Реферат: Математическое программирование и моделирование в экономике и управлении

<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal">Министерствообразования РФ<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal">Санкт-ПетербургскаяЛесотехническая академия им. С. М. Кирова

Кафедра: математическихметодов и моделирования в экономике и управлении

Курсовая работа по математическомупрограммированию и моделирования в экономике и управлении.

Выполнила: студентка ФЭУ, IIкурса,4 группы

д/о, направление 521500

менеджмент

<span Times New Roman",«serif»; font-weight:normal;mso-bidi-font-weight:bold">Гузеева Ольга

Зачётная книжка № 600033

Преподаватели: П. Н. Коробов, А. А. Моисеев

Санкт-Петербург

2002 год

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-font-kerning:16.0pt;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">
Методология математического моделирования ассортиментной задачи (задачиоптимизации программы выпуска продукции по ассортименту).

Этапы решения задач:

1.<span Times New Roman"">    

выбор проблемы решения;

2.<span Times New Roman"">    

постановка проблемы иразработка экономико-математической модели (ЭММ);

3.<span Times New Roman"">    

выбор метода решения;

4.<span Times New Roman"">    

выполнение решения;

5.<span Times New Roman"">    

анализ результата ипроведение эксперимента;

6.<span Times New Roman"">    

внедрение результата,полученного в результате опыта.

Задачиоптимизации:

1.<span Times New Roman"">    

обеспечение балансовойувязки между знаниями по выпуску продукции разных видов и наличиемпроизводственных ресурсов (сырьё, материалы, машинное время, трудовые ресурсы,энергия и т. п.);

2.<span Times New Roman"">    

обеспечение максимальногоэкономического эффекта при использовании производственных ресурсов;

3.<span Times New Roman"">    

проведение эксперимента(повторы решения при изменённых условиях, чтобы выработать альтернативныеварианты и выбрать из них наиболее приемлемый).

Под оптимизацией программы выпуска продукции поассортименту понимаются такие объёмы выпуска различной продукции, которыеобеспечивают получение максимального экономического эффекта от реализации всейпродукции.

Условия задачи: на предприятии имеются свободные ресурсы:сырьё, материалы, машинное время, трудовые и т. п. В условии задачи известныфонды производственных ресурсов на планируемый период, нормы их затрат наединицу (десяток, сотню или комплект продукции), а также известны показателиприбыли от реализации продукции. Найти программу выпуска продукции поассортименту, обеспечивающую максимальную суммарную прибыль от её реализации.

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Виды производственных ресурсов

Фонды производственных ресурсов на планируемый период

Нормы затрат производственных ресурсов на единицу продукции

Р1 ……………… Рj……………… Рn

1

.

.

.

r

.

.

.

R

bj

.

.

.

br

.

.

.

bR

A=[arj]Rx n

Критерий оптимальности

с1 ……………… сj………………. cn

j– индекс вида продукции;

Pj– виды продукции;

r– индекс вида производственных ресурсов (от 1 до R);

br– фонд r-производственного ресурса;

arj– норма затрат rj-производственного ресурса;

cj– критерий оптимальности; его сущностьзаключается в том, что это экономический, технико-экономический показатель,который заложен в условии задачи для суждения об оптимальности её решения;

xj–количество продукции Pj.

Х=(х1,х2…хj…xn) – оптимальная программавыпуска продукции по ассортименту.

Критерийоптимальности:

<img src="/cache/referats/17642/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

Системаограничений:

<img src="/cache/referats/17642/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Суммарныезатраты r-производственного ресурса на выполнение всех nвидовпродукции не должен превышать фонды этого ресурса, которым предприятие владеетна планируемый период.

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-font-kerning:16.0pt;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">
Экономическое содержание и математическое моделирование распределительныхнетранспортных задач.

I.Известна программа выполнения продукции на период. Эта программа может бытьвыполнена на разных станках, а также известны фонд эффективного рабочеговремени каждого исполнителя, часовая производительность каждого из исполнителейпри выработке каждого вида продукции. Известны затраты по выполнению продукцииу разных исполнителей.

i– индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего, цеха, участка), i=1,2…m;

j– индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;

m– количество рабочих (станков);

n– число видов продукции (работ);

bi– фонд эффективного рабочего времени i-исполнителя в планируемом периоде в часах;

λij– часовая производительность j-продукции у i-исполнителя;

Λ=[<span Arial",«sans-serif»">

λij]mxn– известно;

sij– себестоимость производства единицы j-продукции у i-исполнителя;

S=[ sij]mxn– известно;

Pj– вектор показателей, которые характеризуют объёмы выпуска продукции(выполнения работ) по всем видам – известно;

Наименование

исполнителя

Фонд эффективного рабочего времени

P1 ………………… Pj …………………. Pn

производительность / себестоимость

1

.

.

.

i

.

.

.

m

b1

.

.

.

bi

.

.

.

bm

Λ=[<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">

λij]mxn / S=[ sij]mxn

Найтиплан распределения производственного задания по выпуску продукции (выполненияработ) между исполнителями, при котором задание было бы выполнено сминимальными суммарными затратами.

xij– затраты эффективного рабочего времени у i-исполнителяна произведение j-продукции;

Х=[xij]mxn– искомые величины.

Целеваяфункция:

<img src="/cache/referats/17642/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

s’ij– себестоимость часовогообъёма выпуска продукции определённого вида на определённом оборудовании.

Системаограничений:

<img src="/cache/referats/17642/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> – суммарные затратыэффективного рабочего времени на выполнение всех видов работ не долженпревышать фонда, которым располагает i-рабочий в плановом периоде;

<img src="/cache/referats/17642/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> – суммарный объём выпущеннойпродукции j-вида у всех mисполнителей должен бытьравен производственному заданию;

<img src="/cache/referats/17642/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

II. На предприятии известна программа выпускапродукции по видам, которая может быть выполнена разными исполнителями (наразных участках). В условии задачи известны: фонд эффективного рабочего временикаждого исполнителя в плановом периоде, показатели норм затрат эффективногорабочего времени на производство различных видов продукции на разном оборудовании,а также прибыль от реализации единицы продукции, выработанной разнымиисполнителями.

Наименование

исполнителя

Фонд эффективного рабочего времени

P1 ………………… Pj …………………. Pn

нормы затрат / прибыль

1

.

.

.

i

.

.

.

m

b1

.

.

.

bi

.

.

.

bm

A=[<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">

aij]mxn / C=[ cij]mxn

i– индекс исполнителя (отдельной машины, рабочего,цеха, участка), i=1,2…m;

j– индекс вида продукции (работы), j=1,2…n;

m– количество рабочих (станков);

n– число видов продукции (работ);

bi– фонд эффективного рабочего времени i-исполнителяв планируемом периоде в часах;

aij– показатель нормы затрат на производство j-продукцииу i-исполнителя;

A=[<span Arial",«sans-serif»">

аij]mxn– известно;

сij– показатель прибыли от единицы j-продукции у i-исполнителя;

С=[сij]mxn– известно;

Pj– вектор показателей, которые характеризуютобъёмы выпуска продукции (выполнения работ) по всем видам – известно.

Требуетсянайти план распределения производственного задания между исполнителями, прикотором это задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализациивсей продукции.

xij– объём (количество) j-продукциивыработанной i-исполнителем;

Х=[xij]mxn– искомые величины.

Целеваяфункция:

<img src="/cache/referats/17642/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

Системаограничений:

<img src="/cache/referats/17642/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

Прирешении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такиенеотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принималамаксимальное значение.

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-font-kerning:16.0pt;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">
Методология математического моделирования раскройной задачи (задачиоптимизации программы раскроя материалов).

Пустьимеются ДСП стандартных размеров, из которых необходимо нарезать mразличных по размеру заготовок и деталей дляпроизводства мебели. ДСП определённого размера может быть раскроена nспособами (вариантами). По каждому из возможныхвариантов раскроя составляется соответствующая карта раскроя, из которой видно,что при j(j=1,2…n) способе раскроя из одной плиты получаетсяопределённое количество (обозначим через aij) заготовок i(i=1,2…m) вида(размера). По картам раскроя устанавливается также величина отходов (площадь,вес, стоимость) при раскрое одной плиты jспособом (обозначим – сj). В задании на раскрой должно быть указано общееколичество заготовок каждого iвида (размера)– bi, которое необходимо нарезать из плит, поступивших враскрой (обозначим – R). В задачетребуется определить оптимальный план раскроя ДСП, обеспечивающий минимальныеотходы (или минимальный расход раскраиваемых материалов), при условиивыполнения задания по выходу заготовок.

xj– количество ДСП,которое следует раскраивать с тем, чтобы нарезать заданное число заготовоккаждого вида, при этом суммарные отходы (или суммарный расход плит) должны бытьминимальными.

Виды заготовок

Задание по раскрою

Способы раскроя

1 ……………………. j…………………… n

1

.

.

.

i

.

.

.

m

b1

.

.

.

bi

.

.

.

bm

A=[<span Arial",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">

аij]mxn

Отходы

C=[ cj]n

Критерийоптимальности:

<img src="/cache/referats/17642/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Системаограничений:

<img src="/cache/referats/17642/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

Прирешении этой системы линейных уравнений и неравенств, нужно найти такиенеотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принималаминимальное значение.

<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-font-kerning:16.0pt;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">
Рассмотримпример решения задачи оптимизации программы раскроя материалов симплекснымметодом.

F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4=min

 <img src="/cache/referats/17642/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> 

F=0.26x1+0.28x2+0.3x3+0.29x4+0x5+0x6+0x7+0x8+0x9+M(y1+y2+y3+y4)=min

<img src="/cache/referats/17642/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

C0

P0

B

0.26

0.28

0.3

0.29

M

M

M

M

<span Arial Black",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">∑

<span Bookman Old Style",«serif»; mso-ansi-language:EN-US">β

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

Y1

Y2

Y3

Y4

X5

250

1

1

1

1

1

255

250

M

Y1

540

1

31

1

2

-1

1

547

180

M

Y2

200

2

1

2

-1

1

205

200

M

Y3

400

2

3

-1

1

405

200

M

Y4

390

1

2

-1

1

393

195

1530M

4M-0.28

8M-0.28

4M-0.3

4M-0.29

-M

-M

-M

-M

X5

70

2/3

2/3

1/3

1

1/3

-1/3

218/3

70/3

0.28

X2

180

1/3

1

1/3

2/3

-1/3

1/3

547/3

-

M

Y2

20

5/3

-1/3

4/3

1/3

-1

-1/3

1

68/3

20/3

M

Y3

40

-2/3

7/3

-4/3

2/3

-1

-2/3

1

121/3

80/3

M

Y4

30

1/3

-2/3

-4/3

2/3

-1

-2/3

1

85/3

60/3

50.4+90M

4/3M-1/6

4/3M-31/150

-4/3M-31/300

5/3M-7/75

-M

-M

-M

-8/3M+7/75

Дальнейшеерешение было проведено на компьютере и получены следующие ответы: всегоподлежит раскрою 200 плит, причем все раскраиваются вторым способом, тогда мыполучим 600 заготовок первого вида, 200 – второго, 400 – третьего, 400 –четвёртого, при минимальных отходах, равных 56 м2.

 
Экономическая сущность иматематическое моделирование транспортных задач.

Известны: пункты производства (А1, А2… Ai… Аm); m– пунктов, производящихконкретную продукцию;

аi– мощность i-поставщика (сколько необходимо реализоватьпродукции, т. е. перевести из Аi)

<img src="/cache/referats/17642/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">–суммарная мощность поставщиков в плановом периоде;

пунктыпотребления (В1, В2 … Bj… Вn);n– пунктов потребления конкретной продукции;

bj– потребность (спрос, ёмкость) j-поставщикав конкретной продукции;

 <img src="/cache/referats/17642/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">–суммарный спрос n-потребителей.

1) <img src="/cache/referats/17642/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">  – сбалансированные спрос и предложение, такиезадачи называются закрытыми транспортными задачами;

<img src="/cache/referats/17642/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">  ­– открытая транспортная задача.

2)возможна поставка продукции из любого пункта производства в любой пунктпотребления.

3)сij– затраты на поставку продукции, т. е. критерийоптимальности (может быть и на производство, и на транспортировку).

Взадаче требуется найти план транспортных связей между поставщиками ипотребителями продукции, при котором потребности всех потребителей были быудовлетворены с минимальными суммарными затратами на поставку всей продукции.

xij– объём поставки от i-поставщика к j-потребителю(искомая величина)

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Поставщики

и их мощности

Потребители и их спрос

B1 …………………………… Bj …………………………………… Bn

b1 …………………………… bj …………………………………… bn

С=[ сij]mxn/ Х=[ xij]mxn

A1

a1

c11

…………………….

x11…………………

c1j

………………….

………x1j………

c1n

………………

…………… x1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.            .                 .

.            .                 .

.            .                 .

.

.

.

.             .             .

.             .             .

.             .             .

.

.

.

.          .         .

.          .         .

.          .          .

Ai

ai

ci1

…………………….

xi1…………………

cij

………………….

………xij………

cin

………………

…………… xin

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Am

am

cm1

…………………….

xm1…………………

c11

………………….

………xmj………

c11

………………

…………..xmn

Целеваяфункция:

<img src="/cache/referats/17642/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041">  (1)

Условиереализации продукции у каждого из поставщиков:

<img src="/cache/referats/17642/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042">  (2)

Условиеобеспечения всех потребителей продукцией по их потребности:

<img src="/cache/referats/17642/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">   (3)

Условиене отрицательности переменных:

<img src="/cache/referats/17642/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1044">     

Врешении системы линейных уравнений 2 и 3 необходимо найти такие неотрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальноезначение.

m+n-1 – линейно независимыхуравнений, ранг системы, r= m+n-1.

Вкаждом опорном плане должно быть m+n-1 базисных элементов (xij<span Palatino Linotype",«serif»">>

0), если таких переменныхравно или больше, чем m+n-1, план называетсяневырожденный; если одна или несколько базисных переменных равна нулю, то такойплан считается вырожденным.Открытые транспортные задачи.

a) <img src="/cache/referats/17642/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

<img src="/cache/referats/17642/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1046">  (1)

<img src="/cache/referats/17642/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1047">  (2)

<img src="/cache/referats/17642/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1048">   (3)

<img src="/cache/referats/17642/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

Bn+1: <img src="/cache/referats/17642/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> – потребность какого-то потребителя, находящегосяза пределами района (фиктивный потребитель).

<img src="/cache/referats/17642/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1051">  (1)

<img src="/cache/referats/17642/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1052">  (2)

<img src="/cache/referats/17642/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1053">   (3)

<img src="/cache/referats/17642/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

<img src="/cache/referats/17642/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

сi, n+1=0 (i=1,2…m)

б) <img src="/cache/referats/17642/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

<img src="/cache/referats/17642/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1057">  (1)

<img src="/cache/referats/17642/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1058">  (2)

<img src="/cache/referats/17642/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1059">   (3)

<img src="/cache/referats/17642/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1060">     

Аn+1:<img src="/cache/referats/17642/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> – фиктивный поставщик.

<img src="/cache/referats/17642/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1062">  (1)

<img src="/cache/referats/17642/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1063">  (2)

<img src="/cache/referats/17642/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1064">   (3)

<img src="/cache/referats/17642/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

<img src="/cache/referats/17642/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1066">     

Ограничение транспортных возможностей.

а) xij=0 => cij=М, где М»0;

б)0 <span Palatino Linotype",«serif»">≤

хij<span Palatino Linotype",«serif»">≤ dij

dij– характеризует транспортные возможностимежду i-поставщиком и j-потребителем.

Тогдапоставщик Аiусловно делится на Аi` и Аi``,при этом ai`=dijи ai``= ai`-dij, cij`=cijи cij``=М, где М»0.

<span Arial",«sans-serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-font-kerning:16.0pt;mso-ansi-language: RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">
Рассмотримпример решения транспортной задачи методом потенциалов.

В1

200

В2

250

В3

275

В4

255

<td colspan=
еще рефераты
Еще работы по экономико-математическому моделированию