Реферат: Средневзвешенная продолжительность платежей (дюрация)

И.Я. Лукасевич

Досих пор мы принимали во внимание только одну временную характеристику облигаций– срок погашения n. Однако для обязательств с выплатой периодических доходов неменее важную роль играет еще один временной показатель – средневзвешеннаяпродолжительность платежей, или дюрация.

Понятие«дюрация» было впервые введено американским ученым Ф. Маколи (F.R.Macaulay) и играет важнейшую роль в анализе долгосрочных ценных бумаг сфиксированным доходом. В целях упрощения будем предполагать, что купонныйплатеж осуществляется раз в год. Тогда дюрацию D можно определить из следующегосоотношения:

/>, (2.7)

гдеCFt – величина платежа по купону в периоде t; F – сумма погашения (как правило– номинал); n – срок погашения, r – процентная ставка (норма дисконта), равнаядоходности к погашению (r = YTM).

Рассмотримсоотношение (2.7) более подробно. Нетрудно заметить, что знаменатель (2.7)представляет собой формулу для расчета текущей стоимости облигации сфиксированным купоном (2.6), т.е. – величину PV. Преобразуем (2.7) с учетомвышесказанного и величины нормы дисконта r = YTM.

/>(2.8).

Из(2.8) следует, что дюрация является средневзвешенной из периодов поступлений пооблигации. Используемые при этом веса представляют собой долю каждогодисконтированного платежа в современной стоимости всего потока – PV. Рассмотримследующий пример.

Пример2.7

Облигацияс номиналом в 1000 и ставкой купона 7%, выплачиваемого раз в год, имеет срокобращения 3 года. Определить дюрацию данного обязательства.

Расчетдюрации для этого примера приведен в табл. 2.3.

Таблица2.3

Расчетдюрации

t CFt (1 + YTM)t PVt PVt / PV t(PVt / PV) 1 70 1,070 65,42 0,0654 0,0654 2 70 1,145 61,14 0,0611 0,1223 3 1070 1,225 873,44 0,8734 2,6203 Итого - - 1000,00 1,0000 2,8080

Такимобразом, средняя продолжительность платежей по 3-х летней купонной облигацииприблизительно равна 2,8 года. Дюрация 20-летней облигации с купоном 8% годовыхбудет равна всего 11 годам, т.е. почти в 2 раза меньше срока погашения!

Нетруднозаметить, что дюрация зависит от трех факторов – ставки купона k, срока погашенияn и доходности YTM. Эта зависимость для 20-летней облигации при различныхставках k и YTM показана рис.2.7.

/>

Рис.2.7. Зависимость дюрации от ставки купона k и доходности YTM

Графическаяиллюстрация взаимосвязи дюрации с показателями n, k и YTM позволяет сделать рядважных выводов:

дюрацияоблигации с нулевым купоном всегда равна сроку ее погашения, т.е.: при k = 0, D= n;

дюрациякупонной облигации всегда меньше срока погашения: при k > 0, D < n;

сростом доходности (процентной ставки на рынке) дюрация купонной облигацииуменьшается и обратно.

Показательдюрации, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенностивременной структуры потока платежей. Как следует из (2.8), отдаленные платежиимеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат,чем более близкие к моменту оценки.

Дюрациючасто интерпретируют как средний срок обязательства, с учетом его текущей(современной) величины, или другими словами, как точку равновесия сроковдисконтированных платежей. В частности, дюрацию купонной облигации можнотрактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов(например, облигации с нулевым купоном).

Важноетеоретическое и прикладное значение в анализе играет предельная величинадюрации (limiting value of duration) – LVD, вычисляемая по формуле:

/>. (2.9)

Отметимследующие свойства этого показателя:

средняяпродолжительность платежей по бессрочным облигациям равна величине LVD,независимо от величины ставки купона;

дюрациякупонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонновозрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своемупредельному значению – LVD, по мере приближения срока погашения кбесконечности, т.е. при n ® ¥, D ® LVD;

дюрациякупонной облигации, приобретенной с дисконтом, достигает своего максимумапрежде, чем срок погашения приблизится к бесконечности и затем снижается понаправлению к величине LVD.

Однакоглавная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризуетчувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке(доходности к погашению). Таким образом, используя дюрацию можно управлятьриском, связанным с изменением процентных ставок.

Вобщем случае, процентный риск облигации может быть измерен показателемэластичности ее цены P по отношению к рыночной ставке r. Пусть r = YTM, тогдаэластичность EL можно определить по формуле:

/>. (2.10)

Посколькумежду ценой облигации и ее доходностью к погашению существует обратнаязависимость, величина EL будет всегда отрицательной. Из (2.10) следует, что:

/>. (2.11)

Еслиr = YTM, то ее величина может быть определена из (2.4). Применив дифференцированиеможно показать, что:

/>-/>. (2.12)

Откуда:

/>. (2.13)

Из(2.11) и (2.13) следует, что EL = D, т.о. дюрация характеризует эластичностьцены облигации к изменениям ее доходности.

Преобразуемправую часть (2.13) следующим образом:

/>. (2.14)

Величина,заключенная в квадратные скобки, получила название модифицированной дюрации(modified duration – MD):

/>. (2.15)

Тогда:

/>. (2.16)

Формулу(2.16) часто используют для определения приблизительного изменения ценыоблигации исходя из предполагаемого изменения доходности к погашению.Рассмотрим следующий пример.

Пример2.8

Предположим,что облигация из примера 2.7 была куплена по номиналу. При этом инвесторожидает рост рыночной процентной ставки на 1%. Определить ожидаемое изменениецены облигации.

Величинасредней продолжительности платежей D для этой облигации была найдена прирешении примера 2.7 и составила приблизительно 2.8. Определим ожидаемоепроцентное изменение YTM:

DYTM = 0,01 / (1 + 0,07) = 0,0093.

Найдемвеличину MD:

MD= 2,8 / 0,0093 = 2,62.

Предполагаемоепроцентное изменение цены облигации составит:

DР = — (0,01 ´ 2,62) = -0,0262 » -2,6%.

Такимобразом, курс облигации К должен понизиться на 2,6%. Поскольку облигация былакуплена по номиналу, новый курс должен быть приблизительно равен: 100 — 2,6 =97,4%.

Осуществимпроверку нашего предположения (т.е. определим курс облигации, при условии, чтоYTM = 8%):

/>

Завершаярассмотрение свойств дюрации кратко остановимся на недостатках, присущихданному показателю.

Первоеограничение вытекает из нелинейной формы связи между YTM и Р (см. рис. 2.1).Поскольку скорость изменения показателей при этом будет разной, применениепоказателей D или MD для прогнозирования цен облигаций в случае значительныхколебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса приросте YTM и занижению реального роста курса при уменьшении YTM.

Другимсущественным недостатком дюрации как меры измерения процентного риска являетсянеявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом,предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются также, как идолгосрочные. Например, если доходность по 3-х месячным ГКО изменилась на 1%,то и доходность 15-летних ОВВЗ также должна измениться на 1%. Нереалистичностьподобного допущения очевидна.

Несмотряна отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей(дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе [13, 15,16].

Какбыло показано выше, причинами проблем, возникающих при использовании дюрации,является нелинейность взаимосвязи между ценой и доходностью. В качестве еехарактеристики может быть использована вторая производная функции (2.6):

/>/>

Изданного выражения, в частности, следует выпуклость кривой цена-доходность (рис.2.1). С математической точки зрения, значение данного выражения представляетсобой скорость изменения дюрации при изменении доходности к погашению YTM.Геометрически – это расстояние между касательной к кривой«цена-доходность» в некоторой точке (рис. 2.1) и самой кривой.

Нетруднозаметить, что численное значение второй производной зависит от величиныкупонного платежа ct, срока обращения Т и доходности YTM. Поскольку длякупонных облигаций, в большинстве случаях, ct = const и срок погашения Тизвестен заранее, главный интерес представляет зависимость от YTM. Как следуетиз формулы выпуклости, численное значение второй производной уменьшается сростом YTM и обратно. Таким образом, выпуклость является объяснениемсформулированного выше правила асимметричного изменения цен при одинаковомизменении доходности (величина роста курса всегда больше, чем величинападения). Перепишем формулу в следующем виде:

/>/>.

Разделивна Р, получим количественное измерение степени крутизны (выпуклости) кривой«цена-доходность»:

/>/>.

Изприведенных формул следует, что выпуклость прямо зависит от срока погашения Т идюрации соответственно. Можно также показать, что выпуклость являетсявозрастающей функцией от последней. В целом, свойства выпуклости по отношению кТ и k аналогичны свойствам дюрации.

Вместес тем, выпуклость связана положительной зависимостью с изменениями процентныхставок (доходности к погашению). Объяснение этого свойства следует из тогофакта, что выпуклость можно определить как разность между фактической ценойоблигации и ее ценой, определенной с использованием модифицированной дюрации.

Совместноеиспользование дюрации D и выпуклости V при анализе ценных бумаг с фиксированнымдоходом позволяет существенно повысить точность оценки изменений их стоимости.Вместе с тем, их совместное использование требует соответствующей формализации.

Одиниз подходов к решению данной проблемы базируется на аппроксимации измененияцены облигации ¶ P с помощью рядов Тейлора. При этом, степенной ряд будет иметьследующий вид:

/>.

Ограничимсярассмотрением первых двух элементов ряда. Разделив обе части на Р, имеем:

/>.

Первоеслагаемое теперь является дюрацией D, а второе – выпуклостью V, умноженной наконстанту. С учетом вышеизложенного, более эффективную формулу для определениябудущей цены облигации в зависимости от изменений доходности можно задать вследующем виде:

/>,

гдеР – будущая цена при условии, что доходность изменится на величину ¶ (YTM); Р0– текущая цена; D – дюрация; V – выпуклость.

Результатысравнительного анализа точности прогнозирования будущей цены 15-летней ОВВЗседьмого транша с годовым купоном 3% при требуемой норме доходности 9% взависимости от изменений доходности к погашению с использованием дюрации иполученной модели приведен в таблице 2.3а.

Таблица2.3а

Сравнительныйанализ точности прогноза цены ОВВЗ

¶ YTM YTM Реальная цена (P) Прогноз цены (модель с D ) Прогноз цены (модель с D и V ) P Отклон. Р Отклон. -0,04 0,05 79,24068 72,46125 6,779 77,95719 1,2835 -0,03 0,06 70,86325 67,25594 3,607 70,3474 0,5158 -0,02 0,07 63,56834 62,05062 1,518 63,42461 0,1437 -0,01 0,08 57,20261 56,84531 0,357 57,18881 0,0138 0,09 51,64 51,64 0,000 51,64 0,0000 0,01 0,10 46,75744 46,43469 0,323 46,77818 0,0207 0,02 0,11 42,47304 41,22938 1,244 42,60336 0,1303 0,03 0,12 38,70222 36,02406 2,678 39,11553 0,4133 0,04 0,13 35,37621 30,81875 4,557 36,31469 0,9385

Отметим,что добавлением в полученную модель элементов ряда Тейлора более высокихпорядков можно добиться еще большей точности прогноза, вместе с тем, их доля вобщем изменении стоимости достаточно мала.

Проведенныеисследования свойств количественных характеристик облигаций являютсятеоретической базой для разработки моделей управления портфелями ценных бумаг сфиксированным доходом.

Список литературы

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/