/ ¦ x +-------+ y

Примеры:

1)Система управления организма — поддержание температуры тела, давления крови ит.п.

2)электроснабжение — стабилизация напряжения и частоты тока.

3)управление народнохозяйственным комплексом — поддержание стабильных значенийосновных макроэкономических показателей.

Программноеуправление — поддержание выходных показателей вблизи заданных значений y0,зависящих от времени заданным образом. Схема — та же, с заменой y0 на y0(t).

Примеры:

1)вывод ракеты на спутниковую орбиту, причем наилучшая траектория У0(t) заранееизвестна — рассчитана, исходя из свойств земной атмосферы и тяготения;

2)станок с числовым программным управлением;

3)программа «500 дней».

4)федеральные и региональные целевые программы социально-экономического развития

Слежение- обеспечение как можно более точного соответствия между состоянием илиповедением управляемого объекта и состоянием или поведением какого-либо другогообъекта, которым управлять невозможно. Он рассматривается как составная частьсреды.

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Time

еще рефераты

Еще работы по экономико-математическому моделированию

Реферат по экономико-математическому моделированию

Математические методы исследования экономики

29 Августа 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Вибiр оптимального рiшеня в умовах невизначеностi

29 Августа 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Конспект лекций по курсу ЭММ (Экономико-математические методы и модели)

29 Августа 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Шпаргалка по исследованию операций

29 Августа 2013