Реферат: Свободный полет в полях тяготения

Главнымзвеном в цепи космических дисциплин является теория движения космическихобьектов.В этом докладе рассматривается одна из её составных частей — теориясвободного полёта в полях тяготения .

Важнейшейиз природных сил, действующих на космический аппарат, является сила всемирноготяготения.Силы тяготения (или силы притяжения ) подчиняются ньютоновскомузакону всемирного тяготения.Этот закон говорит: всякие две материальныеточки притягиваются друг к другу с силами, прямо пропорциональными квадратурасстояния между ними, или, в математической форме :

f*m1*m2 (1)

F=``

r^2````

ЗдесьF -величина обеих сил притяжения ,m1,m2 — массыпритягивающихся материальных точек, r — расстояние между ними ,f- коэфициентпропорциональности, называемой постоянной тяготения (гравитационная постоянная).Если измерять массу в килограммах, силу ньютонах, а расстояние в метрах, то, как показывают точные измерения, постоянная тяготения равна 6,672*10^(-11) м^3/(кг*с^2)

Наразличных этапах космического полёта различное значение может иметь воздействиесреды, в которой происходит движение. Силы, действующие со стороны атмосферына космический аппарат, называются аэродинамическими.В межпланетномпространстве важную роль может играть давление солнечного излучения, котороесовершенно незаметно в повседневной жизни.Если масса космического аппаратаневелика, а поверхность, на которую давят солнечные лучи, значительна, тодействием этого фактора можно пренебречь .

Задача Nтел иметод численного интегрирования

Пассивное движение космического аппарата вмировом пр-ве проиходит в основном под действием сил притяжений небесных тел — Земли, Луны, Солнца, планет. Положение этих тел непрерывно изменяется, причем ихдвижение, как и движение космического аппарата, происходит под дейсвием силвсемирного тяготения. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью решениязадачи о движении большого числа небесных тел (в том числе искуственногонебесного тела — космического аппарата) под дейсвием сил взаимногопритяжения.Такая задача носит название «задача N тел».

Решениеэтой задачи в общем случае встречает громадные трудности, даже задача трех телрешена лишь для нескольких частных случаев. Но в космодинамике задача Nтелимеет особый характер. Космический аппарат не оказывает практически никакоговлияния на движение небесных тел.Такой случай известен в небесной механике какограниченная задача N тел.При её решении движение Солнца, Земли, Луны ипланет является заданным, так как оно прекрасно изученно астрономами ипредсказывается ими на много лет вперед.

Расстоянияот космического аппарата до Солнца, Земли, Луы и планетыв любой момент известны, массы всех этих тел также известны, а значит, известны по величине и направлениюи ускорения, сообщаемые небесными телами космичекому аппарату. В самом деле, если масса небесного тела M , а масса космическогоаппарата m , то гравитационное ускорение a , сообщаемоеаппарату,

равносиле притяжения

f*M (2)

``

r^2`

Такимобразом, гравитационное ускорение зависит только от расстояния междупритягиващимися телами и от массы притягивающего тела, но не зависит от массыпритягиваемого тела .

Итак по формуле (2) мы можемвычислитьгравитационное ускорение, сообщаемое космическому аппарату каждым небеснымтелом в отдельности, а значит, можем вычислить и суммарное ускорение. Знаявеличину и направление начальной скорости космического аппарата, можно, учитываявычисленное ускорение рассчитать положение и скорость аппарата через небольшойпромежуток времени, например через секунду. Для нового момента нужно будетзаново вычислить ускорение и затем рассчитать следующее положение аппарата и егоскорость и т.д. Таким путем можно проследить все движение космического аппарата. Единственная неточность этого метода заключается в том что приходиться втечение каждого небольшого промежутка времени (шага расчета) считать ускорениепри вычислениях неизменным, в то время как оно переменно.Но точность расчетаможно как угодно повысить, уменьшив шаг.

Описанная процедура называется численныминтегрированием .

Невесомость

Приневесомости притяжение Земли (или другого небесного тела ) не будут вмешиватьсяв перемещения предметов относительно корабля.Отсутствуют какие-либо внешниеповерхностные силы, действующие на корабль.Наличие же внешних поверхностных сил(сила сопр. среды, силы реакции опоры или подвеса)- обязательное условие сущ.состояния весомости .

Итак, тело, свободно и поступательно движущ. под влиянием одних сил тяготения,всегда нах. в состояниии невесомости.Примеры :корабль в мировом пр-ве,падающий лифт, человек совершающий прыжок .

Теперь, когда мы выяснили природу невесомости, уместно будет внести нек. поправки. Мывсегда имели ввиду, что гравитационное ускорение отд. деталей почти (но не вточности ) одинаково, т.к. расстояние отд. деталей от притягивающего тела(напр. Земли) примерно одинаковы.Фактически все эти неточности ничтожны . Перепад гравитационных ускорений (градиентгравитации ) в области пространства, занятой косм. кораблем, ничтожен.Например на высоте 230 км над пов. Земли, земное гравит. ускорение уменьшаетсяна 2,77*10^(-6) м/c^2 на каждый метр высоты.Когдакосмичекий корабль длиной 5 м располаг. вдоль линии, напр. на центр Земли егонижний конец получает ускорение на 0,00015 %больше, чем верхний .

Такимобразом, нарушения невесомости, вызваные наличием градинта гравитации (т.е. посуществу неоднородностью поля тяготения), приводят не к «частичнойневесомости», а к совершенно осбому состоянию. В состояниисвободного полёта в поле тяготения тела несколько (весьма и весьма слабо)растянуты в радиальном направлении .

Центральное поле тяготения

Когдакосмический аппарат находиться в мировом пространсиве вдали от планет,достаточно учитывать притяжение одного лишь Солнца, потому что гравитациооныеускорения, сообщаемые планетами (вследствии больших расстояний и относительномалости их масс), ничтожно малы по сравнению с ускорением, сообщаемым Солнцем.

Допустимтеперь, что мы изучаем движение космического обьекта вблизи Земли. Ускорение, сообщаемое этому обьекту Солнцем, довольно заметно : оно примерно равно ускорению, сообщаемому Солнцем Земле (около 0,6 см/с^2);естественно было бы егоучитывать, если нас интересует движение обькта оносительно Солнца. Но если насинтересует движение космического обьекта относительно Земли, то притяжениеСолнца оказывется срвнительно салосущественным. Оно не будет вмешиваться в этодвижение аналогично тому, как притяжение Земли не вмешивается в относительноедвижение предметов на борту корабля-спутника.То же касается и притяжения Луны,не говоря о притяжениях планет .

Будемсчитать небесное тело однородным материальным шаром, состоящим из из вложенных друг в друга однородныхсферических слоев. Итак, небесное тело притягивает так, будто бы его массасосредоточена в его центре. Такое поле тяготения наз. центральным. Будемизучать движение в центральном поле тяготения космического аппарата, получившего в начальный момент, когда он находился на расстоянии r°

от небесного тела скорость v°.Для дальнейшеговоспользуемся законом сохранения мех. энергии, который справедлив длярассматриваемого случая, так как поле тяготения является потенциальным,наличием же негравитационных сил мы прнебрегаем. Кинетическая энергиякосмического аппарта равна (mV^2)/2 ,где m — масса апарата, а v — егоскорость. Потенциальная энергия в центральном поле тяготения выражаетсяформулой

f*M*m

П=-

¾¾¾¾¾ ,

гдеМ- масса притягиващего небесного тела, а r — расстояние от него докосмического аппарата, потенцальная энергия, будучи отрицательной,увеличивается с удалением от Земли, обращаясь в нуль на бесконечности.Тогдазакон сохранения полной механической энергии запишется в следующем виде :

Здесьв левой части равенства стоит сумма кинетической и потоенциальной энергий вначальный момент, а в правой — в любой другой момент.Сократив на m ипреобразовав, мы напишем интеграл энергии — важную формулу, выражающуюскорость v космического аппарата на любом расстоянии r отцентра притяжения:

или

гдеK=f*M — величина, характеризующая поле тяготения конкретногонебесного тела (гравитационный параметр).Для Земли K=3,986005*10^5 км^3/c^2 для Солнца K=1,32712438*10^11км^3/c^2 .

Траектории в цетральном полетяготения

Путь, описываемый космическим аппаратом в пространстве наз. траекторией .

1. Прямолинейные траектории.Если гачальная скорость равна нулю, то тело начинает падение к центу по прямойлинии. Движение по прямой линии бдет и в том случае, если начальная скоростьнаправлена точно к центру (по радиусу)

2. Эллиптические траектории.

Если начальная скорость на-

правлена не радиаьно, то тра-

ектория ужн не может быть

прямолинейной, так как иск-

ривляется притяжением Земли .

При этом она лежит целиком

в плоскости, проведенной через

начальное направление ско-

ростии центр Земли.Если начальная скорость не првышает некоторой величины, тотраектория предсталяет собой эллипс, причем центр притяжения находится в одномиз его фокусов. Если эллиптическая орбита не пересекает поверхностипритягивающего небесного тела, космический аппарат является его искусственнымспутником.Расстояние между вершинами эллипса называется большой осью. Половинабольшой оси принимается за среднее расстояние спутника от небесного тела иобозначается буквой a. Скорость vи расстояние r спутникаот центра притяжения в любой момент времени (в частности, в начальный) связанысо средним расстоянием а зависимостью .

(4)

Периодобращения Pискусственного спутника вычисляется по формуле

(5)

или

(5a)

где — определенное число длякаждого небесного тела .

Отношение расстояния между фокусами к длинебольшой оси называется эксцентоиситетом эллипса .

Изформулы (4) видно, что чем больше начальная скорость, тем больше большая осьорбиты и тем больше, в соответствии с формулой (5), период обращения .

Ближайшаяи наиболее удаленная от центра притяжения точки эллипса называютсясоответственно перицентром и апоцентром, а прямая линия, их соединяющая, линией апсид .

Дляконкретных притягивающих центров эти точки носят специальные названия.Так, если притягивающим телом является Земля, то перицентр и и апоцентр наз. соответственно перигеем иапогеем ;если Солнце — перигелием и афелием ;еслиЛуна- периселением и апоселением. Скорость в перигее (vп) максимальна, а апогее (vа) — минимальна, причем этидве скорости связаны соотношением

vпrп=vаrа ,

где rпrа — расстояния в перигее иапогее. Скорости в перигее и апогее перпендикулярны к направлениям на центрЗемли. Для всех остальных точек эллипса верно соотношение

(7)

или

(7а)

Здесьв левых частях стоят произведения расстояний r на трансверальныесоставляющие скорости vcosa

, т.е.на проекции скорости на перпендикуляр к радиальному направлению .

Еслиумножить левые и правые части равенства (6),(7) или (7а) на массу m космическогоаппарата, то легко убедиться, что эти равенства выражают закон сохранениямомента количества движения (призведение количества движения mv навеличину перпендикуляра, опущенного из точки на линию, указывающую направлениескорости ).Рассмотрим важные случаи, когда начальные скорости трансверсальны.

Приэтом, очевидно, начальная т-ка N0 должна быть перигеем илиапогеем.Первое будет в том случае , когда начальная скорость достаточно велика, чтобыспутник начал удаляться на пути к апогею (1 орбита).Второе будет в том случае, когда скорость меньше той же величины (орбита 2), при этом возможно падение наЗемлю (если периней окажется под земной поверхностью или ниже плотных слоеватмосферы ). «Пограничным»является случай, когданачальная скорость такова, что спутник не поднимается и не опускается, т.е.описывает круговую орбиту 3 с постоянной круговой скоростью. Радиус круговойорбиты r равен большой полуоси а. Из формулы (4)

Изпоследней формулы, зная K для Земли, легко найтикруговую скорость для любого расстояния r от её центра или для любойвысоты h над земной поверхностью (h=r-r°

, где r°=6371 км — средний радиусЗемли )

В частности у поверхности Земли круговаяскорость равна 7,910км/c — первой косической скорости.

Еслизаписать формулу (4) для начального момента, а именно :

(9)

тонетрудно заметить, что с увеличением начальной скорости v0 большая полуось увеливается.Из формулы видно, что по мере того, как v0^2 приближается к постоянной величине 2K/r0 , большая полуось а стремитсяк бесконечности .

3.Параболическиетраектории. Эллиптическая орбита, у которой «апогей находится вбесконечности», не является уже эллипсом. Двигаясь по такойтраектории, космический аппарат бесконечно далеко уходит от центра притяжения, описывая разомкнутую линию — параболу. По мере удаления аппарата его скоростьприближается к нулю.Пиняв в формуле (3) скорость в бесконечности равной нулю (r=¥

, v=0),мынайдем такую величину начальной скорости v0 , которая обеспечиваетвозможность рассматриваемого движения .

Получим

или

(10)

Вычисленнаяпо формуле (10) величина называется параболической скоростью. Получив такуюскорость, космический аппарат движется по параболе и уже не возвращается кцентру тяготения.Когда скорость (10) сообщается в вертикальном направлении,траекторией является прямая линия, но и в этом случае скорость называютпараболической.Между скоростью освобождения и круговой скоростью в любой точкесуществует простая зависимость

(11)

Значениескорости освобождения у поверхности Земли носит название второй космическойскорости и составляет 11,186 км/c. На высоте h=200кмскорость освобождения сост. 11,015 км/c .

Воспользовавшисьформулой (10), мы можем теперь записать основную формулу (3) для скорости вцентральном поле тяготения так :

4.Гиперболические траектории.Если космический аппаратполучит скорость v0 , превышающую параболическую, то он также «достигнетбесконечности», но при этом будет двигаться уже по линиииного рода — гиперболе.При этом скоростьапппарата в бесконечности (v¥

)уже не будет равна нулю.Физически это означает, что по мере удаления аппарата его скорость будетнепрерывно падать, но не сможет стать меньше величины v¥, которую можно найти, принявв формуле (12) r=¥.Получим

Величинуv¥

назывют по-разному : остаточнаяскорость, гиперболический избыток скорости и т.д.

Гиперболическая траектория вдали от центрапритяжения становится почти неотличимой от двух прямых линий, называемыхасимптотами гиперболы.На большом расстоянии от центра притяжениягтперболическую траекторию приближенно можно считать прямолинейной.Длягиперболических и параболических орбит справдливы как и для эллиптичеких орбит, формулы (7) и (7а).

Взаключение заметим, что пассивное движение в центральном поле тяготения частоназывают кеплеровским движением, а эллиптичекие, параболические игиперболичекие траектории обьединяются общим названием кеплеровскихорбит.Всегда важно помнить, что любая кеплерова орбита расположена в плоскости, проходящей через центр притяжения.Положение этой плоскости в пространстве неизменяется.

еще рефераты

Еще работы по авиации

Реферат по авиации

История появления реактивной авиации

Воздухоплавание в начальном периоде освоения севера

29 Августа 2013

Реферат по авиации

Воздушно-десантные войска

29 Августа 2013