Реферат: Математика и живые организмы

Содержание

I.

Введение

II.

Основная часть

1)

Как считаютнейроны

2)

Клетка в числах

3)

Глаза и логарифмы

4)

Объект восприятия– пространство

5)

Зачем кошкевектор

6)

Векторы в мозгуобезьяны и человека

7)

Математическаямодель теплообмена в носовой полости

8)

Интенсивностьметаболизма

9)

Симметрия

10)Спиральные образования

III.

Заключение

IV.

Список использованной литературы

I.

Введение

Недавно мне попалась в руки увесистая монография, гдечуть ли не каждая страница была испещрена формулами. А речь шла всего лишь отом, как человек стоит. Что же произойдет, когда он сделает два- три шага?Какого размера должна быть страница, чтобы на ней уместилось хотя бы одно изалгебраических уравнений, описывающих движение? А разве менее сложна геометрияживых форм, начиная от амебы и кончая замысловатыми букетамиживотных-цветов—морских анемонов?

Живая природа сделала множество «изобретений», которыелюди поняли и смогли повторить лишь при соответствующем уровне развития науки итехники. Например, принцип эхолокации эффективно используют и дельфины, илетучие мыши, а в технике он появился только в XX веке; поиск добычи поинфракрасному излучению используют многие виды змей, в то время как очки дляночного видения созданы лишь недавно и т. д. До последнего времени бытовалоубеждение, что природа не изобрела колеса, что здесь техника пошла своиморигинальным путем. Но оказалось, что жгутики бактерий вращаются в специальных«подшипниках» и, значит, колесо тоже «изобретено» природой еще на самых раннихэтапах эволюции. Существует специальная наука — бионика, которая изучает«патенты природы». Оказывается, что их можно иногда использовать и в«человеческой» технике.

Менее известно, что в живых организмах происходятявления, которые позволяют считать, что природе принадлежит «приоритет» и в созданиисвоеобразных ЭВМ — устройств, производящих операции, весьма сходные сматематическими операциями, которые мы склонны считать достижением. Две руки,два глаза. Десять пальцев на руках — древнейший счетный прибор и основадесятичной системы счисления. Уже беглый взгляд на наше собственное телооткрывает то, что можно было бы назвать арифметикой живого. Прибавьте к этомуудивительную способность природы многократно копировать из поколения впоколение эти бесконечно прихотливые и, казалось бы, неповторимые комбинациилиний, фигур и поверхностей— и станет понятно, что математический расчетвнутренне присущ живой материи ничуть не меньше, чем миру «стальных машин, гдедышит интеграл». Попробуем уяснить себе, в чем именно проявляется присутствиематематики в биологическом организме.

Цель работы:исследовать связь математики с живой природой; доказать наличие упредставителей флоры и фауны тех признаков, которые позволяют создать ихматематическую модель; объяснить естественные процессы с точки зрения математики;рассказать о некоторых «изобретениях» природы, которые используются и будутиспользоваться в науке и технике; показать, как знания из области математикимогут помочь в биологии.

Задачи научной проблемы: научиться создавать технические объекты на основематематических моделей представителей флоры и фауны; решать вопросы, связанныес живыми организмами, используя математические законы; «перенять» у природы ее«изобретения».

II.

Основная часть

1)

Как считают нейроны

Первое знакомство с математикой — это счет: «Раз, два,три, четыре, пять, вышел зайчик погулять». И самым простым кажется и считаетсянатуральное число. Уже отрицательные числа очень медленно входили в математику.Появившись в раннем средневековье у математиков Индии, они лишь в XIII—XIVвеках проникают в европейскую науку, встречая там поначалу весьма сдержанноеотношение. Их называют «ложными», «абсурдными» числами. Но постепенноотрицательные числа доказали свое право на существование и стали привычными нетолько для специалистов — то, что было «на переднем крае науки» в средние века,сегодня спокойно воспринимают пятиклассники.

А вот в живых организмах, оказывается «все наоборот»:нервной клетке (нейрону) естественно и просто осуществлять операции сположительными и отрицательными действительными «числами», а для того чтобы«считать» даже до двух, требуется система из нескольких нейронов — примитивный«мозг».

Как же работает нейрон? Как всякая клетка, нейронотделен от наружной межклеточной среды особой оболочкой — мембраной. Междувнутренним содержимым клетки и наружной средой существует разность потенциалов.Если клетка находится в покое, разность потенциалов на ее мембране не меняется.Эту разность потенциалов в покое естественно принять за нулевой уровень(подобно тому, как приняли за нулевую температуру таяния льда).

На нейрон могут действовать другие нервные клетки —возбуждающие и тормозные. Сигналы, полученные от этих клеток, вызываютизменения разности потенциалов на мембране в двух противоположных направлениях.Когда разные сигналы приходят к нейрону одновременно, они складываются, причем,естественно, с учетом знака, т. е. нейрон суммирует приходящие к немуположительные и отрицательные сигналы; эта сумма может быть положительной илиотрицательной.

Интересная особенность работы нейрона состоит в том,что в отличие от технических сумматоров — от древнего абака до ЭВМ — полученнуюсумму он «помнит» недолго: если внешние воздействия прекратились, тонакопленная сумма начинает убывать по абсолютной величине, чтобы нейронвозвратился в состояние покоя (потенциал на мембране стремится к значению,которое мы приняли за нуль).

Такая вроде бы «ненадежность» нейрона связана с тем,что он предназначен не для хранения, а для передачи и преобразования информации:полученный сигнал нейрон передает другим клеткам нервной сети(клеткам-«мишеням» или «адресатам»). По способу передачи сигнала существуют дваразных типа нейронов с разными принципами работы: «аналоговые» и «пороговые» нейроны.

Нейрон первого типа действует на клетки-мишени ссилой, пропорциональной накопленной сумме,— но только в том случае, когда этасумма положительна. Когда же сумма отрицательна, то она дальше не передается —нейрон заторможен. Правило преобразования сигналов аналоговыми нейронами описываетсяформулой y = k(x +|x|)/2, где х — накопленный потенциал, у — величина переданного сигнала, а k—коэффициент пропорциональности.

Нейроны второго типа работают иначе. Такой нейрон«молчит», пока сумма воздействий не достигнет некоторой определеннойположительной величины — «порога». Тогда нейрон возбуждается и посылает посвоему выходному отростку — аксону — электрический импульс (всегда одной и тойже величины), который и действует на клетки-мишени. После возбуждения нейроннекоторое время «отдыхает» — молчит, независимо от того, действуют на негодругие клетки или нет, а затем, если к концу отдыха накопленная сумма вышепорога, посылает новый импульс. В результате в зависимости от величины входногосигнала, его длительности и в зависимости от характеристик нейрона на выходеполучается сигнал в виде серии импульсов постоянной величины, но разнойчастоты. Таким образом, пороговые нейроны используют совершенно нетривиальныйпринцип кодирования информации частотой сигнала.

Однако, как и непрерывный выходной сигнал нейронованалогового типа, изменение частоты несет информацию только о величине входногосигнала, меняющейся непрерывно. В то же время известно, что животные умеютсчитать (например, выдавать реакцию только на каждый третий стимул).Естественно предположить, что в нервной системе имеются устройства, которыепо-разному реагируют, например, на двукратное воздействие и на однократное. То,что известно о принципах работы нейронов, позволяет утверждать: одиночнойнервной клетке такая «простая» с человеческой точки зрения операция, как счет,не под силу. Недостаток места не позволяет нам описать устройство из несколькихнейронов, способное выдавать ответ, например, на каждый второй стимул.

2)

Клетка в числах

К одностороннему (гаплоидному) набору материнскиххромосом добавился такой же отцовский набор. Простейший пример па сложение:один плюс один. Но с него начинается возрастающая геометрическая прогрессия —цепная реакция делений клетки-прародительницы. Сумма ее потомков зависит, поизвестной формуле, от знаменателя прогрессии, а в переводе на биологическийязык — от темпа делений. Для того чтобы произошло очередное деление, клеткадолжна удвоить количество ядерной ДНК. Иначе говоря, скорость счета задаетсяконцентрацией ферментов, регулирующих скорость тиражирования (репликации) ДНК.

Попробуем представить себе работу воображаемоговычислительно программирующего устройства,управляющего ростом зародыша. Сначала на стадии бластулы появляются отделы,которые условно можно обозначить как верхний и нижний, правый и левый. Они зеркальносимметричны. Бластулу сменяет гастула — образуется шар из клеток. И тутнаступает первая «катастрофа». Этот не слишком удачный, но уже прижившийсятермин обозначает нарушение симметрии. Внутренняя программа генетическогоразвития срабатывает таким образом, что дальнейшее разбухание шара — нарастаниемассы одинаковых клеток — приостанавливается. Но в отдельных участках делениепродолжается — оно становится ассиметричным. Прежде клетки зародыша были все наодно лицо. Теперь начинается их дифференцировка.

На этом стоит остановиться подробнее, потому что сутьпроцесса, по-видимому, одинакова, идет ли речь о закладке первичной трубки илиоб «отделочных работах», к которым можно отнести закладку боковыхпридатков. В результате несколькихасимметричных делений накапливаются группы клеток с особым пространственнымрасположением и собственным темпом счета (размножения). Почему это происходит?Об этом можно высказываться лишь предположительно. Полагают, что гены сами посебе не предопределяют пространственное построение зародыша. То есть они задаютлишь общий план, замысел, « а не конкретный макет будущего здания. В самойобщей форме схема дифференцировки (возникновения катастроф) может бытьпредставлена так. Открытые (активированные) гены обеспечивают синтез несколькихактивных белков-организаторов. В свою очередь белки способны активизировать(открыть) гены, ответственные за последующие организаторы, и т. д. Предположим,что эти вещества-организаторы имеют различные коэффициенты диффузии (вполнеправдоподобное допущение). При достижении определенной концентрации такоговещества наступает критическое состояние, когда появляется новая асимметрия.

Другими словами — если вернуться к нашейвычислительной машине—мы получаем приблизительно такую программу: решениепервое (организатор № 1) дает 10 последовательных делений — образуется 210клеток. Они составляют «критическую массу». Катастрофа. Асимметричное деление вновом пространственном положении включает организатор № 2. Далее происходит,скажем, девять симметричных делений, дающих новую «критическую массу», изкоторой формируется гребень, уплотнение, тяж…

Например, на руке у человека пять пальцев. Какимобразом эмбрион считает до пяти? На самом деле он считает не до пяти, а додвух. Сначала два симметричных «рукава». Это так называемый креод, или каналразвития будущих рук.

Креод можно образно назвать судьбой недифференцированной клетки: очутившисьв некоторой пространственной ситуации, клетка под действием организаторов почтинеотвратимо следует своему предназначению — кладет начало определенномуоргану. Происходит это вот как. В определенный момент своего развития креодплечевой кости терпит катастрофу — образуется гребень, который разграничиваетзачаток руки на два субкреода. Это зачатки будущих костей предплечья — локтевойи лучевой.

Если почему-либо процесс счета на этом оборвется,может родиться ребенок с врожденным дефектом — так называемой клешневиднойрукой. Нормальную работу «вычислительной машины» нарушает постороннеевмешательство — сюрприз вне программы. Его может преподнести попавшее извнемутагенное химическое вещество, искажающее генетическую программу, или,например, вирус краснухи — хорошо известная причина врожденных уродств. Внорме, однако, за первым счетом до двух следует второй, тоже до двух — новоеразделение субкреодов на два дочерних зачатка. После этого должна наступитькатастрофа — асимметричное деление в одном из зачатков; в итоге получитсяискомое число 5. Если же деление произойдет симметрично, то будет не пятьпальцев, а шесть. Известно, что шестипалость наследуется. То есть в некоторыхслучаях вычислительная машина дает систематическую и притом всегда двустороннюю(на обеих руках) ошибку.

Известны и другие варианты живой арифметики. Например,деление первичной нервной трубки на 32—35 сегментов — будущих позвонков. Притаких относительно больших числах возможна ошибка на две-три единицы за счеткопчика — рудиментарного хвоста. Фактически счет прерывается, когда иссякаюторганизаторы, т. е. с момента, когда генетический план оказывается полностьюреализованным. Словно некий прораб окидывает взглядом готовое здание, сверяетего с чертежом и убеждается, что все этажи на месте. А что будет, если ужевозведенную постройку частично разобрать? Эксперименты такого рода провел нанекоторых кольчатых червях Б. Момент. Он отсекал от червя несколько сегментов,и каждый раз регенерировало ровно столько сегментов, сколько их недоставало.Каждый раз восстанавливался стандарт — 22 сегмента. Значит, вычислительноеустройство функционирует и во взрослом организме.

3)

Глаза илогарифмы

Зрительные рецепторы, так же, как и другие — слуховые,температурные и т. д., получают сигналы из внешнего мира; они должны передатьзрительную информацию в мозг точно и своевременно. Передача сигналов от глаза кмозгу осуществляется нейронами «порогового» типа—аналоговый способ оказываетсянеприменимым при передаче сигналов на достаточно большие расстояния. А упороговых нейронов, как уже говорилось, все импульсы совершенно одинаковы, исведения о величине входного сигнала эти нейроны передают меняя частотуимпульсации.

Тут возникает вот какая проблема. Освещенность всумерках, когда предметы еле видны, отличается от освещенности при яркомсолнечном свете примерно в миллиард (т. е. в 109) раз. Максимальная же частота,с которой может работать нейрон — 1000 импульсов в секунду. Легко сообразить,что нельзя передавать информацию, меняя частоту работы нейрона пропорциональноосвещенности: если при ярком свете частота импульсов будет максимальной (1000имп/с), то при уменьшении освещенности в миллион раз сигнал будет поступатьвсего один раз в 15 минут. Но за это время он совершенно потеряет своюактуальность!

Но может быть, разумно такое устройство зрительнойсистемы, когда разные ее элементы, разные нейроны работают каждый в своемдиапазоне освещенности: одни в сумерки, другие в пасмурный день, третьи наярком солнце. Простой подсчет показывает, что если принять за нижнюю границучастоты работы нейрона, необходимой для достаточно своевременной передачиинформации, 1 имп/с, то для охвата диапазона изменения освещенности в миллиардраз потребуется миллион нейронов — и это без всякого «запаса» прочности, бездублирования их работы! Но главное вот что: в каждый момент будет работатьтолько одна клетка из миллиона, а остальные 999 999 будут «даром есть хлеб»:ведь в отличие от технических, живые «механизмы» потребляют энергию (свой«бензин») не только во время работы. А экономия энергии в живой природе — одноиз главных условий выживания.

Итак, линейная зависимость между входными и выходнымисигналами в случае глаза оказывается нецелесообразной. И действительно, вприроде в этом случае используется другая функция, по школьным меркам довольносложная.

Экспериментально это было установлено в 1932 годуанглийским ученым X. Харлайном. На рисунке 1приведены результаты его исследования. Он регистрировал нервные импульсы,идущие по одиночному нервному волокну от глаза к мозгу, у мечехвоста (морскогочленистоногого, похожего на вымерших трилобитов. На графике показана зависимостьчастоты импульсации от яркости света.

«Но позвольте! — скажете вы.— На графике прямая линия— значит, это линейная функция» Не торопитесь, вглядитесь в шкалу нагоризонтальной оси, она ведь неравномерна, нелинейна: при сдвиге на одноделение аргумент (яркость) меняется не на одну и ту же величину, а в одно и тоже число раз.

При линейной зависимости равным приращениям аргументасоответствуют равные приращения функции, или, что то же самое, линейнаязависимость переводит арифметическую прогрессию значений аргумента варифметическую же прогрессию значений функции. Когда мы имеем дело споказательной функцией у = ах,то равным приращениям аргумента соответствует равномерный относительный приростфункции. Например, при постоянных условиях обитания и неограниченных ресурсахтак растет численность какой-либо популяции: число особей за каждый годувеличивается на 10 %, т. е. в 1,1 раза. Другими словами, показательная функция«переводит» арифметическую прогрессию в геометрическую. На нашем графикеситуация обратная: частота импульсации нейрона меняется на одну и ту жевеличину, когда воздействие меняется в одно и то же число раз. Значит, мы имеемдело с функцией, обратной к показательной, т. е. с логарифмической; инымисловами, нейроны глаза мечехвоста превращают геометрическую прогрессиюраздражений в арифметическую прогрессию сигналов.

Это свойство зрительных рецепторов, выработавшееся в ходе эволюции, позволяетглазу работать эффективно и экономно, обеспечивает возможность хорошовоспринимать контраст. Пусть светлый и темный предметы различаются поспособности отражать свет в десять раз. Тогда и на ярком солнце, и в сумеркахсветлый предмет будет отражать в десять раз больше света, чем темный. Поэтомусравнительная яркость этих предметов не меняется; не меняется и расстояниемежду соответствующими точками на оси абсцисс. А это означает, что разницачастот работы рецепторов, на которые падает свет от этих двух предметов, будетоставаться неизменной при разных освещенностях. Так что «умениелогарифмировать» позволяет глазу не только работать в широком диапазонеосвещенностей, но и при малой освещенности различать предметы, абсолютнаяразность освещенностей которых очень мала.

Интересно, что описанная зависимость между внешнимсигналом (раздражением) и сигналом, воспринимаемым мозгом (ощущением),первоначально была обнаружена психологами. Сделал это французский ученый П.Бугер еще в XVIII веке. В начале XIX века немецкий физиолог и психолог Э. Вебердетально изучил связь между раздражением и ощущением. Он выяснял, как нужноизменить какой-то раздражитель, чтобы человек заметил это изменение. Оказалось,отношение изменения величины раздражителя к его первоначальному значению есть величина постоянная: <img src="/cache/referats/26832/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> I— мерараздражителя, ∆I— приростраздражителя, k—константа Вебера.

Константа Вебера зависит от того, какой рецепторраздражается. Например, при восприятии веса й=1/30. Это значит, что, когдачеловек держит груз в <st1:metricconverter ProductID=«100 г» w:st=«on»>100 г</st1:metricconverter>,он замечает его изменение при увеличении веса на <st1:metricconverter ProductID=«3,4 г» w:st=«on»>3,4 г</st1:metricconverter>, а для груза в <st1:metricconverter ProductID=«200 г» w:st=«on»>200 г</st1:metricconverter> требуется прибавка в <st1:metricconverter ProductID=«6,7 г» w:st=«on»>6,7 г</st1:metricconverter>. Для высоты звукаконстанта Вебера равна 0,003, для громкости звука — 0,09 и т. д.

Исходя из экспериментов Вебера, другой немецкийфизиолог и психолог Г. Фехнер сформулировал знаменитый закон Вебера — Фехнера:ощущения растут в арифметической прогрессии, когда раздражение растет вгеометрической прогрессии.

Этот закон был опубликован в книге Фехнера «Элементыпсихофизики» в 1859 году. Там же было приведено и математическое выражениезакона:

E=alog I+ b

где Е — мера ощущения, а и Ь— константы, I — мера раздражения.

Рис. 1

4)

Объект восприятия – пространство

Здесь уподобление мозга вычислительной машине сталонастолько тривиальным, что эти слова можно даже не брать в кавычки. Нотождественность результатов на «выходе» (задачку можно решить в голове, можно ина ЭВМ) еще не значит, что оба устройства работают одинаково. К тому же нас вданном случае интересует не столько способность мозга распутыватьматематические или какие-нибудь другие задачи как таковые, сколько его умениеуправлять телом. Точность движений роднит человека со всем животным миром, хотянадо признать, что в этой области он как раз не чемпион.

Предметы, окружающие нас, трехмерны. Однакоизображение их на сетчатке двухмерно. Формирование образа трехмерного объекта –процесс далеко не простой. В нем участвуют как бессознательные, так илогические операции.

Соотношение между зрительным ощущением перспективы итретьим измерением интересовало еще древних греков. Пифагорийцы выдвинули идеюоб особом флюиде, который испускается глазами и «ощупывает» предметы. Атомисты,например, были сторонниками испускания предметами «призраков», которые,…попадая в глаза, приносят ощущение формы и глубины.

Согласно Платону, от предметов исходит специальныйфлюид, который встречается со «светом дня», бьющим из наших глаз. Если обафлюида подобны друг другу, то, встречаясь, они «связываются» и газа получаютощущение глубины видимого. Если же «свет очей» встречается с несхожим флюидом,он гаснет и не дает ощущение.

Несмотря на наивность физической трактовки восприятия,древние греки достигли больших успехов в геометрической оптике. Евклид старалсяподчеркнуть геометрический характер оптических изображений. Великий астрономПтоломей не ограничился, как Евклид, рассмотрением геометрической оптики, онобсуждал физические процессы, лежавшие в основе зрения, и связанные с нимиоптические иллюзии.

Знаменитый французский монах Роджер Бэкон, живший в XIIIв., писал о том, что опыт не может основываться лишьна внешних ощущениях, потому что он не полностью говорит о духовных. Огромнуюроль в пространственной ориентации играет наше сознание.

В мозгу производиться синтез зрительного образа иизвлечение информации о его геометрической протяженности и пространственнойориентации из двух несовершенных, перевернутых и искривленных шарообразнойформой глазного яблока изображений. Чтобы получить информацию о глубине,необходимо иметь, по крайней мере, два плоских изображения, смещенных нанекоторый угол.

Глаза человека могут поворачиваться в глазных впадинахболее чем на 80˚ в вертикальном и горизонтальном направлениях. Мозгрегистрирует сигналы о натяжении мышц глаза, кроме того, существенная рольпринадлежит тремору – мелким движениям глазного яблока. Корректирующая работамозга при пространственном восприятии чрезвычайно велика. Именно этимобъясняется постоянство в восприятии размеров предметов в некотором диапазонерасстояний, когда изображения на сетчатке претерпевают изменения. Иногданаблюдается обратное явление, например не нашедшее еще объяснения кажущеесяувеличение размеров Солнца и Луны у Лии горизонта. Этот парадокс был известенеще Архимеду.

Сейчас нам довольно подробно известно, каким образомпроприоцептивные рецепторы, поставляющие информацию о взаимном расположениивсех частей нашего тела, создают в мозгу внутренний образ тела. Мы не тольковидим себя, но и ощущаем собственное тело как границу нашего Я в беспредельноммире. Эти ощущения привычны для нас, они дают нам реальную картину соотношенийвнутреннего и внешнего. Лишь в особых случаях — при некоторых заболеваниях — всознании возникают пространственные иллюзии: огромная рука, неимоверно длинныеноги, тяжелые пальцы… Известны и более причудливые искажения так называемойсхемы тела. Рассматривая эти и подобные им сбои в работе мозга каквычислительной машины, мы можем сказать, что в нервных центрах происходитсложнейшая интеграция постоянного потока разнородных импульсов, в результатечего на внутреннем экране возникает подвижное изображение. Нарушение же настройки приводит к помехам, искажениям этогоизображения.

Конечно, аналогию с телевизором не следует толковатьбуквально. Нам пока недостаточно известно, как «видит» мозг. Есть основанияпредполагать, что уже в мозгу формируется трехмерное, т. е. объемноеизображение предметов. Но эксперименты, которые могли бы это подтвердить, едвалишь начаты. Нам важно понять и запомнить другое: в ходе развития живогоорганизма формируется аппарат самоуправления, который можно моделировать в видесамопрограммирующейся вычислительной машины. На ранних этапах эта машинасовпадает со всем развивающимся телом, но по мере его созревания функцииуправления сосредоточиваются в центральной нервной системе.

5)

Зачем кошке векторы?

Слово «вектор», можно сказать, совсем «младенец» —по-видимому, оно появилось впервые в работе английского математика У.Гамильтона в 1845 году. Но соответствующее понятие использовалось в физике ещеза несколько столетий до этого в связи с рассмотрением закона сложения сил («правилапараллелограмма»). Про векторы же в организме животных мы узнали только в самыепоследние годы.

Началось с кошек. В 1988 году канадский ученый Дж.Макферсон выполнила интересную работу. Она ставила кошку наспециальную платформу, толкала эту платформу в каком-нибудь направлении исмотрела, каким образом кошка сохраняет равновесие. Допустим, она толкнулаплатформу вперед. Ноги кошки вместе с платформой стали уходить вперед, а телоостается на месте. Тогда кошка, чтобы возвратить центр тяжести в правильноеположение над точками опоры активирует мышцы лап и, отталкиваясь от платформы,двигает тело вперед. Если платформу толкнуть вправо, центр тяжести отклонитсявлево по отношению к опоре и лапы должны создать силу, направленную вправо, ит. д.

Как же происходит эта работа лап при сохраненииравновесия?

Самое естественное — это предположить, что каждая издвух задних лап при толчке вперед создает силу, направленную вперед; сумма этихдвух сил и восстанавливает правильное положение тела (рис. 2, а). Еслиплатформу толкнули вправо, каждая лапа создает силу, направленную вправо, и т.д. Такая гипотеза согласуется с тем, что у кошки есть мощные мышцы, которыедвигают лапу вперед или назад — они используются для ходьбы и прыжков, а такжемышцы, отводящие лапу наружу или по направлению к оси тела. Однако когдаМакферсон стала выяснять, что происходит на самом деле, оказалось, что картинасовершенно другая: при толчке платформы, независимо от направления движения,задние лапы кошки создают силы, направленные вдоль двух прямых (каждая лапа —вдоль своей), расположенных примерно под углом 45° к оси тела. Даже впростейшем случае, когда платформу толкают прямо вперед, силы, создаваемыелапами, направлены не вперед, а тоже под углом 45° к оси тела (снова см. рис. 2,а). И только их сумма имеет нужное направление и величину. На рисунке 2, б показано, как получается сила, направленная перпендикулярно телу, а на рисунке 2,в — сила, направленная под углом 30 ° к оси тела.

Значит, нервная система кошки решает следующую задачу.При толчке платформы по информации, полученной от разных рецепторов,определяется, какой вектор (силу) нужно получить, затем этот векторраскладывается по фиксированным осям координат. При таком способе получается,что каждой из двух задних лап нужно передать всего одно число — координатувектора силы (положительную или отрицательную), которую должна создать эта лапавдоль своей фиксированной оси.

Получается очень экономная схема. Но жизнь так полнанеожиданностей! Разбираясь в том, какими мышцами создается это фиксированноенаправление (казалось бы, чего проще: использовать для единичного вектораодного направления мышцы, двигающие ногу вперед и внутрь, а для созданиядругого — назад и наружу, а дальше менять пропорционально силу, развиваемуюэтими мышцами,— умножать на число», и все в порядке), Макферсон получила ещеодин неожиданный результат. Оказалось, что в создании «единичного» векторамогут участвовать разные мышцы, их сочетание меняется в зависимости отнаправления толчка. В чем смысл такого, с нашей точки зрения, усложненногорешения, еще выяснять и выяснять. Однако здесь проявляется общий принципживого: избегать жестких схем, иметь всегда избыток «степеней свободы», словом,плюрализм.

Рис. 2

6)

Векторы в мозгу обезьяны и человека

Трудности в выяснении вопроса о том, как на самом делепроисходит решение той или иной задачи, связаны с тем, что заглянуть в«управляющий центр» — в мозг — очень трудно. В этом смысле мозг пока что вомногом «черный ящик»: можно видеть, какая задача ему предложена, можно видеть,какой он выдает результат,— а вот что происходит внутри, об этом сведений ещеочень и очень мало.

Тем более интересна и важна работа, которая позволилапочти непосредственно увидеть, как идет работа мозговых нейронов при решениинекоторых задач. Эту работу совсем недавно выполнил американский ученый А.Георгопулос. Он экспериментировал с дрессированными обезьянами. Лапа обезьяныпомещалась в некоторой точке стола, а в различных точках стола помещалисьэлектрические лампочки. Обезьяну научили при вспышке какой-нибудь лампочкидвигать лапу по направлению к этой лампочке. В это время экспериментаторрегистрировал с помощью вживленных электродов активность (частоту импульсации)нервных клеток коры больших полушарий в той ее зоне, которая управляетдвижениями этой лапы.

Оказалось, что активность большинства клеток этой зонымозга зависит от направления движения лапы; и эта зависимость достаточночеткая: для каждой из клеток существует такое направление движения, при которомактивность максимальна; при других направлениях активность уменьшается примернокак косинус угла между даннымнаправлением и направлением максимальной активности. Для тех направлений, длякоторых косинус отрицателен, клетка вообще перестает импульсировать.

Получается, что с каждой клеткой коры связанопределенный вектор максимальной активности Amax(рис. 3). Когда нужно двигать лапу по другомунаправлению, т. е. задан некоторый единичный вектор направления е, клетканаходит проекцию Amaxна это направление, т. е. «вычисляет» скалярноепроизведение Amax∙e. Выяснив это, Георгопулос поставил обратную задачу:нельзя ли, регистрируя работу нервных клеток, определить направление движениялапы. Математически эта задача может быть сформулирована как вопрос осуществовании функции, обратной к заданной. Ясно, что по активности однойклетки направление движения определить нельзя: во-первых, косинус — функциячетная, и в том промежутке, который нас интересует, не имеет обратной.Действительно, если, например, направление максимальной активности — это прямовперед, а активность нейрона составляет половину максимальной, то известно, чтолапа движется под углом 60° к преимущественному направлению, но вправо иливлево от него — определить невозможно. Во-вторых, у одной клетки слишком велика«мертвая зона» — зона, когда она вообще молчит. Но если регистрироватьнесколько клеток, то можно успешно определить направление, в котором движетсялапа (и даже предсказать, в каком направлении она будет двигаться, так какклетки начинают работать за десятую долю секунды до того, как лапа начинает двигаться).Представляем читателю самостоятельно решить такую задачу: какое минимальноечисло клеток требуется для того, чтобы уверенно определять направление движенияво всех случаях? (Конечно, мы даем эту задачу, так сказать, в математическойформулировке, которая, как всегда, упрощает ситуацию — как и мы ее упрощаем внашем рассказе.)

То, что по активности нейронов можно не толькоустановить, куда движется лапа, но и предсказать, куда обезьяна еще толькособирается двигать ее, т. е. как бы подсмотреть мысль о движении, позволилоГеоргопулосу сделать еще одну, очень красивую работу.

Еще в 1971 году американские психологи Р. Шепард и Дж.Метцлер обнаружили явление, которое они назвали «мысленным вращением». Вэкспериментах испытуемым показывали две фигуры и спрашивали: это разные фигурыили одна и та же, но повернутая на некоторый угол? Время ответа оказалосьлинейной функцией величины угла поворота одной фигуры относительно другой.

В другом варианте эксперимента попеременно показывалибукву R или ее зеркальное отражение — букву Я; надо быстро определить, какаяэто буква. При этом букву показывали в разных положениях. И здесь время ответабыло пропорционально углу поворота буквы относительно «нормального» положения.

Ученые предположили, что человек в таком эксперименте мысленновращает образ воспринимаемой фиг