ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК

Один из основных способов задания фигур на плоскости заключается в указании свойства, которому удовлетворяют точки этой фигуры.

Вспомним определение окружности. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние. Свойством здесь является удаленность от данной точки на данное расстояние.

Фигуры, состоящие из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству, получили особое название «геометрические места точек». Таким образом, геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.

Поясним смысл слов “всех точек, удовлетворяющих заданному свойству” в этом определении. Они означают, что все точки, принадлежащие фигуре, удовлетворяют заданному свойству, и наоборот, все точки, удовлетворяющие заданному свойству, принадлежат фигуре. Другими словами, точка принадлежит фигуре в том и только том случае, когда для нее выполняется заданное свойство.

Рассмотрим еще несколько геометрических мест точек.

Серединным перпендикуляром к заданному отрезку на­зывается прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Выясним, каким геометрическим местом точек является серединный перпендикуляр.

Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является геометричес­ким местом точек, одинаково удаленных от концов этого отрезка.

Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Покажем, что геометрическим местом точек, одинаково удаленных от точек А и В является серединный перпендикуляр к отрезку АВ (рис. 1). Действительно, очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадле­жит серединному перпендикуляру. Если точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О, то треугольник АВС равнобед­ренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника меди­ана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному пер­пендикуляру. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.

Теорема. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, лежащих внутри данного угла и одинаково удаленных от его сторон.

Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b (рис. 2). Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Сле­довательно, углы  AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

Пример 1. На данной прямой найдите точку одинаково удаленную от двух за­данных точек.

Решение. Пусть c – данная прямая, A, B – данные точки (рис. 3). Геометрическим местом точек, одинаково удаленных от точек A и B, является серединный перпендикуляр к отрезку AB. Если серединный перпендикуляр и прямая c пересекаются, то искомой точкой C будет их точка пересечения. Если они не пересекаются, то задача не имеет решения.

Пример 2. Найдите точки, одинаково удаленные от прямых, на которых лежат стороны данного треугольника.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 4). Точка D этого треугольника одинаково удалена от AB и AC, если она принадлежит биссектрисе угла A. Аналогично, точка D треугольника ABC одинаково удалена от AB и BC, если она принадлежит биссектрисе угла B. Таким образом, точкой одинаково удаленной от AB, AC и BC будет точка пересечения биссектрис углов A и B треугольника ABC.

Заметим, что так как эта точка одинаково удалена от AC и BC, то она будет принадлежать и биссектрисе угла C. Значит, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Задачи

1. Какое геометрическое место точек представляет собой: а) отрезок; б) луч; в) круг c центром O и радиусом R; г) кольцо с центром O и радиусами R₁, R₂ (R₁ < R₂)?

2. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

3. Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.

4. Пусть А и В - точки плоскости. Найдите геометрическое место точек С, для которых: а) АС  ВС; б) АС < АВ.

5. Даны три точки: А, В, С. Найдите точки, которые одинаково уда­лены от точек А и В и находятся на расстоянии R от точки С.

6. На данной прямой a найдите точки, удаленные от данной точки C  на заданное расстояние R. Какие при этом возможны случаи?

7. Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Найдите геометричес­кое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет?

8. Пусть a и b - пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б) расположенных ближе к a, чем к b.

9. Пусть А, В, С - три точки, не принадлежащие одной прямой. Найди­те геометрическое место точек М таких, что: а) прямая СМ пересекает отрезок АВ; б) луч СМ пересекает отрезок АВ; в) отрезок СМ пересекает отрезок АВ.

10. На прямой, пересекающей стороны угла, найдите точку, одинаково удаленную от этих сторон.

11. Дан угол АВС и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, оди­наково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.

12. В треугольнике АВС АВ=ВС=14 см. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекает сторону AB в точке D и сторону AC в точке E (рис. 5). Точка Е соеди­нена с точкой В. Найдите сторону АС треугольника АВС, если периметр треугольника ВЕС равен 40 см.

13. В треугольнике АВС АВ=ВС=18 см. Середин­ный перпендикуляр к стороне АВ пересекает сторону AB в точке D и сторону ВС в точке Е (рис. 6). Точка Е соединена с точкой А. Периметр треугольника АЕС равен 27 см. Найдите сторону АС.

14. Невдалеке от двух населенных пунктов проходит шоссе. В каком месте этого шоссе нужно построить автозаправочную станцию, чтобы расстояния от нее до обоих пунктов были одинаковыми?

15. Жильцы трех домов решили совместными усилиями вырыть колодец. В каком месте следует расположить колодец, чтобы расстояния от него до домов были одинаковыми?