Реферат: Самолеты

1.    Числовая последовательность — этофункция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая дискретныезначения (не непрерывные).{yn}- ограниченная, если существует такое M (M>0),что для всякого n выполняется нер-во: -M<=yn<=M. {yn}- возрастающая, если для всех n: yn+1>=yn. Последовательность монотонна если она строго возрастаетили убывает.

2.    Число А называется пределом {yn} при n стремящемся к бесконечности, если для всякого Е>0,как угодно малого, существует такой номер N, зависящий от Е(N=N(E)), что для всех n>N будетвыполняться нер-во |yn-A|<=E.Достаточное условие: Если {yn} возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), топоследовательность имеет предел.

3.    Число А называется пределом f(x) приx, стремящемся к x0, если для всякогосколь угодно малого числа Е существует б=б(Е)>0,что выполняется нер-во:|f(x)-A|<=E, для всякого хпринадлежащего: х0-б<=x<=x0+б. f(x)-  бесконечно малая, если lim f(x)=0, при х стремящемся к х0. f(x) — бесконечнобольшая, если lim f(x)=бесконечности, при х стремящемся к х0. f(x) — ограниченав данном интервале, если существует такое число М (М>0), что привсех значениях х, принадлежащих этому интервалу, выполняется |f(x)|<=M. Функция называется ограниченной при х стремящемся к х0, еслив некоторой окрестности х0она ограничена.

4.    Пустьl, b — б.м. в некоторомпроцессе и lim l/b=C 1)C не равно 0 и бесконечности => l, b — одного порядкамалости. 2) С=0 => l — более высокого порядка малости. 3)С=бесконечности => b — более высокого порядка малости. Сумма двух, трех и вообщеконечного числа б.м. величин есть величина б.м. Произведение б.м. наограниченную функцию есть б.м. Частное от деления б.м. на функцию, пределкоторой отличен от 0, есть величина б.м.

5.    Предел суммы двух слагаемых = суммепределов этих слагаемых. Предел произведения двух множителей = произведениюпределов этих множителей. Предел частного = частному от деления пределов, еслитолько предел знаменателя не 0.

6.    Если функция имеет предел, то еёможно представить как сумму постоянной, равной её пределу и б.м. величины. Еслифункцию можно представить как сумму постоянной и б.м. величины, то постоянноеслагаемое есть предел функции. Пусть есть f(x) и g(x) исуществуют их пределы при х стремящемся к х0, равные соответственноА и В, и f(x)>g(x) в окрестности х0=> A>=B => lim f(x)>=lim g(x).

7.    Если значения f(x)заключены между соответствующими значениями F(x) и  Ф(х), стремящихсяк одному и тому же пределу А ( при х стремящемся к х0), то f(x) прих стремящемся к х0также имеет предел =А. 1-ый замечательный предел:lim sinx/x=1 при х стремящемся к 0.

8.    2-ой замечательный предел: lim(1+1/n)n=e, при х стремящемся к бесконечности. е=2,718…

9.    Функция y=f(x) называетсянепрерывной в точке х0, если эта функция определена в какой-нибудьокрестности точки х0и если lim дельта y=0,  придельта х стремящемся к нулю. Дельта у=f(x+x0)-f(x0).

10.   Пусть f(x) и g(x) непрерывныв точке а, тогда их сумма (произведение) (частное, если g(a) не =0) тоже непрерывны в точке а.

11.   Сложная функция — функция отфункции. Сложная функция, состоящая из простых непрерывна, если непрерывны всепростые функции. Функция непрерывная в замкнутом интервале, хотя бы в однойточке интервала принимает наибольшее значение и хотя бы в одной наименьшее.Функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этогоинтервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в ноль внутриинтервала.

12.   Если в какой-либо точке х0функция не является непрерывной, то точка х0называется точкойразрыва. Пусть х стремиться к х0, оставаясь все время слева от х0,т.е. будучи меньше х0, и если при этом условии значение функции f(x)стремится к пределу, то он называется левым пределом (правый аналогично).Точкой разрыва 1-го рода f(x) называется такая точка х0, в которой f(x)имеет левый и правый пределы, не равные между собой.(все остальные точкиразрыва- 2-го рода).

13.   Производной данной функцииназывается предел отношения приращения функции к приращению независимойпеременной при произвольном стремление этого приращения к нулю: f'(x)=lim(f(x+дельта x)-f(x))/дельта х, при х стремящемся к 0. Производнаяхарактеризует скорость изменения какой-нибудь величины. Значение f'(x) равноугловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке сабсциссой х0.                                                                 

14.   Производная суммы конечного числафункций = сумме производных слагаемых. Производная произведения двух функцийравна сумме произведений производной 1-ой функции на 2-ую и производной 2-ой на1-ую. Производная частного 2-х функций = дроби, знаменатель которой = квадратуделителя, а числитель — разности между производной делимого на делитель ипроизведением делимого на производную делителя.

15.   Производная сложной функции равнапроизводной заданной функции по промежуточному аргументу, умноженный напроизводную этого аргумента по независимой переменной. Задание функциональнойзависимости между двумя переменными, состоящее в том, что обе переменныеопределяются каждая в отдельности как функция одной и той же вспомогательнойпеременной, называется параметрическим.

16.   Дифференциал функции называетсявеличина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента дельта х иотличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малуювеличину более высокого порядка чем дельта х (dy=f'(x)dx). Дифференциалdy функции y=f(x)в точке х изображается приращениемординаты точки касательной, проведенной к линии y=f(x) всоответствующей ее точке (x,f(x)).Дифференциал функции y=f(u) сохраняетодно и тоже выражение независимо от того, является ли аргумент uнезависимой переменной или функцией от независимой переменной.

17.   Касательной  к графику f(x) вточке называется предельное положение прямой, проходящую через данную точку,когда эта точка стремиться слиться с графиком f(x). Если значение производной от функции y=f(x) при х=х0равно f(x0), то прямая,проведенная через данную точку с угловым коэфициентом, равным f'(x),является касательной к графику функции в данной точке.(y-y0=f'(x0)(x-x0)). Нормалью к линии ее данной точке называется прямаяперпендикулярная касательной. (y-y0=-1/f'(x0)(x-x0)).

18.   Функция y=f(x) называетсяне дифференцируемой в точке х, если она не имеет в этой точке дифференциал.

19.   Пусть f(x) непрерывна назамкнутом интервале [a,b] и дифференцируема во всех его точках и на концахотрезка она принимает значения f(a)=f(b), тогда существует такая точка С, что a<C<b и f'(C)=0. На линии f(x), где f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля найдется точкакасательная в которой  || Ox.

20.   Если f(x) непрерывна в замкнутоминтервале [a,b] идифференцируема во всех его точках, то вэтом интервале существует хотя бы одно значение х=с для которого: f(a)-f(b)/b-a=f'(c). Если выполняютсяусловия Теоремы Лагранжа, то касательная вданной точке будет || хорде связывающей точки интервала.

21.   Т. Коши: пусть f(x) непрерывнана [a,b] и дифференцируема на (а,b);g(x) — удовлетворяеттем же условиям и g'(x) не =0 для всех х на этом промежутке, тогда существуетточка С принадлежащая (a,b), что f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c).Т. Лапиталя: Пусть функции f(x) и g(x) при х стремящемся а (или к бесконечности)совместно стремятся к 0 или бесконечности. Если отношение их производных имеетпредел, то отношение самих функций так же имее предел = отношению произодных.

22.    Т. Тейлора: Если  f(x) обладаетв замкнутом промежутке (a,b) производными до n+1-го порядка включительно,то f(b)=f(a)+f'(a)/1!*(b-a)+f''(a)/2!*(b-a)2+…+f(n)(a)/n!*(b-a)n+f(n+1)(c)/(n+1)!(b-a)n+1, где с — некоторое число лежащее между а и b. Rn = fn+1(c)/(n+1)!*(b-a)n+1 — остаточный член в форме Тейлора.

23.   Формула Маклорена  — формулаТейлора при а=0. f(x)=f(0)+f'(0)/1!*x+…+fn(0)/n!*xn+f(n+1)(C)/(n+1)!*xn+1.

24.   Необходимое условие: Если f(x) винтервале возрастает (убывает), то ее производная f'(x)>=0 (f'(x)<=0). Достаточное условие: Если f'(x) от f(x) всюдуна интервале положительна (отрицательна), f(x) в этоминтервале возрастает (убывает).

25.   Точка х=х0называетсяглобальным минимумом (максимумом) f(x) на множестве m, еслидля всех х, принадлежащих m f(x)>f(x0) (f(x)<f(x0)).Точка х=х0 называется локальным минимумомфункции f(x) если существует б-окрестность точки х0, чтодля всех х кроме х0из этой окрестности будет выполнено f(x0+дельта х)>x0.Необходимое условие: пусть функция f(x)дифференцирована в точке х0и ее окрестности тогда f'(x)=0.

26.   Достаточное условие (1-го порядка):Точка х0является точкой экстремума функции f(x), еслипроизводная f(x)  при переходе х через х0меняет знак.

27.   Точки, где 1-ая производнаяобращается в 0 называют стационарными точками. Достаточное условие 2-гопорядка: пусть точка х0 — стационарна и существует f''(x0) — непрерывна, тогда если f''(x0)>0 => x0 — точка минимума.(f''(x0)>0 => x0 — точка максимума.

28.   Дуга называется выпуклой, если онапересекается с любой своей секущей не более чем в двух точках. Точкой перегибаназывается такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой. Еслих0 — абсцисса точки перегиба, то либо f ''(x0)=0, либо не существует.

29.   Если f ''(x) всюду винтервале отрицательна (положительна), то дуга линии y=f(x),соответствующая этому интервалу, выпуклая (вогнутая).

30.    Прямая линияназывается асимптотой графика функции, если расстояние точки графика от нашейпрямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от началакоординат. Вертикальные асимптоты: если lim f(x)=бесконечностипри х стремящемся к х0, то линия y=f(x) имеетасимптоту х=х0. Наклонные асимптоты: Если f(x)/x при хстремящемся к бесконечности стремиться к конечному пределу а и если f(x)-ax прих стремящемся к бесконечности стремиться к конечному пределу b, толиния y=f(x) имеет асимптоту y=ax+b.

еще рефераты
Еще работы по авиации и космонавтике